矩形上の2重積分　double integral


前ページ：矩形上の2重積分の定義、矩形上の可積分条件(その0)　

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　　　　　パラメーターを含む積分の性質、累次積分、
　　　　　面積(定義、性質、面積ゼロ・negligible・零集合)
　　　　　矩形上の可積分条件(その3)　　

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III. 閉矩形における有界2変数関数積分可能条件（１）


【文献】
　・杉浦『解析入門I』214-218: n変数関数全般
　・吹田新保『理工系の微分積分学』190
　・高木『解析概論』p.325-6
　・Lang, Undergraduate Analysis,471-482　
　　※小平『解析入門II』317-20;黒田『微分積分』348.は連続関数に限定して議論するゆえ、すべて可積分に。
　　　　　　　だから、可積分条件は論じられていない。

ダルブーDarbouxの定理


[杉浦『解析入門I』214-216: n変数関数全般についての詳細な証明;
　　　　　　　　　吹田新保『理工系の微分積分学』190:証明付;高木『解析概論』p.325:証明ナシ。]
（舞台設定）
　K 　:　　　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　f (x,y)　:　ここでは、関数f(x,y)として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。

（本題）
R2上の閉区間(閉矩形)Kの分割⊿を限りなく細かくしていくと、
分割⊿の取り方(つまり、閉矩形Kをmn個の小矩形にわける際の分点・分割線のとりかた)
によらず、
Kにおけるfの過剰和S[⊿]は上積分Sに収束し、Kにおけるfの不足和s[⊿]は下積分sに収束する。
これを記号で表すと、
　　|⊿|→0のとき、S[⊿]→S、s[⊿]→s
あるいは、
　　
　　　※ε-δ法による極限定義を用いて正確に書くと、
　　　　　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば　
　　　　　　　　任意の(分点・分割線の取りかたで作れる)分割⊿に対して、
　　　　　　　　|S[⊿]－S|＜ε、　|s[⊿]－s|＜ε　　
　　　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　　　　となる。上積分・下積分の定義から、常にS≦S[⊿], s[⊿]≦sなので、絶対値をはずして書くと、
　　　　　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば　
　　　　　　　　任意の(分点・分割線の取りかたで作れる)分割⊿に対して、
　　　　　　　0≦S[⊿]－S＜ε、0≦s－s[⊿]＜ε　　
　　　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　　　　となる。移項して、不等式を変形すると、
　　　　　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば　
　　　　　　　　任意の(分点の取りかたで作れる) 分割⊿に対して、
　　　　　　　S≦S[⊿]＜S+ε、s－ε＜s[⊿]≦s　　
　　　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
(証明)
　杉浦『解析入門I』214-216;を参照せよ。


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定理：閉矩形における有界2変数関数f(x,y)のリーマン可積分条件

　　　　　　　　　[杉浦『解析入門I』216-218: n変数関数全般についての詳細な証明;
　　　　　　　　　 吹田新保『理工系の微分積分学』190;高木『解析概論』p.326:証明ナシ。]
　　　　cf.1変数関数リーマン積分の可積分条件・スチルチェス積分の可積分条件、
（舞台設定）
　K 　:　　　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　Kij :　Kの分割⊿によってできたmn個の小矩形を
　　　　　　Kij ={ (x ,y ) | xi－1≦x≦xi , yj－1≦y≦yj }=[ xi－1, xi ]×[ yj－1, yj ]　(i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )
　　　　　　　　ただし、x0= a, xm=b, y0= c, yn =d、
　　　で表すとする。
　f (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
　ωij 　: 小矩形Kijにおけるf(x,y)の振幅・振動量を、ωijで表すとする。　

（本題）

f(x ,y )が閉矩形K上有界ならば、
下記の命題
　　　(命題A1: K上リーマン可積)(命題A2) (命題A3：リーマンの可積分条件)
　　　(命題B1: Kで上積分=下積分) (命題B2)
は互いに同値となる。

また、これらの命題が満たされるならば、
　f(x ,y )のK上の積分= f(x ,y )のK上の上積分=f(x,y)のK上の下積分　
→証明:　A1⇒A2、A2⇒A1、命題A2⇔命題A3
　　　　命題A2⇔命題B1、　　

