※参照文献とアクセス方法を全項目明示。各事項ご利用の際には、 文献にアクセスして自ら確認されることをおすすめします。まだまだ至らないので…。
　　　 (c) Tirom,2004-

• 階乗、順列、組み合せ、二項定理、多項定理
• Σの計算公式： Σの結合則, Σの分配則, よく使われるΣの値の公式
• 二重和ΣΣの計算公式
• Σの行列表現： 和の行列表現, 平均の行列表現, 2重和の行列表現, 二次形式の行列表現, 積和の行列表現, 双一次形式の行列表現, 偏差2乗和の行列表現, 偏差積和の行列表現
• 指数関数：
• 対数　：定義、性質、等比数列の対数
• 期待値の線形性
• 絶対値：定義、絶対値の性質、絶対値関数の性質(連続性、微分可能性)

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• 論理記号：
  • 命題論理：否定¬〜、選言・論理和∨、¬(∨)、連言・論理積∧、¬(∧)、⇒、¬(⇒)、同値⇔
  • 述語論理：全称記号・量化子∀、存在記号・量化子∃、¬(∀)、¬(∃)

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• 自然数：
• 定義：Peanoの自然数の公理、 全ての自然数nについて成り立つ命題の証明、
• 定理：(1+a) ⁿ>1+na (a>0、nが2以上の自然数)、 (1+a)ⁿ≧1+na+n(n-1)a²／2
• 整数：
• 有理数：
• 実数体・実数：
• 実数体・実数の定義（実数の公理）
• デデキントの連続性公理:切断、切断と最大元・最小元、デデキントの連続性公理、
• 実数体上の順序概念：
  • 最大元max･最小元min、上界･上に有界、下界･下に有界、有界
  • 上限sup･最小上界lub、m=supAの必要十分条件、supとmaxの関係
  • 下限inf･最大下界glb、m=infAの必要十分条件、infとminの関係
• 実数の加法の性質：
  • 定義：反数、差
  • 性質：結合則、可換則、0との和の性質、反数との和の性質、差の性質
• 実数の乗法の性質：
  • 定義：逆数、商
  • 性質：結合則、可換則、１との積、逆数との積、自らによる商
• 実数の加法・乗法の関係：分配則、0との積、積の逆数、積と符号(1)、積と符号(2)　
• 実数の不等式の性質：反射律、反対称律1、反対称律2、推移律、比較可能性1、比較可能性2、狭義順序、狭義順序の推移律　
• 実数の不等式と加法乗法の関係：
  • 加法：順序と加法1、順序と加法2、差の正負、反数の順序、反数の正負
  • 乗法：順序と乗法1、順序と乗法2、積の正負、逆数の正負、逆数の順序
  • 実数体の自己稠密性
• 定理：アルキメデスの原理。 sup,infについての不等式。 sup,infの和積。 任意の正数εに対して、 ε>a≧0ならば、a=0。
• 複素数：
• 実ベクトル：

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位相空間・位相： 　

• 位相空間・位相の定義：開集合系・開集合, 閉集合系・閉集合,近傍系・近傍,開核作用素・開核,位相空間・位相,誘導位相,部分位相空間・相対位相
• コンパクト性

距離空間： 　

• 距離空間一般において。
• A.距離, 距離空間, 直積距離空間, 部分距離空間, ユークリッド空間,
• B.ε近傍,除外ε近傍
• C.点集合、内点、外点、境界点、内部、外部、境界、閉包、稠密、集積点、孤立点、離散集合、開集合、閉集合、直径、「有界」な集合、有界閉集合、被覆、開被覆、有限被覆、部分被覆、、
• 距離空間(R,d)において。
• A.距離
• B.点aのε近傍,除外ε近傍
• C.Rにおける点集合:内点、外点、境界点、内部、外部、境界、閉包、稠密、集積点、孤立点、離散集合、開集合[開集合の性質]、閉集合、区間(開区間・閉区間・左半開区間・右半開区間・有限区間−無限区間・長さ・幅)、「上に有界」な集合、「下に有界」な集合、「有界」な集合、コンパクト集合、点列コンパクト、ハイネ･ボレル・ルベーグの被覆定理
• D.距離空間(R,d)と位相空間との関係性
• 距離空間(R²,d)において。： R²、平面、点、
• A. 距離(ユークリッド距離/マンハッタン距離/…)/2次元ユークリッド空間/ 2次元ユークリッド距離の性質/ 2次元ユークリッド距離と2次元マンハッタン距離の大小関係
• B. 点Pのε近傍、点Pの除外ε近傍、
• C. R²における点集合：内点、境界点、境界、閉包、稠密、集積点、孤立点、離散集合、開集合[開集合の性質]、閉集合、R²上の区間・閉区間、有界な集合、直径、連結、領域、閉領域、開核、コンパクト集合、点列コンパクト、ハイネ･ボレル・ルベーグの被覆定理
• D.距離空間(R²,d)と位相空間の関係性
• 距離空間(Rⁿ,d)
• A.Rⁿ、空間、点、距離・距離空間(Rⁿ,d)・n次元ユークリッド距離、n次元ユークリッド空間
• B.Rⁿにおけるε近傍、除外ε近傍
• C.点集合、内点、外点、境界点、内部･開核、外部、境界、閉包、 集積点、孤立点、開集合[開集合の性質]、閉集合、 区間、開区間、閉区間・閉矩形、直径、有界な集合、コンパクト集合、点列コンパクト、ハイネ･ボレル・ルベーグの被覆定理
• D.距離空間(Rⁿ,d)と位相空間の関係性

