近傍系・近傍 [数学についてのwebノート]

近傍系の公理

X :　集合(空間)。ここでの考察の範囲での普遍集合。

𝑥 :　Xに属す任意の元（点）。

𝔘: 『X に属す元 𝑥』に対しそれぞれ一つずつ『集合Xの部分集合系』を定める写像

「『X に属す元 𝑥』に対しそれぞれ一つずつ『集合Xの部分集合系』を定める写像 𝔘 (𝑥) は、点𝑥の近傍系 neighborhood systemである」とは、
𝔘 (𝑥) が下記5条件を満たすということ。

(条件1)
𝔘(𝑥) ≠ ∅

(条件2)　
∀ U ( U ∈ 𝔘(𝑥) ⇒ 𝑥 ∈ U )
ないし、
∀ U ∈ 𝔘(𝑥) ( 𝑥 ∈ U )

(条件3)　
∀ U₁ , U₂ ( U₁ , U₂ ∈ 𝔘(𝑥) ⇒ U₁ ∩ U₂ ∈ 𝔘(𝑥) )
ないし、
∀ U₁ , U₂ ∈ 𝔘(𝑥) ( U₁ ∩ U₂ ∈ 𝔘(𝑥) )

点𝑥の近傍 neighborhood とは、点𝑥の近傍系 𝔘(𝑥) に属す集合のこと。

『岩波数学事典』項目14B： 𝔘 (𝑥)を、写像と明記。
矢野『距離空間と位相構造』2.1.1位相-定理2.1(p.58): 「空間Xの各点pに対しXの部分集合族 𝔘(p)が定義され、.... 」
斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』項目4.2.4-4.2.5 (pp.110-111.) : 「Xから𝔓(𝔓(X))－{∅}への写像 𝔘: a→ 𝔘 ( a ) が与えられ、...」(定理4.2.5)
松坂『集合・位相入門』第4章2-E(p.161-4): 「空でない集合Sの各点xに対しそれぞれ一つずつ 𝔓(S)の空でない部分集合 𝔘 (𝑥) が定められ....」
彌永『集合と位相』II.§2.3近傍(pp.187-8)

X :　集合(空間)。ここでの考察の範囲での普遍集合。

𝑥 :　Xに属す任意の要素（点）。

「集合X の開集合系」 𝔒 が予め定められているとする。 X に属す元 𝑥に対し、 𝑥 ∈ O ∈ U を満たす集合Xの開集合 O が存在するような「X の部分集合」U　をすべてかき集めた「集合Xの部分集合系」は、 𝑥 の近傍系となる。

→ 松坂『集合・位相入門』第4章§2-C (p.156) 『岩波数学事典』項目14B;