(命題A1) 有界関数f(x,y)は 閉矩形K=[a,b]×[c,d]上リーマン積分可能。
(命題A2) 　　[杉浦『解析入門I』216-218。]
　　[表現1]　閉矩形K=[a,b]×[c,d]の分割⊿を限りなく細かくしていくと、
　　　　　　　分割⊿の取り方(つまり、閉矩形Kをmn個の小矩形にわける際の分点・分割線のとりかた)
　　　　　　　によらず、
　　　　　　　閉矩形K=[a,b]×[c,d]における有界関数f(x,y)の (過剰和－不足和)はゼロに収束する。
　　[表現2]　記号を用いた簡潔な表現
　　　　　　・|⊿|→0のとき、S[⊿]－s[⊿]→0
　　　　　　ないしは
　　　　　　・　　
　　　　　　　　 (記号|⊿|→0は、分割の幅が→0なら、そのようなすべての分割の取り方に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　という意味。ダルブーの定理の項を参照のこと。)
　　[表現3]　ε-δ法による極限定義に依拠した厳密な表現(→証明で利用可能)
　　　・任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば、
　　　　　　　　任意の(分点・分割線の取りかたで作れる) 分割⊿に対して、| S[⊿]－s[⊿] |＜ε　」　
　　　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する。
　　　つねに、　s[⊿]≦S[⊿]　だから(∵)、絶対値をはずせるので、
　　　・任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば、
　　　　　　　　任意の(分点・分割線の取りかたで作れる) 分割⊿に対して、0≦S[⊿]－s[⊿]＜ε　」　
　　　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する。
　　　としてもよい。
　　すなわち、( ∀ε＞0 ) ( ∃δ＞0 ) ( ∀|⊿| ) ( 0<|⊿|＜δ⇒ ∀⊿ ( 0≦S[⊿]－s[⊿]＜ε) )　
 (命題A3:リーマンの可積分条件)
　　　　　　　[杉浦『解析入門I』216-218;吹田新保『理工系の微分積分学』190;高木『解析概論』p.326.]
　　　　　 各小矩形Kijについて「f(x,y)の振幅ωij 」と「小矩形Kijの面積」との積をとり、
　　　　　この積:ωij・(Kijの面積)をmn個あるすべての小矩形について足し合せて、
　　　　　　　
　　　　　という値をとる。
　　[表現1]　分割⊿を限りなく細かくしていくと、
　　　　　　分割⊿の取り方(つまり、閉矩形Kをmn個の小矩形にわける際の分点・分割線のとりかた)
　　　　　　によらず、
　　　　　　上記の値Ωは0に収束する。
　　[表現2]　記号を用いた簡潔な表現
　　　　　
　　　　　　すなわち、
　　　　　
　　[表現3]　ε-δ法による極限定義に依拠した厳密な表現(→証明で利用可能)
　　　・任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば、
　　　　　　　任意の(分点の取りかたで作れる) 分割⊿に対して、
　　　　　　　| Ω |＜ε　　　　」
　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する。
　　　　常に、ωij> 0, (Kijの面積)＞0 なので、常にΩ＞0となるから、絶対値をはずせて、　
　　　・任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば、
　　　　　　　　任意の(分点の取りかたで作れる)分割⊿に対して、
　　　　　　　　　Ω＜ε　　　　」
　　　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する。
 (命題B1:ダルブーの可積分条件)　閉矩形K=[a,b]×[c,d]におけるf(x,y)の上積分S= f(x,y)の下積分s　
　　　　　　　[杉浦『解析入門I』216-218;吹田新保『理工系の微分積分学』190;高木『解析概論』p.326.]
 (命題B2) 　　[杉浦『解析入門I』216-218。]