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• 1変数関数の定義･属性･類型
  • 1変数関数の定義/1変数関数のグラフ
  • 1変数関数を組み立てている概念：：定義域/像･値/逆像･原像
  • 1変数関数の属性の定義:値域//最大値･最大点･最小値･最小点/極大値･極大点･極小値･極小点/有界
  • 1変数関数から組み立てられる関係：制限/延長/分枝/合成関数/逆対応/逆関数　
  • 1変数関数の類型の定義：
    • 1価関数/多価関数（n価関数･分枝）/単射[1対1]/全射/全単射
    • 単調増加関数/狭義単調増加関数/単調減少関数/狭義単調減少関数/単調関数/狭義単調関数
    • 集合関数・点関数/単関数 /陰関数・陽関数//偶関数/奇関数
  • 1変数関数の具体例とその性質：
    • y=x/ y=x²/ y=x³/ y=1/x →べき関数
    • 定数値関数/ 比例を表す関数/ 一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　
    • 指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数 ガンマ関数/ベータ関数
    //
• 2変数関数の定義･属性
  • 2変数関数の定義
  • 2変数関数の定義/ 2変数関数の像･値/ 2変数関数の値域/ 2変数関数の逆像･原像
  • 有界な2変数関数/ 2変数関数の最大値･最大点･最小値･最小点
  • 2変数関数の具体例とその性質：2変数一次関数/2変数二次関数/2変数二次同次関数（二次形式）
• n変数関数の定義･属性
  • n変数関数の定義
  • n変数関数の定義域/ n変数関数の像･値/ n変数関数の値域/ n変数関数の逆像･原像
  • 有界なn変数関数/ n変数関数の最大値･最大点･最小値･最小点
• 実数値関数一般の定義･属性･類型
  • 実数値関数一般の定義
  • 実数値関数一般の定義域/ 実数値関数一般の像･値/ 実数値関数一般の値域/ 実数値関数一般の逆像･原像/ 実数値関数一般の最大値･最大点･最小値･最小点
  • 有界な実数値関数/ 単関数
• 1変数ベクトル値関数の定義･属性
  • 1変数ベクトル値関数の定義
  • 1変数ベクトル値関数の定義域/ 1変数ベクトル値関数の像･値/ 1変数ベクトル値関数の値域/ 1変数ベクトル値関数の逆像･原像/ 有界な1変数ベクトル値関数
• n変数ベクトル値関数の定義･属性
  • ベクトル値関数の定義
  • ベクトル値関数の定義域/ ベクトル値関数の像･値/ ベクトル値関数の値域/ ベクトル値関数の逆像･原像/ 有界なベクトル値関数
• 写像･関数一般の定義･属性･類型
  • 写像･関数の定義
  • 写像の像･値/ 写像の逆像･原像
  • 全射･上射･上への写像/単射･入射･1対1写像/全単射･双射/標準的単射･包含写像/定値写像/恒等写像/逆写像･逆関数/合成写像

