| n変数ベクトル値関数の微分 |
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・定義：微分可能・微分係数[要旨/表現1/表現2]/導関数 ・定理：微分可能と連続/ベクトル値関数の微分可能の実数値関数の微分可能への還元/微分係数の偏微分係数・ヤコビ行列への帰着 |
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※ 関連ページ・微分定義－n変数ベクトル値関数：偏微分の定義/方向微分の定義/ヤコビ行列とヤコビアン ・微分関連ページ－－n変数ベクトル値関数以外：1変数関数の微分/2変数関数の全微分/ n変数実数値関数の全微分 ・n変数ベクトル値関数の諸概念―微分以外： n変数ベクトル値関数の定義と属性/極限/連続/極限の性質 →総目次 |
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定義： n変数ベクトル値関数の微分可能、微分係数 |
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微分可能、微分係数を定義できる。 ・「 n変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)は点(a1, a2, …,an)で微分可能である」とは、 点(a1, a2, …,an)から(h1, h2, …,hn)だけ動かしたときのf の値の増分 Δf＝(Δf1, Δf2, …, Δfm) |
[ 文献]・杉浦『解析入門I』Ⅱ§6定義1 (p.127). ・杉浦『解析入門Ⅱ』Ⅵ(p.1). ・ルディン『現代解析学』9.10(p.207) ・入谷久我『数理経済学入門』定義7.6(p.175) ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-3 (pp.170-1) |
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＝ (f1(a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)－f1(a1, a2, …,an), f2(a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)－f2(a1, a2, …,an), …, fm (a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)－fm (a1, a2, …,an))が、 (h1, h2, …,hn)→(０,０, …,０) としたとき、 高次の無限小o (∥(h1, h2, …,hn)∥)を除き、 「一次写像g: Rn→Rm」によって(h1, h2, …,hn)をRmに写した像として表せることをいい、 このとき、 「一次写像gの行列」を、 「点(a1, a2, …,an)における n変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn) の微分係数」 という。 |
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・ こういう次第で、 n変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)の微分係数は、m行n列の実行列となる。なお、 n変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)の微分係数は、結局、(y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)のヤコビ行列となる。 |
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定義 |
「 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)は点(a1, a2, …,an)で微分可能であって、点(a1, a2, …,an)における微分係数は、m×n行列Mと表される」 は、 厳密には、次の数式で定義される。 ※ 表現1・表現2はどれも同じ。 ※ これらの定義は、「多変数実数値関数の全微分可能」の定義を、ベクトル値関数へ拡張したもの。 |
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[ 表現1－ランダウの記号を用いずに] |
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点(a1, a2, …,an)で微分可能で、 点(a1, a2, …,an)における微分係数は、m×n行列Mである」 とは、 実n次元縦ベクトルa＝t(a1, a2, …,an)に対して、ある一定のm×n行列Mが存在して、 実n次元縦ベクトルh＝t(h1, h2, …,hn)を、h→０ とすると、 ∥f (a+h)－（ Mh +f (a)）∥ / ∥h∥ →０ が満たされる ということ。 * Mhは、m×n行列Mと実n次元縦ベクトルhとの行列積を表す。 Mhは、実m次元縦ベクトルとなる。 +は、実n次元数ベクトル空間に定められているベクトル和を表す。 +,－は、実m次元数ベクトル空間に定められているベクトル和,逆ベクトルを表す。 * ∥・∥ は、・のユークリッドノルムを表す (分子はm次元ユークリッドノルム、分母はn次元ユークリッドノルム)。 |
・杉浦『解析入門Ⅱ』Ⅵ(p.1). ・ルディン『現代解析学』9.10(p.207) ・入谷久我『数理経済学入門』定義7.6(p.175) ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-3 (pp.170-1) |
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[ 表現2－ランダウの記号を用いて] |
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点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、 点(a1, a2, …,an)における微分係数は、m×n行列Mである」 とは、 実n次元縦ベクトルa＝t(a1, a2, …,an)に対して、ある一定のm×n行列Mが存在して、 実n次元縦ベクトルh＝t(h1, h2, …,hn)を、h→０ とすると、 f (a+h)－f (a)＝Mh+ o (∥h∥) （ h→０ ） が満たされる ということ。 * Mhは、m×n行列Mと実n次元縦ベクトルhとの行列積を表す。 Mhは、実m次元縦ベクトルとなる。 +は、実n次元数ベクトル空間に定められているベクトル和を表す。 +,－は、実m次元数ベクトル空間に定められているベクトル和,逆ベクトルを表す。 * ∥・∥ は、・のユークリッドノルムを表す。 |
・杉浦『解析入門I』Ⅱ§6定義1 (p.127). ・杉浦『解析入門Ⅱ』Ⅵ(p.1). ※微分係数はヤコビ行列に等しくなる[→定理] |
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Δf＝(Δf1, Δf2, …, Δfm) ＝(f1(a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)－f1(a1, a2, …,an), f2(a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)－f2(a1, a2, …,an), …, fm (a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)－fm (a1, a2, …,an)) が、 (h1, h2, …,hn)→(０,０, …,０) としたとき、 高次の無限小o (∥(h1, h2, …,hn)∥)を除き、(h1, h2, …,hn)の一次写像M t (h1, h2, …,hn)で表せる。 |
