実数における順序概念 : トピック一覧

定義：実数の集合の最大元・最小元、最大数・最小数、最大値・最小値 Max, Min

設定 　R:　実数体　　 　≦：　実数体の定義によって、 　　　　実数体R上に定められている順序関係（特に全順序となるよう定められている）。 　　　　もちろん、実数体Rと順序"≦"とを組み合わせた(R,≦)は、順序集合。 　　　　（実数体の定義によって、(R,≦)は、特に、全順序集合となるよう定められている） 　A: 　Rの部分集合。ただし、空集合は除く。つまり、A⊂R , A≠φ　　 　　　 　m:　　Aの元。つまり、 m∈A 本題1

[文献] 　・斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３順序1.3.5(p.22) 　・松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.90) 　・『岩波数学辞典（第三版）』項目168.順序B諸定義 (pp.440-1) 　・杉浦『解析入門I』(p.4, pp.6-7) 　・高木『解析概論』§3.数の集合･上限･下限(pp.4-5) 　・笠原『微分積分学』1.1実数(p.3) 　・神谷浦井『経済学のための数学入門』定義2.1.4(p.60):順序集合全般について。 　・本橋『新しい論理序説』5.3a例2(p.91):論理記号での表現。 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』(p.3)

定義　：　実数の集合が上に有界　bounded from above　・　実数の集合の上界　upper bound　

定義：実数の集合の下界 lower bound ・下に有界 bounded from below 　　　

定義：実数の集合についての有界  bounded　　

定義：実数の集合の上限　supremum　最小上界　least upper bound　

設定 　R:　実数体　 　≦：　実数体の定義によって、 　　　　実数体R上に定められている順序関係（特に全順序となるよう定められている）。 　　　　もちろん、実数体Rと順序"≦"とを組み合わせた(R,≦)は、順序集合。 　　　　（実数体の定義によって、(R,≦)は、特に、全順序集合となるよう定められている） 　A: 　Rの部分集合。ただし、空集合は除く。つまり、A⊂R , A≠φ　　 　　　 　b :　　実数のひとつ。つまり、b∈R 。　　 　a :　　実数のひとつで、特に、Aに属すもの。つまり、a∈A 定義 【簡潔な定義】 　　集合Aの(Rでの)「最小上界 least upper bound」「上限 supremum」とは、　　 　　集合Aの(Rのなかでの)上界をすべてあつめた集合の最小元のこと。 【最小元の語義に遡った定義】 　　集合Aの(Rでの)「最小上界 least upper bound」「上限 supremum」とは、　　 　　集合Aの(Rでの)任意の上界bにたいして、 　　　b*≦b 　　を満たす集合Aの(Rでの)上界b* 　　のこと。　　　 【最小元,上界の語義に遡った定義】 　　集合Aの(Rでの)「最小上界 least upper bound」「上限 supremum」とは、　　 　　以下の2条件をともに満たすRの元b* のことをいう。 　　条件1.　(∀a∈A) ( a≦b* ) 　　　 　　条件2.　(∀a∈A) ( a≦b ) を満たす限りで任意のb∈Rにたいして、　b*≦b　 　　　　　　　　　　　　つまり、　(∀b∈R )（ (∀a∈A) ( a≦b ) ⇒ ( b*≦b ) ）　 記法 ・集合Aの最小上界・上限を、l.u.b. Aないしsup Aと書く。 ・集合Aが上に有界でないことを、supA=＋∞と書くこともあるが、 　supA=＋∞はあくまで「Aが上に有界でない」という意味であって、 　　「＋∞という数があって、supAが＋∞に等しい」という意味ではない。 　　　　[笠原『微分積分学』1.1実数(p.6);吹田・新保『理工系の微分積分学』(p.5)] 　 　実数体は、順序集合の特殊例（実数体の定義を見よ）。 　上記の、実数体における上限・最小上界の定義は、 　一般の順序集合(X,≦)における「上限・最小上界」の定義を、 　そのまま、(R,≦)に適用したもの。