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数列の極限・収束：

• 定義：数列、単調数列、部分列、数列の収束・極限値、数列の上極限・下極限、数列の発散、∞に発散する、−∞に発散する
• 収束数列の性質と演算：数列の極限値はあるなら一つ、収束する数列は有界、、 数列の極限値と不等式について(a_n≦b_nでa_n→α,b_n→βのときα≦β；a_n≦b_nでa_n→∞ならb_n→∞；「はさみうちの原理」)
• 収束数列どおしの演算の極限
• 数列の収束の十分条件：有界な単調数列は収束する、Bolzano-Weierstrassの定理、
• 数列の収束の必要十分条件：コーシー列、コーシーの判定法
• 発散数列との演算の極限：
  • 発散数列に定数を足した数列の極限: ∞に発散する数列と定数の和、 −∞に発散する数列と定数の和
  • 発散数列を定数倍した数列の極限： 発散数列の符号の反転、 ∞に発散する数列と正の定数の積、 ∞に発散する数列と負の定数との積、 −∞に発散する数列と正の定数の積、 −∞に発散する数列と負の定数との積
  • 発散数列と数列とを足した数列の極限： ∞に発散する数列と下に有界な数列との和、 ∞に発散する数列と収束数列との和、 −∞に発散する数列と上に有界な数列との和、 −∞に発散する数列と収束数列との和
  • 発散数列と数列とをかけた数列の極限
• 収束の例：n→∞で、1/n、nのn乗根、それぞれがαに収束するデータn個の平均値、aⁿ/n!、aⁿ/n^k…

無限級数：

• 無限級数： 無限級数の定義、 正項級数の定義、 交代級数、 無限級数の基本的性質
• 無限級数の収束/発散の定義： 第n部分和、 部分和列、 級数の収束と和、 級数の発散、 絶対収束、 条件収束
• 無限級数の収束/発散の判定条件： コーシーの判定条件、 正項級数の収束条件
• 無限級数の下位類型： 等比級数の定義、 等比級数の収束と発散、 ベキ級数の定義

自然対数の底　e：

• 自然対数の底e：eの存在証明、eの定義、
• 定理：、
• 　　　

点列の極限・収束：

• 平面R²上の点列の極限
  • 定義：点列、部分列、点列の収束・極限点、ユークリッド空間における点列の収束・極限点、「有界」な点列、　
  • 定理：点列の収束と各座標ごとの数列の収束との関係、点列の極限点は存在するならばただ一つ、収束する点列は有界、収束する点列の任意の部分点列は同じ極限点に収束する、定理：Bolzano-Weierstrassの定理：有界な点列は、収束する部分点列をもつ。コーシーの判定条件、点列の極限（のベクトル）どおしの演算　　
• 空間Rⁿ上の点列の極限：
  • 定義：点列、部分列、点列の収束・極限点、ユークリッド空間における点列の収束・極限点、「有界」な点列
  • 定理：点列の収束と各座標ごとの数列の収束との関係
• 一般の距離空間・位相空間上の点列の極限：
  • 定義：点列、部分列、位相空間における点列の収束、距離空間における点列の収束・極限点

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1変数関数の極限

• 定義：関数の収束・極限値、右極限、左極限、片側極限、以上を包括する極限定義、発散（∞に、−∞）、 関数の収束と数列の収束の関連(x→x₀/x→x₀+0/x→x₀−0の場合、一般)
• 定義： x→＋/−∞のときの収束・極限値、x→＋/−∞のときの発散、x→∞での関数の収束と数列の収束の関連
• 定義：無限小、同位の無限小、〜に対して小さな(無視できる)(高位の)無限小"ランダウのo"、比較可能、〜で押さえられる無限小"ランダウのO"、
• 定理：関数の極限値どおしの演算に関する諸定理、コーシーの判定条件[x→ x₀/x→ x₀+0/x→ x₀-0のとき/一般]、コーシーの判定条件[x→∞のとき]、…　　　
• 例　：x→∞のときf(x)=a^x/x^k、、…　　　

2変数関数の極限

• 定義：2変数関数の収束・極限値、累次極限、極限と累次極限、関数の収束と点列・数列の収束の関連
• 定義：2変数関数が∞に発散、2変数関数が−∞に発散
• 定義：無限小、〜に対して小さな(無視できる)(高位の)無限小"ランダウのo"
• 定理：関数の極限値どおしの演算に関する諸定理、コーシーの判定条件[x→ x₀のとき]

n変数関数の極限

• 定義：n変数関数の収束・極限値、関数の収束と点列･数列の収束の関連
• 定義：n変数関数が∞に発散、n変数関数が−∞に発散
• 定義：無限小、〜に対して小さな(無視できる)(高位の)無限小"ランダウのo"、
• 定理：n変数関数の極限値どおしの演算に関する諸定理 [和差/定数倍/積/商]、 コーシーの判定条件