　　[表現1]　閉矩形K=[a,b]×[c,d]の分割⊿のとり方

　　　　　　　　(つまり、閉矩形Kをmn個の小矩形にわける際の分点・分割線のとりかた)
　　　　　　　によって、
　　　　　　閉矩形K=[a,b]×[c,d]における関数f(x,y)の (過剰和S[⊿]－不足和s[⊿])は変わってくるが、
　　　　　　適当な分割⊿をとることで、(過剰和S[⊿]－不足和s[⊿])を限りなく小さくすることができる。　
　　[表現2]　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、0≦S[⊿]－s[⊿]＜ε　
　　　　　　を成り立たせる、ある分割⊿が存在する。
　　　　　　すなわち、( ∀ε＞0 ) ( ∃⊿ ) ( 0≦S[⊿]－s[⊿]＜ε )　
　　※命題B2は命題A2と一見似ているが、違う。命題B2は、命題A2よりゆるい。
　　　命題A2は、
　　　　　　分割の細かさ(|⊿|)を細かくしていきさえすれば、
　　　　　　分割⊿を行うときの分点・分割線をどういう風にとっても必ず、S[⊿]－s[⊿]がゼロに近づく、
　　　という厳しい条件を述べていたのに対して、
　　　この命題B2は、
　　　　　　S[⊿]－s[⊿]がゼロに近づくような、
　　　　　　分割⊿を行うときの分点・分割線のとりかたが、少なくとも一つはある、
　　　　　　しかし、それ以外の分割⊿のとりかただと、
　　　　　　　たとえ分割の細かさ(|⊿|)を細かくしていったとしても、
　　　　　　そうならないかもしれない、
　　　という緩い条件しか述べていない。　

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証明:

 ・(命題A1:リーマン可積) ⇒(命題A2)の証明　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　杉浦『解析入門I』217. を参照せよ。

・(命題A2)⇒ (命題A1: リーマン可積)の証明　[杉浦『解析入門I』356.; .]
　命題A2：任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば、
　　　　　　　　任意の(分点の取りかたで作れる)分割⊿に対して、　S[⊿]－s[⊿]＜ε　」
　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する　
　　不足和・過剰和・リーマン和・上積分の間の関係式:
　　　　　　　　任意の(どんな)「小矩形 Kijの代表点{Pij}のとりかた」に対して(でも)、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|S－R[ f ; ⊿ ; {Pij } ]|≦S[⊿]－s[⊿]
　　を命題A2の赤字部分の不等式に書き加えると、
　命題A2a：任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、　
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば、
　　　　　　　任意の「(分点の取りかたで作れる)分割⊿」・「小矩形 Kijの代表点{ Pij }のとりかた」に対して、
　　　　　　　　　　　　　|S－R[ f ; ⊿ ; {Pij } ]|≦S[⊿]－s[⊿]＜ε　」
　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する　
　　　命題A2aの赤字部分を省略してみると、
　命題A2b：任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、　
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば、
　　　　　　　任意の「(分点の取りかたで作れる)分割⊿」・「小矩形 Kijの代表点{ Pij }のとりかた」に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|S－R[ f ; ⊿ ; {Pij } ]|＜ε　」
　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する　
　命題A2bは、
　「関数f (x,y)は閉矩形K上でリーマン積分可能」であることの定義にほかならない。
　　（命題A2bのSをJとしてみよ。）

・(命題A2) ⇔(命題A3) [杉浦『解析入門I』217;356. ]
　振幅ωk 、過剰和S[⊿] 、不足和s[⊿])の定義から、　
　　　
　が成立する故に。（∵）
・(命題A2) ⇔ (命題B1: 上積分S=下積分s) [杉浦『解析入門I』217; ]
　　ダルブーの定理が成立して、|⊿|→0のとき、S[⊿]→上積分S、s[⊿]→下積分s。…(1)
　　　・(命題A2)⇒ (命題B1: 上積分S=下積分s)の証明　
　　　　命題A2：「|⊿|→0のとき、S[⊿]－s[⊿]→0」は、ある定数Aを用いて、
　　　　命題A2'：「|⊿|→0のとき、S[⊿]→A、s[⊿]→A」と書きかえられる
　　　　 (1)を用いて、A=S=s　。
　　　　　　　　　これはつまり、命題B1: 上積分S=下積分s　にほかならない。
　　　・(命題B1: 上積分=下積分)⇒(命題A2)の証明　
　　　　上積分S=下積分sが成り立つとして、上積分S=下積分s=Aとおく。
　　　　すると、(1)は、|⊿|→0のとき、S[⊿]→A、s[⊿]→A。
　　　　よって、命題A2「|⊿|→0のとき、S[⊿]－s[⊿]→0　」が成立する。