[文献] 　・杉浦『解析入門I』§1実数[2]順序-定義2(p.6) 　・高木『解析概論』§3.数の集合･上限･下限(pp.4-5) 　・笠原『微分積分学』1.1実数(pp.6-7) 　・小平『解析入門I』§1.5-a上限下限(pp.36-7.) 　・松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.92) 　・小林昭七『微分積分読本:1変数』 1章4-[上界下界上限下限](p.8):数直線上に図解 　・神谷浦井『経済学のための数学入門』定義2.1.3(p.5９):順序集合全般について。 　・本橋『新しい論理序説』5.3a問題4(p.91):論理記号での表現 【類概念・関連概念】 ※適用対象を一般化：順序集合の部分集合の上限sup  　 ※適用対象を具体化：数列の上限 ※基礎となる概念　：上界　 ※双対概念　　　　：下限 inf　 ・集合Aが(Rのなかで)上に有界で、(Rのなかでの)上界が存在するならば、 　集合Aの(Rでの)最小上界・上限は、必ず存在する 　　（→実数体の定義―条件E:連続の公理･順序完備）。　　　　　　　[杉浦『解析入門I』(p.7); ] ・集合Aが(Rのなかで)上に有界で、集合Aの最小上界・上限が存在するとしても、 　それが集合Aに属すこともあれば、属さないこともある。 　集合Aの最小上界・上限が集合Aに属すならば、集合Aの最小上界・上限は集合Aの最大元である。 　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３1.3.5(p.23);松坂『集合･位相入門』3章§１-C(p.92):証明付]

定理：実数の集合の上限･最小上界の定義の言い換え（必要十分条件）

設定 　R:　実数体　　 　≦：　実数体の定義によって、 　　　　実数体R上に定められている順序関係（特に全順序となるよう定められている）。 　　　　もちろん、実数体Rと順序"≦"とを組み合わせた(R,≦)は、順序集合。 　　　　（実数体の定義によって、(R,≦)は、特に、全順序集合となるよう定められている） 　A: 　Rの部分集合。ただし、空集合は除く。つまり、A⊂R , A≠φ　　 　　　 　b* :　　実数のひとつ。つまり、b*∈R 。　　 本題

[文献] 　・杉浦『解析入門I』命題1.3(p.6)証明付 　・高木『解析概論』§3.数の集合･上限･下限(p.4) 　・笠原『微分積分学』1.1実数定理1.4(p.7)証明付; 　・小平『解析入門I』§1.5-a上限下限(pp.36-7.) 　・ルディン『現代解析学』1.34(pp.12-13) 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』(p.4) 　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.1-命題2)(p.53)

定理　：　実数の集合の上限と最大元の関係

設定 　R:　実数体　　 　≦：　実数体の定義によって、 　　　　実数体R上に定められている順序関係（特に全順序となるよう定められている）。 　　　　もちろん、実数体Rと順序"≦"とを組み合わせた(R,≦)は、順序集合。 　　　　（実数体の定義によって、(R,≦)は、特に、全順序集合となるよう定められている） 　A: 　Rの部分集合。ただし、空集合は除く。つまり、A⊂R , A≠φ　　 　　　 本題

[文献] 　・杉浦『解析入門I』命題1.3系(p.6)証明付 　・高木『解析概論』§3.数の集合･上限･下限(p.4) 　・笠原『微分積分学』1.1実数定理1.4系(p.7); 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』(pp.3-4) 　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』1章§３順序1.3.5(p.23) 　・松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.92)

定義　：　実数の集合の下限 infimum 　最大下界 greatest lower bound

設定 　R:　実数体　 　≦：　実数体の定義によって、 　　　　実数体R上に定められている順序関係（特に全順序となるよう定められている）。 　　　　もちろん、実数体Rと順序"≦"とを組み合わせた(R,≦)は、順序集合。 　　　　（実数体の定義によって、(R,≦)は、特に、全順序集合となるよう定められている） 　A: 　Rの部分集合。ただし、空集合は除く。つまり、A⊂R , A≠φ　　 　　　 　b :　　実数のひとつ。つまり、b∈R 。　　 　a :　　実数のひとつで、特に、Aに属すもの。つまり、a∈A 定義　 【簡潔な定義】 　　集合Aの(Rでの)「最大下界greatest lower bound」「下限infimum」とは、　　 　　集合Aの(Rのなかでの)下界をすべてあつめた集合の最大元のこと。 【最大元の語義に遡った定義】 　　集合Aの(Rでの)「最大下界greatest lower bound」「下限infimum」とは、　　 　　集合Aの(Rでの)任意の下界bにたいして、 　　　b≦b*　 　　を満たすAの(Rでの)下界b* 　　のこと。　　　 【最大元,下界の語義に遡った定義】 　　集合Aの(Rでの)「最大下界greatest lower bound」「下限infimum」とは、　　 　　以下の2条件をともに満たすRの元b*のことをいう。 　　条件1.　(∀a∈A) ( b*≦a ) 　　　 　　条件2.　(∀a∈A) ( b≦a ) を満たす限りで任意のb∈Rにたいして、　b≦b*　 　　　　　　　　　　　　　つまり、　(∀b∈R )（ (∀a∈A) ( b≦a ) ⇒ ( b≦b* ) ）　 記法 　・集合Aの最大下界greatest lower bound･下限infimumを、 　　g.l.b. Aないしinf Aと書く。 　・Aが下に有界でないことを、inf A=−∞と書くこともあるが、 　　inf A=−∞はあくまで「Aが下に有界でない」という意味であって、 　　「−∞という数があって、inf Aが−∞に等しい」という意味ではない。 　　　　　[笠原『微分積分学』1.1実数(p.6);吹田・新保『理工系の微分積分学』(p.5)] 　 　実数体は、順序集合の特殊例（実数体の定義を見よ）。 　上記の、実数体における下限・最大下界の定義は、 　一般の順序集合(X,≦)における「下限･最大下界」の定義を、 　そのまま、(R,≦)に適用したもの。