実数値関数一般の極限

1変数ベクトル値関数の極限

• 定義：1変数ベクトル値関数の収束・極限値、 1変数ベクトル値関数の極限の1変数関数の極限への言い換え、 関数の収束と点列の収束の関連

n変数ベクトル値関数の極限

• 定義：n変数ベクトル値関数の収束・極限値、 n変数ベクトル値関数の極限の多変数関数の極限への言い換え、 関数の収束と点列の収束の関連
• 定義：無限小、 〜に対して小さな(無視できる)(高位の)無限小"ランダウのo"
• 定理：ベクトル値関数の極限値どおしの演算に関する諸定理 [極限値とベクトル和/ 極限値とスカラー倍/ 内積]、 コーシーの判定条件

距離空間から距離空間への写像の極限

• 定義：距離空間のあいだの写像の収束・極限値、 写像の収束の点列収束への言い換え

関数列/関数項級数の極限

• 定義：関数列、その特定の一点における収束/発散/区間上での各点収束・極限関数/一様収束
• 定義：関数項級数、その特定の一点における収束/発散/区間上での各点収束/一様収束
• 一様収束判定条件：コーシーの判定条件(関数列の一様収束について/関数項級数の一様収束について) 、ワイエルストラスのM判定法,
• 極限と連続性：連続な関数列が一様収束すれば、極限関数も連続/連続な関数項の級数が一様収束すれば、和にあたる関数も連続
• 極限と積分：極限と積分の順序交換、項別積分、アルツェラの定理

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1変数関数のの連続性

• 連続性の定義：
  • 一点における連続性 (数列の収束への言い換え)
  • 右連続 (数列の収束への言い換え/ 単調減少列の収束への言い換え/ 単調減少関数の右連続性と数列の収束/ 単調増加関数の右連続性と数列の収束 )
  • 左連続 (数列の収束への言い換え/ 単調増大列の収束への言い換え/ 単調減少関数の左連続性と数列の収束/ 単調増加関数の左連続性と数列の収束)
  • 区間連続、区分的に連続、一様連続性
• 定理：
  • 連続関数一般の性質：関数の和差積商の連続性、合成関数の連続性
  • 閉区間上で連続な関数の性質：中間値定理、最大値・最小値定理、一様連続性
  • 単調関数と連続性：単調関数が閉区間上連続となるための条件、連続な単調関数の逆関数

2変数関数の連続性

• 連続性の定義：
  • 点P(x,y)での2変数関数の連続性、2変数関数が領域D上で連続、2変数連続関数
  • 「2変数についての連続性」と「各変数についての連続性」との関係、連続性の「点列の収束」への言い換え
  • 2変数関数の一様連続性
• 定理：
  • 1.2変数連続関数一般の性質：2変数関数の和差積商の連続性 /合成関数の連続性
  • 2.有界閉集合で連続な2変数関数の性質： 2変数連続関数による有界閉集合の像 / 有界閉集合で連続な2変数関数は有界 / 最大値最小値定理 / 一様連続性(ハイネの定理)
  • 3.連結な集合で連続な関数の性質：中間値定理/ 領域の像/ 閉領域の像

n変数関数の連続性

• 連続性の定義：
  • 点でのn変数関数の連続性、 n変数関数が集合上で連続、n変数連続関数
  • 「n変数についての連続性」と「各変数についての連続性」との関係、 連続性と「点列の収束」との関係
  • 一様連続性
• 定理：
  • 1.連続関数一般の性質：n変数関数の和差積商の連続性
  • 2.有界閉集合で連続なn変数関数の性質： n変数連続関数による有界閉集合の像 / 有界閉集合で連続なn変数関数は有界 / 最大値最小値定理 / 一様連続性(ハイネの定理)
  • 3.連結な集合で連続な関数の性質：中間値定理 / 領域の像 / 閉領域の像

実数値関数一般の連続性

• 連続性の定義：
  • 距離空間上の実数値関数が点Aで連続、 距離空間上の実連続関数、一様連続性
  • 位相空間上の実数値関数が点Aで連続、 位相空間上の実連続関数
  • 実数値関数の連続性と「点列・数列の収束」との関係
• 定理：
  • 1.連続関数一般の性質：実数値関数の和差積商の連続性 実数値関数の合成関数の連続性
  • 2.コンパクト空間で連続な実数値関数の性質： 実数値連続関数によるコンパクト空間の像 / コンパクト空間上の実数値連続関数は有界 / 最大値最小値定理 / 一様連続性(ハイネの定理)

