絶対値　：　トピック一覧

　　・絶対値の定義/絶対値の性質
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定義：絶対値　absolute value


はじめに読むべき定義

・任意の実数xの絶対値 ｜x｜ は、

　　(i) x≧0　のとき、｜x｜ = x　
　　(ii) x≦0　のとき、｜x｜ = −x　
 
 と、定義される。　

順序概念を前提とした定義

・任意の実数xの絶対値 ｜x｜ とは、
　集合{ x, −x }の最大元
　　　max { x, −x }　
　のこと。
　　[杉浦『解析入門I』§1(p.4).
　　 吹田新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3)]




[文献]
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3).
　・杉浦『解析入門I』§1(p.4).
　・小平『解析入門I』§1.3(p.21)
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.23(p.59)
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67).

　・和達『微分積分』1-2(p.4)
※活用例：R上の距離概念　
※複素数の絶対値については、次を参照。
　・小平『解析入門I』§1.6(p.66)
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』3章§5I(p.90).　
　・永田『理系のための線型代数の基礎』1.1複素数(p.6)

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絶対値の性質


　　任意の実数xの絶対値｜x｜は、次の性質にしたがう。

【絶対値の性質１】　非負性
　
・どのような実数xであれ、以下を満たす。
　　・　｜x｜≧０
　　・　｜x｜=０　⇔　｜x｜=０
・論理記号で書くと、
　　　(∀x∈R)（｜x｜ ≧ ０）
　　　(∀x∈R)（｜x｜=０⇔｜x｜=０）
※なぜ？→絶対値の定義からただちに。




[文献]
　・杉浦『解析入門I』§1命題1.2-1(p.4);
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2４-i(p.59)
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67).

　・和達『微分積分』1-2(p.4)
　　

【絶対値の性質2】　もとの実数との比較
　
・どのような実数xであれ、
　　　　 ｜x｜ ≧ x
　を満たす。
・論理記号で書くと、　(∀x∈R)（｜x｜ ≧ x）
※なぜ？→証明　




[文献]
　・杉浦『解析入門I』§1(1.9)(p.4);

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.25-iii(p.59)


【絶対値の性質3】　もとの実数の反数と比較
　
・どのような実数xであれ、
　　　｜x｜ ≧ −x
　を満たす。
・論理記号で書くと、
　　(∀x∈R)（｜x｜ ≧ −x）




[文献]
　・杉浦『解析入門I』§1(1.9)(p.4);





【絶対値の性質4】

・どのような実数xであれ、
　　｜x｜ ＝ ｜−x｜
　を満たす。
・論理記号で書くと、　(∀x∈R)（｜x｜ ＝ ｜−x｜）
※活用例：
　　・「an→α (n→∞) ⇒−an→−α (n→∞) 」の証明　




[文献]
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2４-ii(p.59);





【絶対値の性質5】 積と絶対値の順序交換
　
・どのような実数x,yであれ、
　　　｜xy｜ ＝ ｜x｜ ｜y｜ 
　を満たす。

・論理記号で書くと、
　　　(∀x、y∈R)（｜xy｜ ＝ ｜x｜ ｜y｜ ）

※なぜ？→証明




[文献]
　・杉浦『解析入門I』§1命題1.2-2(p.4)
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67).
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2４-iii(p.59)





※活用例：「an→α (n→∞)  ⇒『∀c∈Rにたいして、can→cα (n→∞)』」の証明　

【絶対値の性質6】 商と絶対値の順序交換
　
・任意の実数x、０を除く任意の実数yについて、
　　　｜x/y｜ ＝ ｜x｜ / ｜y｜ 
　が成り立つ。

・論理記号で書くと、
　(∀x,y∈R)（　y≠0⇒　｜x/y｜ ＝ ｜x｜ / ｜y｜  ）
 





[文献]
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2４-iv(p.59);





【絶対値の性質7】 累乗と絶対値の順序交換
・どのような実数xであれ、
　　｜x｜2 ＝ x2
　を満たす

・論理記号で書くと、
　　　(∀x∈R)（　｜x｜2 ＝ x2  ）
・さらに言うと、
　任意の実数xにたいして、 ｜x｜2 ＝ x2 ＝ ｜−x｜2
※なぜ？→証明　　　




[文献]
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2４-v(p.59);





【絶対値の性質8-1】 三角不等式

・どのような実数x,yでも、
　　　｜x＋y｜≦｜x｜＋｜y｜　　　
　を満たす。

・論理記号で書くと、
　　　(∀x、y∈R)（　｜x＋y｜≦｜x｜＋｜y｜  ）

※なぜ？→証明　　　　
※活用例→d(x,y)=｜x−y｜は距離の公準3三角不等式を満たす。




[文献]
　・吉田-栗田-戸田『昭和62年文部省検定済:高等学校数学I』啓林館,4章3.(p.104.)
　・小平『解析入門I』§1.3(p.21)
　・杉浦『解析入門I』§1命題1.2-3(p.4)
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67).

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2６-i(p.59);


【絶対値の性質8-2】
・どんな実数x,yでも、
　　 ｜｜x｜−｜y｜｜≦｜x−y｜≦｜x｜＋｜y｜
　を満たす。
・論理記号で書くと、
　(∀x,y∈R)（｜｜x｜−｜y｜｜≦｜x−y｜≦｜x｜＋｜y｜）
※なぜ？→証明　　
※活用例→積分の三角不等式　




[文献]
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3).