[文献] 　・杉浦『解析入門I』§1実数[2]順序-定義2(p.6) 　・高木『解析概論』§3.数の集合･上限･下限(pp.4-5) 　・笠原『微分積分学』1.1実数(pp.6-7) 　・小林昭七『微分積分読本:1変数』 1章4-[上界下界上限下限](p.8):数直線上に図解 　・小平『解析入門I』§1.5-a上限下限(pp.36-7.) 　・神谷浦井『経済学のための数学入門』定義2.1.3(p.5９):順序集合全般について。 【類概念・関連概念】 ※適用対象を一般化：順序集合の部分集合の下限inf 　 ※適用対象を具体化：数列の下限 ※基礎となる概念　：下界　 ※双対概念：上限sup 　 ・集合Aが(Rのなかで)下に有界で、(Rのなかでの)下界が存在するならば、 　集合Aの(Rでの)最大下界・下限は、必ず存在する 　　（→実数体の定義―条件E:連続の公理･順序完備）。　　　[杉浦『解析入門I』(p.7) ] ・集合Aが(Rのなかで)下に有界で、集合Aの最大下界・下限が存在するとしても、 　それが集合Aに属すこともあれば、属さないこともある。 　集合Aの最大下界･下限が集合Aに属すならば、集合Aの最大下界･下限は集合Aの最小元である。 　　　[斎藤『数学の基礎:集合･数･位相』1章§３1.3.5(p.23);松坂『集合･位相入門』3章§１-C(p.92):証明付]

定理　：　実数の集合の下限･最大下界の定義の言い換え（必要十分条件）

設定 　R:　実数体　　 　≦：　実数体の定義によって、 　　　　実数体R上に定められている順序関係（特に全順序となるよう定められている）。 　　　　もちろん、実数体Rと順序"≦"とを組み合わせた(R,≦)は、順序集合。 　　　　（実数体の定義によって、(R,≦)は、特に、全順序集合となるよう定められている） 　A: 　Rの部分集合。ただし、空集合は除く。つまり、A⊂R , A≠φ　　 　　　 　b* :　　実数のひとつ。つまり、b*∈R 。 本題

[文献] 　・杉浦『解析入門I』命題1.3(p.6)証明付 　・高木『解析概論』§3.数の集合･上限･下限(p.4) 　・笠原『微分積分学』1.1実数定理1.4(p.7)証明付; 　・ルディン『現代解析学』1.34(pp.12-13) 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』(p.4)

定理　：　実数の集合の下限と最小元の関係

設定 　R:　実数体　　 　≦：　実数体の定義によって、 　　　　実数体R上に定められている順序関係（特に全順序となるよう定められている）。 　　　　もちろん、実数体Rと順序"≦"とを組み合わせた(R,≦)は、順序集合。 　　　　（実数体の定義によって、(R,≦)は、特に、全順序集合となるよう定められている） 　A: 　Rの部分集合。ただし、空集合は除く。つまり、A⊂R , A≠φ　　 　　　 本題

[文献] 　・杉浦『解析入門I』命題1.3系(p.6)証明付 　・高木『解析概論』§3.数の集合･上限･下限(p.4) 　・笠原『微分積分学』1.1実数定理1.4系(p.7); 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』(pp.3-4) 　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』1章§３順序1.3.5(p.23) 　・松坂『集合･位相入門』第3章§１-C(p.92)

（reference）