ベクトル値関数の連続性

• 連続性の定義：
  • 点でのベクトル値関数の連続性、 ベクトル値関数が点集合上で連続、 ベクトル値連続関数
  • 「ベクトル値関数の連続性」の「多変数関数の連続性」への言い換え、
  • 「ベクトル値連続関数」の「開集合の逆像」を用いた表現、 連続性と「点列の収束」との関係
  • 一様連続性
• 定理：
  • 1.連続関数一般の性質：ベクトル値関数のベクトル和の連続性 / スカラー倍の連続性 / 合成関数の連続性
  • 2.有界閉集合で連続なベクトル値関数の性質： 連続なベクトル値関数による有界閉集合の像 / 有界閉集合で連続なベクトル値関数は有界 / 一様連続性(ハイネの定理)
  • 3.連結な集合で連続なベクトル値関数の性質： 連続関数の連結不変性

距離空間から距離空間への写像の連続性

• 連続性の定義：
  • 距離空間のあいだの写像の点での連続性、 距離空間のあいだの写像が点集合上連続、 距離空間のあいだの写像の一様連続性
• 連続写像一般の性質：
  • 写像の連続性の点列の収束への言い換え、 距離空間のあいだの連続写像と開集合の逆像、 合成写像の連続性
• コンパクト空間上の連続写像の性質： 連続写像のコンパクト不変性、 コンパクト空間上の連続写像の一様連続性
• 連結な空間上の連続写像の性質：連続写像の連結不変性

位相空間から位相空間への写像の連続性

• 連続性の定義：位相空間のあいだの写像の点での連続性、 位相空間のあいだの連続写像、 同相写像･同相位相･同型
• 連続写像一般の性質： 連続写像と点列の収束との関係、 合成写像の連続性
• コンパクト空間上の連続写像の性質：連続写像のコンパクト不変性
• 連結な空間上の連続写像の性質：連続写像の連結不変性

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• 1変数関数の微分の定義：
  • 点x=x₀で微分可能/ x=x₀における微分係数 [定義1 /定義2 /両定義の同値性]
  • 右微分可能・ 右微分係数、 左微分可能・ 左微分係数、 片側微分係数
  • 区間Ｉ上で微分可能、 導関数、 連続微分可能、 微分する、 微分(differential)
• 定理：y=f(xが点x=x₀で微分可能であるための条件、点x=x₀での微分可能と連続性
• 1変数関数の導関数の公式：
  • 定数の微分、関数の和の微分、関数の定数倍の微分、関数の積の微分、関数の商の微分
  • 合成関数の微分、逆関数の微分、媒介変数による微分
  • k次関数の微分(k：自然数)、k次関数の微分(k：実数全体) 、指数関数の微分、対数関数の微分
  • 絶対値の対数の微分、関数の対数の微分(応用1:対数微分法、応用2:変化率・弾力性)
• 1変数関数の高次微分
• 諸定義：
  • 第2次微分係数、2階導関数・第2次導関数
  • n階導関数・第n次導関数・高階導関数、Cⁿ級、C^∞ 級
• 諸定理：
  • 関数和の高次微分、関数積の高次微分(「ライプニッツの公式」)
  • 合成関数の高次微分、逆関数の高次微分
  • x^kの高次微分、指数関数の高次微分
• 1変数関数の多項式近似：
  • ロールの定理、平均値定理(系：単調増加/減少と導関数, 狭義単調増加/減少と導関数,定数と導関数)、コーシーの平均値定理
  • 入門版-テイラーの定理(ラグランジュの剰余項、コーシーの剰余項)、本格版-テイラーの定理
  • 関数の級数展開(テイラー展開、マクローリン展開)、マクローリン展開の具体例(指数関数、対数関数、…）
• 1変数関数の極値
• 諸定義：極小点・極小値、極大点・極大値、極点・極値、最大値、最小値
• 極値の判定：1階の必要条件、2階の必要条件、2階の十分条件、より高階の導関数を用いた条件
• 導関数と増減：単調増加/減少と導関数, 狭義単調増加/減少と導関数,定数と導関数
• 1変数関数の凸関数：
  • 凸集合、分離定理、凸関数（下に凸）、凹関数（上に凸）、凸関数と微分、凹関数と微分
  • 凸不等式（Jensenの不等式）、相加相乗平均不等式、ヘルダーの不等式

