実数値関数とその属性・類型:トピック一覧 |
・定義:実数値関数 ・定義:実数値関数の定義域/像・値/値域/逆像・原像/実数値関数の最大値・最大点・最小値・最小点 ・定義:有界な実数値関数/単関数 |
※ 関数定義関連ページ:1変数関数/2変数関数/ n変数関数/ベクトル値関数/写像一般※実数値関数に関する諸概念の定義:実数値関数の極限/連続性/可測関数 ※総目次 |
定義:実数値関数 |
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定義 |
実数値関数 とは、「集合X(集合ならなんでもよい)の元に対して、実数を対応づける規則」 「集合Xの部分集合D(定義域)に属す各点にたいして、実数を対応づける規則」 「集合Xの部分集合D(定義域)から、実数体Rへの、写像」 のこと。 f : D→R 、f :X⊃D→R などと表す。 |
[ 文献]松坂『集合・位相入門』4章§4-B(pp.178-182); |
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定義 |
測度論などでは、 広義の実数を対応づける規則」 「集合Xの部分集合D(定義域)に属す各点にたいして、 広義の実数を対応づける規則」 「集合Xの部分集合D(定義域)から、広義の実数の集合R*への、写像」 f : D→R* 、f :X⊃D→R* という、「広義の実数値関数」とでもいえるものを定義して用いる。 |
[ 文献]志賀『ルベーグ積分30講』17講(p.127)18講(p.134):図解つき; 伊藤『ルベーグ積分入門』§10(p.60); |
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下位 |
・集合 Xに実数体Rを指定したケース:単なる一変数関数「f :R⊃D→R」・集合XにR2を指定したケース:単なる2変数関数「f :R2⊃D→R」 ・集合XにRnを指定したケース:単なる n変数関数「f :Rn⊃D→R」 |
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一般化 |
・ ベクトル値関数/写像一般 |
domain | ||
実数値関数「f :X⊃D→R」の定義域とは、 「Xの部分集合」Dのこと。 |
[一般化]ベクトル値関数の定義域 |
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→ [トピック一覧:実数値関数とその属性]→総目次 |
点の像 |
「 実数値関数f によるP∈Xの像」「P∈Xにおけるf の値」 f (P) とは、 f によってP∈Xに対応付けられた実数のこと。 |
[一般化]ベクトル値関数の像・値/写像の「像」 |
集合の像 |
「 実数値関数f による『定義域の部分集合A』の像」f (A)とは、『定義域の部分集合A』に属す元のfによる像を、全部集めて出来る集合のこと。 つまり、f :X⊃D→R 、A⊂D⊂Xにたいして、f (A)={ f (a)∈R | a∈A⊂D⊂X } と定義される。 |
range | ||
実数値関数「f :X⊃D→R」のの値域とは、 f による定義域の像 f (D)={ f (a)∈R | a∈D⊂X } のこと。 |
[ 具体例]1変数関数の値域/ 2変数関数の値域/ n変数関数の値域[一般化]ベクトル値関数の値域 |
inverse image | ||
点の逆像 |
「 P∈D⊂Xが実数値関数『f :X⊃D→R』による実数bの逆像である」P=f −1 (b) とは、 P∈D⊂Xのf による像が実数bであるということ f (P)=b をいう。 ※実数bのf による逆像は、複数存在しうる。 |
[ 具体例]1変数関数の逆像 2変数関数の逆像 n変数関数の逆像・原像 [一般化] ベクトル値関数の逆像 写像の「逆像」 [文献]黒田『微分積分学』3.1.2(p.86;87) |
集合の |
「 実数値関数『f :X⊃D→R』による『R上の点集合B』の逆像」f −1 (B) とは、 定義域Dに属す元のうち、その像がBに入るもの全体の集合のこと。 つまり、f :X⊃D→R 、B⊂Rにたいして、 f -1 (B)={ a∈D⊂X | f (a)∈B⊂R} と定義される。 |
最大値 |
「 実数値関数f の集合Aにおける最大値」とは、「f による『定義域の部分集合A』の像」の(実数の集合としての)最大元のこと。 つまり、 f :X⊃D→R 、A⊂D⊂Xという設定のもとで、「実数値関数f の集合Aにおける最大値」といえば、max f (A)を指す。 ※「実数値関数f の集合Aにおける最大値」は存在する場合もあれば、存在しない場合もある。 →最大値・最小値定理 |
[ 文献] |
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最大点 |
「 P∈D⊂Xが、実数値関数f の集合Aにおける最大点である」とは、「Pのf による像」f (P)が「f の集合Aにおける最大値である」ということ。 つまり、f :X⊃D→R , P∈A⊂D⊂Xとの設定下で「Pが実数値関数f の集合Aにおける最大点である」といえば、 f (P)=max f (A) となることを指す。 |
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最小値 |
「 実数値関数f の集合Aにおける最小値」とは、「f による『定義域の部分集合A』の像」の(実数の集合としての)最小元のこと。 つまり、f :X⊃D→R 、A⊂D⊂Xという設定のもとで、「実数値関数f の集合Aにおける最小値」といえば、 min f (A)を指す。 ※「実数値関数f の集合Aにおける最小値」は存在する場合もあれば、存在しない場合もある。 →最大値・最小値定理 |