命題B1⇒命題B2 [ルディン『現代解析学』6-6.]
　・命題B1「 fの上積分S= fの下積分s」を仮定し、この上積分S=下積分sをAとおく。
　・任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　　　　S[⊿2]－A＜ε/2　、　A－s[⊿1] ＜ε/2　…(1)
　　を成り立たせる、ある分割⊿1、⊿2が存在するので、この分割を採る。
　　このとき、　S[⊿2]＜A＋ε/2　、　A ＜ s[⊿1]＋ε/2　だから
　　　　　　　　　　　　　　(「A ＜ s[⊿1]＋ε/2」の両辺にε/2を加えて)
　　　S[⊿2]＜A＋ε/2 ＜ s[⊿1]＋ε　…(2)　
　・分割⊿1の細分であり、なおかつ、分割⊿2の細分でもあるような、分割⊿をとる。…(3)
　　すなわち、⊿1≦⊿、⊿2≦⊿。　
　　（つまり、⊿1の分点・分割線も⊿2の分点・分割線も、分点・分割線として継承し、
　　　　　さらにそれ以外にも分点・分割線を加えたのが、⊿）
　　細分と過剰和・不足和の関係式より、S[⊿]≦S[⊿2]、s[⊿1] ≦s [⊿]。…(4)　
　・(2)と(4)をあわせると、S[⊿]≦S[⊿2] ＜A＋ε/2 ＜ s[⊿1]＋ε≦s [⊿] ＋ε
　　両端だけに着目すると、S[⊿] ＜s [⊿] ＋ε　
　　つまり、S[⊿]－s [⊿]＜ε　
　　以上から、命題B1の仮定下で、(1)と(2)を満たすような採り方をした分割⊿ならば、
　　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、0≦S[⊿]－s [⊿]＜εを成り立たせる、
　　(しかし、任意の分割が、これを成り立たせる保証はない)
　　すなわち、命題B2が成立する、ことが示された。
　
命題B2⇒命題B1 [杉浦『解析入門I』218;ルディン『現代解析学』6-6:;]

　命題B2：任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　　　　　　　　S[⊿]－s[⊿]＜ε　を成り立たせる、ある分割⊿が存在する　
　過剰和S[⊿]・不足和s[⊿]・下積分s・上積分Sには大小関係: 0≦S－ｓ≦S[⊿]－s[⊿]　が
　が常に成り立っているので、
　これを利用して、命題B2に下積分sと上積分Sとの関係も書き加えると、　
　命題B2a：任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、　
　　　　　　　0≦S－ｓ≦S[⊿]－s[⊿]＜ε　を成り立たせる、ある分割⊿が存在する　
　上積分Sと下積分sに注目するために、命題B2aの赤字部分を省略すると、　　
　命題B2b：任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、　
　　　　　　　0≦S－ｓ＜ε　を成り立たせる、ある分割⊿が存在する　
　上積分Sと下積分sはそれに固有の分割⊿'のもとで決まっているので、
　上積分Sと下積分sの関係を分割⊿の条件は拘束しない。
　よって、
　命題B2b'：任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、　0≦S－ｓ＜ε　
　定理「 任意の(どんな)正数ε>0に対し(てでも)、ε>a≧0ならば、a=0」を用いると、　
 　命題B2c：　S－ｓ=0　すなわち、　S=ｓ　
　よって、命題B2⇒命題B1が示された。

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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)→リーマン積分、
高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、第8章90-92節pp.325-332. .
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、第7章1節(pp.189-196).
小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年、第7章(pp.317-330.)。連続関数に限定
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分』共立出版、2002年、第10章1節(pp.346-352.)。連続関数に限定。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、第3章3.8節I(pp. 106-108):矩形上ではなく、いきなり一般の積分範囲上。
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、pp.205-229:矩形上;pp.254-279:一般の積分範囲。（2重積分についてというよりもむしろ、主にn変数関数全般についてリーマン積分を論じている。）
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ－ルタ－・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第9章9.28-: n変数関数。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、5章2節(pp.138-146.):。このテキストは、リーマン積分とルベーク積分の間という特殊な立場を進んで行っている気がする。ついていってよいのかどうか。
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.138-9. アイデアだけ。厳密な議論なし。
小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、87-89. アイデアだけ。厳密な議論なし。
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. (pp.468-482.)。