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• 2変数関数の偏微分
  • 定義： 点Pで偏微分可能/点Pにおける偏微分係数 [図解/原意/定義/操作化]、 偏導関数、 連続微分可能、 偏微分する、
  • 高次の偏微分の定義： 第2次(2階)偏導関数、第n次(n階)偏導関数・高階偏導関数、Cⁿ級、偏微分の順序[定理, Youngの定理, Schwarzの定理, 結論]
  • 勾配ベクトル（gradient vector,∇ナブラ、grad() ）、Δ(ラプラスの演算子・ラプラシアン)、ヘッセ行列、ヤコビアン(ヤコビ行列式)、
• 2変数関数の方向微分：
  • 定義：方向微分可能・方向微分係数[原意と図解/操作化/定義1/定義2]
  • 定理：方向微分係数の計算公式−偏微分係数から計算可
• 2変数関数の全微分：
  • 定義：全微分可能・微分係数 [原意と図解 /数式表現1 /数式表現2 /数式表現3 /数式表現4 ]、 全微分、 2階全微分、 高階全微分（二項定理風の略記）
  • 定理：全微分可能なら連続、 全微分可能なら偏微分可能、 全微分可能と方向微分、 全微分可能の十分条件、 接平面の方程式
• 2変数関数の微分の応用
• 合成関数の微分可能性：
• 二つの1変数関数と一つの2変数関数との合成関数:連続性、微分可能性と連鎖公式、C¹級、Cⁿ級、n階微分の公式、二つの1次関数と１変数関数との合成関数のn階微分、　
• 二つの2変数関数と一つの2変数関数との合成関数:C¹級、全微分可能性、偏微分可能性と連鎖公式、Cⁿ級、C^∞級、Cⁿ級関数の多項式)
• オイラーの定理
• テイラーの定理： 1階のテイラーの定理（平均値の定理） / 2階のテイラーの定理・1次近似多項式 / 3階のテイラーの定理・2次近似多項式 / 2次テイラー展開・2次多項式近似の剰余項の評価 / テイラーの定理(一般形)
• 極値問題：　
• 諸定義： 広義の極小点・極小値 / 狭義の極小点・極小値 / 広義の極大点・極大値 / 狭義の極大点・極大値 / 広義の極点・極値 / 狭義の極点・極値 / 臨界点・臨界値 / 停留点・停留値 / 鞍点・峠点
• 極値判定： 極値の判定条件 / 1階の必要条件 / 2階の必要条件 / 極大の2階十分条件 / 極小の2階十分条件
• 陰関数定理、逆関数定理、ラグランジュ未定乗数法

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• n変数関数の偏微分:
  • 偏微分の定義： 点Pで偏微分可能/点Pにおける偏微分係数、 偏導関数、 連続微分可能、 偏微分する
  • 高次偏微分の定義： 第2次(2階)偏導関数、 第n次(n階)偏導関数・高階偏導関数、 Cⁿ級、 偏微分の順序 [定理, Youngの定理, Schwarzの定理, 結論]
  • 勾配ベクトル（gradient vector,∇ナブラ、grad() ）、 ヘッセ行列、 ヤコビアン(ヤコビ行列式)
• n変数関数の方向微分
  • 方向微分の定義： 方向微分可能・方向微分係数 [定義1/ 定義2]/ 方向導関数
  • 方向微分の性質：方向微分係数の計算公式
• n変数関数の全微分
  • 定義：1点における全微分可能性・微分係数 [原意/ 数式表現1/ 数式表現2/ 数式表現3/ 数式表現4] /全微分
  • 定理：： 全微分可能ならば方向微分可能/ 微分係数は勾配ベクトルに等しい/ 全微分可能と方向微分/ 接平面の方程式/ 全微分可能なら連続/ 全微分可能の十分条件
• n変数関数の微分の応用
  • テイラーの定理： 1階のテイラーの定理(平均値の定理) / 2階のテイラーの定理・一次近似多項式 / 3階のテイラーの定理・二次近似多項式 / m階のテイラーの定理(一般形)
  • テイラー展開： 2次テイラー展開・2次多項式近似の剰余項の評価 / m次テイラー展開・m次多項式近似の剰余項の評価
  • 極値問題：
    • 極値の諸定義： 広義の極小点 / 広義の極小値 / 狭義の極小点 / 狭義の極小値 / 広義の極大点 / 広義の極大値 / 狭義の極大点 / 狭義の極大値 / 広義の極値 / 狭義の極値 / 臨界点 / 臨界値 / 鞍点･峠点
    • 極値判定： 極大極小の1階の必要条件 / 極大の2階必要条件 / 極小の2階必要条件 / 極大の2階十分条件 / 極小の2階十分条件

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• 1変数m値ベクトル値関数の微分法
  • 定義：1変数値ベクトル値関数の微分可能・微分係数の定義
  • 性質：1変数ベクトル値関数の微分可能と連続性