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最小点 |
「 P∈D⊂Xが、実数値関数f の集合Aにおける最小点である」とは、「Pのf による像」f (P)が、「f の集合Aにおける最小値である」ということ。 つまり、f :X⊃D→R, P∈A⊂D⊂Xとの設定下で「Pが 実数値関数fの集合Aにおける最小点である」といえば f (P)=min f (A)となることを指す。 |
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有界 |
「 実数値関数『f :X⊃D→R』が有界である」とは、f の値域がR上の点集合として有界であるということ、 つまり、 「定義域Dに属すあらゆる元Pに対して、| f (P)|≦M」を満たす実数M>0が存在する 論理記号では、(∃M>0)(∀P∈D⊂X)(| f (P) |≦M) ということ をいう。 |
Rudin『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。 杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55); |
点集合 |
「 実数値関数『f :X⊃D→R』が集合Aで有界である」とは、「f による『定義域の部分集合A』の像」f (A)がR上の点集合として有界であるということ。 つまり、f :X⊃D→R 、A⊂D⊂Xという設定のもと、 「集合Aに属すあらゆる元Pに対して、| f (P)|≦M」を満たす実数M>0が存在するということ 論理記号では、(∃M>0)(∀P∈A⊂D⊂X)(| f (P) |≦M) |
simple function | |||
設定 |
単関数は次のように設定された舞台上で定義される。 Step2:集合Xの部分集合をとり、Eと名づける。つまり、E⊂X Step3:実数を全てあつめた集合(実数体)R、 ないしは、広義の実数を全てあつめた集合R* を用意する Step4:集合Eから実数体Rへの実数値関数「 f:E→R 」 ないし、 集合Eから「広義の実数の集合R*」への関数「f:E→R*」 を用意。 つまり、 fとは、Xの部分集合の各元ごとに、 それに対応する実数ないし広義の実数を一つずつ定めた写像(点関数)。 ![]() |
[ 文献]伊藤『ルベーグ積分入門』§10(p.60); 志賀『ルベーグ積分30講』16講(p.122);18講(p.135); 盛田『実解析と測度論の基礎』定義2.9(p.61); 志賀徳造『ルベーグ積分から確率論』p.34; 高橋『微分と積分2』§1.1定義1.1(p.2):R上の単関数 小谷『測度と積分』§2.2(p.24) |
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はじめに読むべき定義 |
「 実数値関数 f:E→R ないし 広義の実数値関数f:E→R* が単関数である」とは、f のとる値が、有限nとおりの実数{α1 ,α2 ,α3 ,…,αn }に限られていて、 α1 のfによる逆像 f−1( α1 )={ x∈E| f(x)=α1 } α2 のfによる逆像 f−1( α2 )={ x∈E| f(x)=α2 } α3 のfによる逆像 f−1( α3 )={ x∈E| f(x)=α3 } : αn のfによる逆像 f−1( αn )={ x∈E| f(x)=αn } が互いに素であって、 f の定義域Eが、これらの直和 f−1(α1 )+f−1(α2 )+f−1(α3 )+…+f−1(αn ) となることをいう。 ![]() |
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きちんとした定義 |
「 実数値関数 f:E→R ないし 広義の実数値関数f:E→R* が単関数である」とは、定義域Eの直和分割{E1,E2,E3,…,En} (つまり、 E=E1+E2+E3+…+Enを満たす有限n個のの互いに素な集合E1,E2,E3,…,En) と、 n個の相異なる実数α1 , α2 , α3 , … , αn とがあって、 集合Eiの定義関数 χEi ( )を用いて、 実数値関数 f:E→R ないし 広義の実数値関数f:E→R* が f (x)=α1χE1(x)+α2χE2(x)+α3χE3(x)+…+αnχEn(x) と表されること。 ※したがって、 x∈E1ならば、 f(x)=α1 、 x∈E2ならば、f(x)=α2 、 x∈E3ならば、f(x)=α3 、 : x∈Enならば、f(x)=αn 、 となって、 単関数f (x)は、有限nとおりの値しかとらない。 |
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性質 |
・ 単関数が可測関数となるための必要十分条件 |
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下位 |
・ 集合Xに実数体Rの部分集合を指定したケース |
reference)
松坂和夫『
集合・位相入門』岩波書店、1968年。第4章§4連続写像A連続写像(位相空間から位相空間への連続写像)(pp.175-8);第4章§4連続写像B実連続関数(位相空間から実数体への連続写像)(pp.178-182);第6章§1距離空間とその位相-D距離空間の間の連続写像(pp.240-2)。