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*a+hは、実n次元縦ベクトル t(a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)になるので、 f (a+h)は、実m次元縦ベクトル t( f1(a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn), f2(a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn), …, fm (a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)) Mhは、m×n行列Mと実n次元縦ベクトルhとの行列積だから、 実m次元縦ベクトル t(M11h1+M12h2+…+M1mhn, M21h1+M22 h2+…+M2mhn, …, Mn1h1+Mn2h2+…+Mnmhn) f (a) は、実m次元縦ベクトル t( f1(a1, a2, …,an), f2(a1, a2, …,an), …, fm (a1, a2, …,an)) +,－は、実m次元数ベクトル空間に定められているベクトル和,逆ベクトルを表すから、 f (a+h)－（ Mh +f (a)）は、実m次元縦ベクトル t(f1(a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)－(M11h1+M12h2+…+M1mhn)－f1(a1, a2, …,an), f2(a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)－( M21h1+M22 h2+…+M2mhn)－f2(a1, a2, …,an), …, fm (a1+ h1, a2+ h2, …,an+ hn)－(Mn1h1+Mn2h2+…+Mnmhn)－fm (a1, a2, …,an)) |
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→ [トピック一覧：n変数ベクトル値関数の全微分]→総目次 |
| n変数ベクトル値関数の導関数 | ||
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各点(a1, a2, …,an)におけるfの微分係数は、各点(a1, a2, …,an)のとり方で一意に決まるので、 点(a1, a2, …,an)の関数とみなされる。 このように、 各点に対して、各点(a1, a2, …,an)におけるfの微分係数を対応付けた関数を、 「 n変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)の導関数」と呼び、 f ' で表す。 ※ (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)の導関数f ' は、 実n次元数ベクトルに対して、「一次写像」ないし「一次写像を表すm×n行列」を対応付ける関数となる。 n変数m値ベクトル値関数の微分係数が、「一次写像」ないし「一次写像を表すm×n行列」として定義されたため。 |
・杉浦『解析入門』Ⅱ§6定義1(p.128).. ・杉浦『解析入門Ⅱ』Ⅵ(p.2). ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-3 (pp.171) |
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導関数は、ヤコビ行列になる。 |
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→ [トピック一覧：n変数ベクトル値関数の全微分]→総目次 |
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定理： n変数ベクトル値関数の微分可能と連続性 |
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・杉浦『解析入門』Ⅱ§6定理6.1(p.128). |
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→ [トピック一覧：n変数ベクトル値関数の全微分]→総目次 |
| n変数ベクトル値関数の微分可能の、n変数実数値関数の全微分可能への還元 | ||
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命題P： n変数m値ベクトル値関数 ( y1,y2,…,ym ) = ( f1 (x1,x2,…,xn) , f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f ( x1,x2,…,xn ) は、点(a1, a2, …,an)で微分可能。 命題Q： n変数実数値関数y1 =f1 (x1,x2,…,xn) は、点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能。 かつ n変数実数値関数y2 =f2 (x1,x2,…,xn) は、点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能。 かつ ： ： かつ n変数実数値関数ym =fm (x1,x2,…,xn) は、点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能。 |
・杉浦『解析入門』Ⅱ§6定理6.2(p.128)：証明付. ・杉浦『解析入門Ⅱ』Ⅵ(p.1). ・ルディン『現代解析学』9. 13(p. 211) ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-3-Theorem3.3 (p.172) |
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→ [トピック一覧：n変数ベクトル値関数の全微分]→総目次 |
| n変数ベクトル値関数の微分係数の計算は、偏微分係数に帰着できる | ||
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( y1,y2,…,ym ) = ( f1 (x1,x2,…,xn) , f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) ) = f ( x1,x2,…,xn ) が、点(a1, a2, …,an)で微分可能 ならば、 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)の点(a1, a2, …,an)における微分係数M(m×n行列)は、 第1行に、f1 (x1,x2,…,xn) の点(a1, a2, …,an) における微分係数 grad f1 ( a1, a2, …,an ) ＝（∂f1 (a1, a2, …,an)/∂x1 ,∂f1 (a1, a2, …,an)/∂x2 ,…,∂f1 (a1, a2, …,an)/∂xn ） 第2行に、f2 (x1,x2,…,xn) の点(a1, a2, …,an) における微分係数 grad f2 ( a1, a2, …,an ) ＝（∂f2 (a1, a2, …,an)/∂x1 ,∂f2 (a1, a2, …,an)/∂x2 ,…,∂f2 (a1, a2, …,an)/∂xn ） ： ： 第m行に、fm (x1,x2,…,xn) の点(a1, a2, …,an) における微分係数 grad fm ( a1, a2, …,an ) ＝（∂fm (a1, a2, …,an)/∂x1 ,∂fm (a1, a2, …,an)/∂x2 ,…,∂fm (a1, a2, …,an)/∂xn ） が入るm×n行列となる。 2. つまり、 n変数m値ベクトル値関数 ( y1,y2,…,ym ) = f ( x1,x2,…,xn ) が、点(a1, a2, …,an)で微分可能 ならば、 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)の点(a1, a2, …,an)における微分係数M(m×n行列)は、 (y1,y2,…,ym)=f (x1,x2,…,xn)のヤコビ行列となる。 |
・杉浦『解析入門』Ⅱ§6命題6.3 (pp.129-130) ：証明付.. ・ルディン『現代解析学』9. 13(p. 211) ・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-3-Theorem3.3 (p.172) |
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→ [トピック一覧：n変数ベクトル値関数の全微分]→総目次 |