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• n変数m値ベクトル値関数の微分法
  • 定義： 多変数ベクトル値関数の微分可能・微分係数の定義 [要旨/ 表現1−ランダウの記号を用いずに/ 表現2−ランダウの記号を用いて]/ 導関数
  • 性質：ベクトル値関数の微分可能の実数値関数の微分可能への還元/ 微分係数の偏微分係数・ヤコビ行列への帰着

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1変数関数の定積分

• 定積分の定義：分割・分点・幅、リーマン和、積分可能、定積分
• 積分可能性判定条件：
  • 過剰和・不足和、振動量・振幅、細分、下積分、上積分、これらの基本概念間の関係についての定理
  • ダルブーの定理、可積分条件、閉区間上の単調関数は可積、閉区間上の連続関数は可積、閉区間上有限個の点を除いて連続な関数は可積
• 定積分の性質：
  • 閉区間上可積ならそれに含まれる任意の閉区間で可積、区間加法性
  • 定数の定積分、線形性、可積な関数の積の可積性、可積な関数の合成関数、可積関数の逆数の可積性
  • 積分の単調性、積分の第一平均値定理
• 原始関数：
  • 原始関数の定義
  • 原始関数の性質：同一関数の原始関数どおしの関係と積分定数、線形性、部分積分法、置換積分法(積分の変数変換公式)
  • 基本的な関数の原始関数：1の原始関数、x^pの原始関数 、1/xの原始関数、e^xの原始関数、a^xの原始関数、log|x|の原始関数、(ax+b)ⁿの原始関数、1/(ax+b)の原始関数、f(ax+b)の原始関数
• 向きつき定積分：定義、単調性、三角不等式、区間加法性
• 不定積分の定義と性質： 不定積分・積分関数、その連続性、その微分可能性(原始関数と不定積分との関係)
• 定積分の計算：解析学の基本定理、置換積分 (積分の変数変換公式)、部分積分、偶関数・奇関数の積分

1変数関数の広義積分

• 非有界関数の広義積分の定義：
  • 特異点・不連続点
  • 閉区間の左端点が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 閉区間の右端点が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 閉区間の両端が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 閉区間の中の一点が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 閉区間の中の複数個の点が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 主値積分・Cauthyの主値
• 無限区間における広義積分の定義(無限積分):
  • [a,∞)で広義積分(可能)
  • (−∞, a]で広義積分(可能)
  • (−∞, ∞)で広義積分(可能)
• 広義積分の性質:
  • 区間I上広義可積ならIに含まれる任意の区間で広義可積、区間加法性
  • 線形性、広義積分可能な関数の積、単調性
  • 絶対可積・絶対収束、条件収束、三角不等式
  　
• 向き付き広義積分:定義、区間加法性　
• 不定積分(積分関数):定義、連続性、微分可能性(原始関数と不定積分との関係)　
• 広義積分の計算：解析学の基本定理(有限区間での広義積分について、無限区間での広義積分について)
• 広義積分の収束条件：
  • 収束・絶対収束・条件収束、コーシーの判定法
  • 広義積分が絶対収束するための十分条件(その1 )、広義積分が絶対収束するための十分条件 (その2)
• ガンマ関数:定義・性質

1変数関数のスチルチェス積分

• 定義：スチルチェス和,スチルチェス積分可能,スチルチェス積分
• 性質(1)：線形性(1),線形性(2),部分積分公式, 単調性,三角不等式,第1平均値定理
• 有界変動：
  • 定義:変動量、有界変動、総変動量(その区間加法性)、正の変動・負の変動・全変動
  • 性質:有界変動関数は有界,有界変動関数の和差積も有界変動,単調関数は有界変動,有界変動関数は二つの単調増加関数の差に等しい
• 積分可能性判定条件：
  • 過剰和・不足和・その性質,下積分・上積分・その性質,ダルブーの定理は不成立
  • 有界関数の単調増加関数に関するスチルチェス可積分条件:1.スチルチェス可積分の必要十分条件,2.上積分=下積分の必要十分条件,3.スチルチェス可積分⇒上積分=下積分,4.有界関数は単調増加連続関数に関してスチルチェス可積,5.連続関数は単調増加関数に関しスチルチェス可積
  • 連続関数は有界変動関数に関しスチルチェス可積,有界変動関数は連続関数に関しスチルチェス可積
• 性質(2)：スチルチェス積分のリーマン積分への帰着