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2６-iii(p.59)



【絶対値の性質8-3】
・どんな実数x,yでも、
　　 ｜x｜−｜y｜ ≦ ｜x｜＋｜y｜　
　を満たす。

・論理記号で書くと、
　　　(∀x、y∈R)（ ｜x｜−｜y｜ ≦ ｜x｜＋｜y｜ ）




[文献]
　・杉浦『解析入門I』§1命題1.2-4(p.4):証明付.
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3).

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2６-ii(p.59)


【絶対値の性質9】

・どんな実数xでも、
　　｜x｜ =  √ x2　 　　
　を満たす。

・論理記号で書くと、
　　　(∀x∈R)（｜x｜ =  √ x2　 ）　





[文献]
　・吉田-栗田-戸田『昭和62年文部省検定済:高等学校数学I』啓林館, 2章2実数(p.54):証明無.

　・



【絶対値の性質10-1】

・任意の実数x、任意の非負の実数aについて、
　以下の命題P,命題Qは同じことを意味している。
　　命題P「｜x｜ ≦ a」
　　命題Q「−a≦ ｜x｜ ≦ a」

・論理記号で書くと、
　（∀x,a∈R）（a≧0⇒（｜x｜ ≦ a ⇔ −a≦ ｜x｜ ≦ a））




[文献]
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.25(p.59)

　・



【絶対値の性質10-2】

・任意の実数x、任意の非負の実数aについて、
　以下の命題P,命題Qは同じことを意味している。
　　命題P「｜x｜ ≧ a」
　　命題Q「x≧ aまたは x ≦ −a」




[文献]
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.25(p.59)

　・


・論理記号で書くと、
　（∀x,a∈R）（a≧0⇒（｜x｜≧a⇔「x≧ aまたはx≦−a」））


【絶対値の性質10-3】


・任意の実数x,a、任意の非負の実数εについて、
　以下の命題P,命題Qは同じことを意味している。
　　命題P「｜x−a｜ ≦ ε」
　　命題Q「a−ε≦x≦ a+ε」




[文献]
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.25(p.59)

　・


・論理記号で書くと、
　（∀x,a,ε∈R）（ε≧0⇒(｜x−a｜ ≦ ε⇔「a−ε≦x≦ a+ε」)）


【絶対値の性質11】

・実数x,aが、
　　「任意の非負の実数εに対して、｜x−a｜ < ε」
 　を満たすならば、
　この実数x,aは、x=a を満たす。

・論理記号で書くと、
　（∀x,a∈R）（ （∀ε≧0)(｜x−a｜ < ε) ⇒ x=a）　




[文献]
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.27(p.59)

　・


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絶対関数の性質


　絶対値関数y=f(x)=｜x｜　は、次の性質にしたがう。
【絶対値関数の性質１】　連続性
　
・絶対値関数y= f (x)=｜x｜ は、x=０でも連続。

※なぜ？　

　(1)絶対値の定義より、
　　　　　f (０)は定義されており、f (０)=０.
　(2)(3) 絶対値の定義より、
　　　x→+０でもx→−０でも、f (x)→０




[文献]
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§1例1(p.37).
　・吉田-栗田-戸田『平成元年3/31文部省検定済:高等学校微分積分』ｐ.47

　・和達『微分積分』3-2例2(p.46)
　　

【絶対値関数の性質2】　微分可能性
　
・絶対値関数y= f (x)=｜x｜ は、
　　　x=０において微分可能ではない。

※なぜ？　

  右微分係数
lim
h→+0
 f (x0+h)−f (x0)  をみると。

h

　　これが、x0=0で、
 
lim
h→+0
 f (0+h)−f (0) 

h

  ＝
lim
h→+0
 ｜0+h｜−｜0｜ 

h




[文献]
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§1例1(p.37).



　　
※活用例：絶対値の対数の微分



  ＝
lim
h→+0
 h−0  　∵絶対値の定義より、x≧0なら｜x｜=x　

h

  ＝
lim
h→+0
 h  　

h

　　　＝１


  左微分係数
lim
h→−0
 f (x0+h)−f (x0)  をみると。

h

　　これが、x0=0で、
 
lim
h→−0
 f (0+h)−f (0) 

h

  ＝
lim
h→−0
 ｜0+h｜−｜0｜ 

h

  ＝
lim
h→−0
 −h−0  　∵絶対値の定義より、x≧0なら｜x｜=x、x≦0なら｜x｜=−x　

h

  ＝
lim
h→−0
 −h  　

h

　　　＝−１

  よって、　微分係数　
lim
h→0
 f (x0+h)−f (x0)  には、

h

　　　　　　　x0=0における有限極限値が存在しないので、

　　絶対値関数y= f (x)=｜x｜ は、x0=0で微分可能ではない。


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reference

吉田耕作・栗田稔・戸田宏『昭和62年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　数学I　新訂版』啓林館, pp.52-5, p.104.
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館.
小平邦彦『解析入門I』岩波書店、2003年、§1.3(p.21)。
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、§1(p.4).
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p.67.
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、1-2(p.4);3-2例2(p.46).
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。、2章§1例1(p.37).