実数の不等式の性質　：　トピック一覧　

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実数の反射律　

【設定】

　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。　　

【本題】

　　どんな実数 xも、　x≦x　を満たす。
　　つまり、　( ∀x∈R ) ( x≦x )

【なぜ？】

　　実数体の定義-条件B-1-1より、
　　　・( ∀x∈X) ( x≦x )を満たす集合Xを、実数体Rとよび　
　　　・実数体Rの元を実数と呼ぶ
　　のだから、
　　( ∀x∈R ) ( x≦x )は必ず成り立つ。
　　成り立たなければ、それらは実数ではない。





[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.4　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 　

実数の反対称律(1)　　

【設定】

　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。　　

【本題】

　どんな実数x,yについても、
  　　　　　　x≠yならば、
　　　　　　　x≦yかy≦xのいずれか一方であって、
　　　　　　　両方は同時に成り立たない。

【なぜ？】

　実数体の定義-条件B-1-2より、
　　　・「任意のx ,y ∈Xについて、
　　　　　　　　　　x≠yならば、
　　　　　　　　　　　x≦yかy≦xのいずれかであって、
　　　　　　　　　　　両方は同時に成り立たない」
　　　　を満たす集合Xを、実数体Rとよび　
　　　・実数体Rの元を実数と呼ぶ
　のだから、
　上記は必ず成り立つ。
　成り立たなければ、それらを実数と呼ばない。




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.4　　　　　　　　　　　　　　　　　


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実数の反対称律(2)　

【設定】


　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。　　

【本題】


　どんな実数x,yも、「x≦yかつy≦xならば、x=y」を満たす。
　　つまり、　( ∀x,y∈R ) ( x≦yかつy≦x ⇒ x=y )　

【なぜ？】

　　反対称律(1)の対偶。




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.4　　　　　　　　　　　　　　　　　


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実数の推移律　　

【設定】


　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。　　

【本題】


　どんな実数x,y,zについても、x≦yかつy≦zならば、x≦z　
　つまり、　( ∀x,y,z∈R ) ( x≦yかつy≦z ⇒ x≦z )

【なぜ？】

　実数体の定義-条件B-1-3より、
　　・( ∀x,y,z∈X ) ( x≦yかつy≦z ⇒x≦z )を満たす集合X
　　　を実数体Rとよび　
　　・実数体Rの元を実数と呼ぶ
　のだから、
　上記は必ず成り立つ。
　成り立たなければ、それらを実数と呼ばない。




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.4　　　　　　　　　　　　　　　　　


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実数の順序−全順序性・比較可能性(1)　

【設定】


　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。　　

【本題】


　どんな実数x,yについても、
　　　x≦y か y≦x の両方ないしいずれか一方が成り立つ。
　つまり、( ∀x,y∈R ) ( x≦yまたはy≦x )

【なぜ？】

　実数体の定義-条件B-2より、
　　・( ∀x,y∈X ) (  x≦yまたはy≦x )を満たす集合Xを、
　　　実数体Rとよび　
　　・実数体Rの元を実数と呼ぶ
　のだから、
　上記は必ず成り立つ。
　成り立たなければ、それらを実数と呼ばない。




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.4　　　　　　　　　　　　　　　　　


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実数の順序−全順序性・比較可能性(2)　

【設定】


　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。　　

【本題】


　どんな実数x,yについても、
　　　x=y,x<y,x>y のなかのどれか一つのみが成り立つ。

【なぜ？】

　実数体の定義-条件B-2より、
　上記は必ず成り立つ。
　成り立たなければ、それらを実数と呼ばない。




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.4定理2.4.3　　　　　　　　　　　　　　　


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実数での順序と狭義順序の関係

【設定】


　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。　　
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題1】


　どんな実数x,yについても、x<y ⇔ (x≦yかつx≠y) 　　　　


【なぜ？】


　狭義順序「<」の定義そのもの。

【本題2】


　どんな実数x,yについても、x≦y⇔(x<yまたはx＝y)　　　　

【なぜ？】


　・なぜ「 x≦y ⇒ 『x<yまたはx＝y 』」なのか？
　　 x≦y であるケースは、(i) x≠y と　(ii) x＝y のいずれかである。
　　(i) x≠y の場合、x≦y かつ x≠y。これは、【本題1】より、x<yを意味する。
　　したがって、x≦y ⇒ 「(i)x<y または(ii)x＝y」　　 　　　

　・なぜ「 『x<yまたはx＝y』 ⇒ x≦y 」 なのか？
　　・ x<y　⇒　x≦yかつx≠y 　∵【本題1】でみた狭義順序の定義　
　　　　　　⇒　x≦y　　　　　　∵　
　　・反射律より、 x≦x 　だから、　x＝y ⇒ x≦x＝y 。
　　　つまり、x＝y ⇒ x≦y　。　
　　・よって、 『x<yまたはx＝y』 ⇒ x≦y　




[文献] 　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.4定理2.4.1　　　　　　　　　　　　　　　

　
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実数の狭義順序における推移律

【設定】


　R:　実数体　
　≦： 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。　　
　＜： 実数体の定義‐条件B-1より、
　　　　　「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序　

【本題】


1.どんな実数x,y,zについても、
　　x≦yかつy<z　⇒　x<z　が成り立つ。　
　　　　　(  ∀x,y,z∈R ) ( x≦yかつy<z ⇒ x<z )

2.どんな実数x,y,zについても、x<yかつy≦z　⇒　x<z　
　　　　　(  ∀x,y,z∈R ) ( x<yかつy≦z　⇒　x<z )