矩形上の2重積分

• 定義：分割(矩形網)、 リーマン和、 矩形上で積分可能、 2重積分
• 矩形上の2重積分可能条件：
  • 過剰和・不足和・その性質、 振動量・振幅、 細分、 、 下積分・上積分・その性質
  • ダルブーの定理、可積分であるための必要十分条件
  • 閉矩形上連続なら積分可能
• 性質：区間加法性、 線形性 可積分関数の積 単調性 三角不等式 第1平均値定理
• パラメーターを含む積分の性質： 極限と積分の順序交換、 連続性
• 計算1： 累次積分の定義 重積分の累次積分への還元可能条件 連続関数の重積分は、累次積分に還元可能
• 面積：
  • 定義: 内面積,外面積,面積・面積確定
  • 性質: 加法性,有限加法性,劣加法性,ゼロ面積の和集合
  • 面積ゼロの性質: negligible set, negligibleと面積ゼロは同値, 零集合、 negligible(面積ゼロ)なら零集合、 有界閉かつ零集合ならnegligible(面積ゼロ)
• 矩形上の2重積分可能条件(続)： 可積の必要十分条件:不連続点が零集合、 不連続点がnegligibleなら可積、 不連続点が面積ゼロなら可積、 面積確定集合の境界は面積ゼロで零集合、

有界集合上の2重積分

• 定義1：2重積分
• 可積分条件：十分条件、必要十分条件
• 性質(1)：線形性、可積分関数の積、単調性、三角不等式、積分の第１平均値定理
• 性質(2)：面積0の集合上の積分、積分範囲加法性、積分範囲に関する有限加法性、三角不等式、積分の第１平均値定理
• 計算：重積分の累次積分への還元可能条件、連続曲線で囲まれた集合上での、連続関数の重積分は、累次積分に還元可能
• 一般リーマン和：一般分割、一般リーマン和,リーマン積分可能になるなら、一般リーマン和も積分値へ収束

2重積分の変数変換公式

　広義重積分(2変数関数の広義積分)

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→確率論と統計学のビブリオグラフィー

標本空間

• 標本空間：　「試行」、「標本空間」、「標本点」　

可測空間

• 事象の定義：　「σ加法族」、「部分集合族Sから生成されるΩ上のσ集合体」ないし「Ωの部分集合からなる任意の族A0が与えられていると、A0を含む最小の完全加法族」、「事象」
• 可測空間：「可測空間」
• 事象と可測空間に関する諸定理：これが事象なら、あれも事象だ！と主張する定理たち。
• 事象関連用語：「事象」、「事象Aが起こる」、「全事象」、「空事象φ」、「和事象」、「積事象」、「排反」、「余事象」、「差事象」

確率空間

• 定義：「確率測度」「確率空間」
• 定理：空事象の確率、有限加法性、単調性、差法可能性、余事象の確率、劣加法性、加法則、連続性、

条件付確率・独立

• 条件付確率の定義まで：定義：P(A|B)、定理： P(・|B)は確率、定義：条件付確率
• 　　　　　　　　　　：乗法法則、「標本空間Ωの分割」、全確率の定理、ベイズの定理、
• 二つの事象の独立：定義、定理
• 複数の事象の独立：「対独立」、「独立」、独立⇒対独立　

確率変数

• 定義：「ボレル集合族」「A/B可測」「逆像」「確率変数・確率ベクトル」
• 定理：確率変数であることの必要十分条件 1・２　
• 定理：A/Bⁿ可測とA/B可測、ボレル可測、確率変数の関数　

確率分布

• P^xの定義、定理「P^xは(R¹,B¹)上の確率」、「確率分布」の定義
• 「周辺分布」「同時分布」
• 確率変数の関数の確率分布、

分布関数（1次元）

• 分布関数の定義、分布関数の性質、定理：分布関数と確率分布は1対1対応、定理：分布関数の性質を満たす任意の実数値関数は…　
• 定義：離散型確率変数・確率分布、定義：確率関数、確率関数の性質、例：幾何分布　
• 定義：連続型確率変数・確率分布、定義：確率密度関数、確率密度関数の性質、確率分布と確率密度関数、例：指数分布、無記憶性　　　

分布関数(2次元)

• 定義：同時分布関数・結合分布関数、同時分布関数の性質、　

分布関数（多次元）

• 定義：同時分布関数・結合分布関数、同時分布関数の性質、　
• 定義：連続型確率ベクトル、絶対連続な分布関数、同時確率密度関数、確率ベクトルの周辺確率密度関数、　

確率変数の独立性

• 定義：確率変数の独立性
• 定理：確率変数XとYとは独立であることの必要十分条件、独立な確率変数のBorel可測関数は独立、

期待値　

様々な確率分布とその性質

推定論

検定論