3.どんな実数x,y,zについても、x<yかつy<z　⇒　x<z　
　　　　　(  ∀x,y,z∈R ) ( x<yかつy<z　⇒　x<z )
　　

【なぜ？】




[文献] 　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.4定理2.4.2(p.47)　　　　　　　　　　　　　


（1の証明）　　　　[赤『実数論講義』§2.4定理2.4.2(p.47);]　
・仮定の言換え
　x≦yかつy<z ⇔x≦yかつy≦zかつy≠z 　∵狭義順序と順序の関係から、y<z⇔y≦zかつy≠z 　　
・仮定が成り立てば…　
　x≦yかつy≦zかつy≠z⇒x≦zかつy≠z 　　　∵順序の推移律　
　　　　　　　　　　　　⇔（x<zまたはx＝z）かつy≠z
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵狭義順序と順序の関係から、x≦z⇔x<zまたはx＝z　
　　　　　　　　　　　　⇔（x<zかつy≠z）または（x＝zかつy≠z ）　　∵論理の分配律　
　　以上から、
　　「x≦yかつy<z」⇔「x≦yかつy≦zかつy≠z」⇒「（x<zかつy≠z）または（x＝zかつy≠z ）」　
・「x≦yかつy<z ならば、（x＝zかつy≠z ）」はありえない。
　　x≦yかつy<z がなりたっている、
　　　つまり、x≦yかつy≦zかつy≠z …(1)
　　　が成り立っており、
　　　なおかつ、x＝zかつy≠zが成り立っているとすると、…(2)
　　　(2)のx＝zを(1)のxに代入して、z≦yかつy≦zかつy≠z　とできることになるが、
　　　反対称律より、z≦yかつy≦z⇒y=z　であるから、
　　　z≦yかつy≦zかつy≠z　は、そもそも、矛盾を含んだ、ありえない命題なのであって、
　　　したがって、「x≦yかつy<z ならば、（x＝zかつy≠z ）」もありえない想定である。　
だから、結局、x≦yかつy<z　⇒　x<z　となる。　　　
（2の証明）　　
x<yかつy≦z
⇔x≦yかつx≠yかつy≦z 　∵狭義順序と順序の関係から、x<y⇔x≦yかつx≠y 　　
　　　⇒x≦zかつx≠y 　　　∵順序の推移律　
　　　　　⇔（x<zまたはx＝z）かつx≠y 　∵狭義順序と順序の関係から、x≦z⇔x<zまたはx＝z　
　　　　　⇔（x<zかつx≠y）または（x＝zかつx≠y ）　　∵論理の分配律　
x<yかつy≦z ならば、（x＝zかつx≠y ）はありえない。
　　x<yかつy≦z がなりたっている、
　　　つまり、x≦yかつx≠yかつy≦z …(1)
　　　が成り立っており、
　　　なおかつ、x＝zかつx≠yが成り立っているとすると、…(2)
　　　(2)のx＝zを(1)のzに代入して、x≦yかつx≠yかつy≦xとできることになるが、
　　　反対称律より、x≦yかつy≦x⇒x=y　であるから、
　　　x≦yかつx≠yかつy≦x　は、そもそも、矛盾を含んだ、ありえない命題なのであって、
　　　したがって、「x<yかつy≦z ならば、（x＝zかつx≠y ）」もありえない想定である。　
だから、
結局、x<yかつy≦z 　⇒　x<z　となる。　　　
（3の証明）　　　
x<yかつy<z
⇔x≦yかつx≠yかつy≦zかつy≠z
　　　　　　　∵狭義順序と順序の関係から、「x<y⇔x≦yかつx≠y」「y<z⇔y≦zかつy≠x」　　
　　⇒x≦zかつx≠y かつy≠z　　　∵順序の推移律　
　　　　　⇔（x<zまたはx＝z）かつx≠yかつy≠z　∵狭義順序と順序の関係から、x≦z⇔x<zまたはx＝z　
　　　　　⇔（x<zかつx≠yかつy≠z）または（x＝zかつx≠yかつy≠z ）　　∵論理の分配律　
x<yかつy<z ならば、（x＝zかつx≠yかつy≠z）はありえない。
　　x<yかつy<z がなりたっている、
　　　つまり、x≦yかつx≠yかつy≦zかつy≠z …(1)
　　　が成り立っており、
　　　なおかつ、x＝zかつx≠yかつy≠zが成り立っているとすると、…(2)
　　　(2)のx＝zを(1)のzに代入して、x≦yかつx≠yかつy≦xかつy≠zとできることになるが、
　　　反対称律より、x≦yかつy≦x⇒x=y　であるから、
　　　x≦yかつx≠yかつy≦xかつy≠z　は、そもそも、矛盾を含んだ、ありえない命題なのであって、
　　　したがって、「x<yかつy<z ならば、（x＝zかつx≠yかつy≠z）」もありえない想定である。　
だから、
結局、x≦yかつy<z　⇒　x<z　となる。　　　


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reference

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp. 417-418), 168.順序 (pp.440-441). 項目183数:E.実数 (p. 475).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§5定義2.5.13 (p.58)

【解析学テキストのなかで】

小平邦彦『解析入門I』(軽装版)岩波書店、2003年、§1.5-a上限下限(pp.36-7.)。
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、§3.数の集合・上限・下限(pp.1-5.)
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、§1実数(pp.1-9).
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.1実数(pp.1-7).。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.3-5.
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)。
赤攝也『実数論講義』SEG出版、1996年。
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。

【数理経済学テキストのなかで】

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64

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