有理数指数の累乗の定義
・「『正の実数』aの有理数q乗」aqとは、z,nを「q＝z/n」を満たす整数,自然数の組としたときの、 az/n のこと。
* q＝z/n を満たす整数z,自然数nの組の取り方は複数あっても、
この整数z,自然数nの取り方に依存せず、aqは同一の実数となる[→定理]。
上記の定義をaz/nの定義にしたがって詳しく書き下すと、以下のようになる。
有理数指数の累乗の定義
・「『正の実数』aの有理数q乗」aqとは、z,nを「q＝z/n」を満たす整数,自然数の組としたときの、
| 「『aのz乗』のn乗根」 az/n= | 
|
az | ＝ (az)1/n |
* q＝z/n を満たす整数z,自然数nの組の取り方は複数あっても、
この整数z,自然数nの取り方に依存せず、aqは同一の実数となる[→定理]。
* 任意の正の実数a、任意の自然数n、任意の整数zに対して、
az/n ＝ (az)1/n ＝ (a1/n)z という性質があるので[→定理]、
結局のところ、
「『正の実数』aの有理数q乗」aqは、
z,nを「q＝z/n」を満たす整数,自然数の組としたときの、
| 「『aのn乗根』のz乗」 ( |
|
a | ) | z | ＝ (a1/n)z |
も表すことになる[吉田栗田戸田『高等学校基礎解析』p.42]。
（ここではaがマイナスとなることを排除している点に注意。
aがマイナスだと、こうはいかない→絶対値の性質）
・上記の定義をさらに具体的に展開すると、以下のようになる。
有理数指数の累乗の定義
[ケース1]
有理数qがプラスならば、「『正の実数』aの有理数q乗」aq とは、以下の手順で得られる実数。
[手順1] q＝m/n を成り立たせる自然数m,nをとる
[手順2] 手順1で得られた自然数m,nをつかって、
「『aのm乗』のn乗根」をとる。
つまり、
有理数qがプラスならば、
q＝m/n を成り立たせる自然数m,nに対して、
| aq＝am/n= |
|
am | = (am)1/n |
* q＝m/n を成り立たせる自然数m,nの取り方が複数あっても、
この自然数m,nの取り方に依存せず、aqは同一の実数となる[→定理]。
* 任意の正の実数a,任意の自然数m,nに対して、
am/n ＝ (am)1/n ＝ (a1/n)m という性質があるので[→定理]、
結局のところ、
「『正の実数』aの有理数q乗」aqは、
m,nを「q＝m/n」を満たす自然数の組としたときの、
| 「『aのn乗根』のm乗」 ( |
|
a | ) | m | ＝ (a1/n)m |
[ケース2]
有理数qが0ならば、「『正の実数』aのq乗」aq＝a0 とは、1を指すものとする。つまり、
q＝0 ならば、 aq＝a0＝1 （1を、0乗として定義）
[ケース3]
有理数qがマイナスならば、「『正の実数』aの有理数q乗」aq とは、以下の手順で得られる実数。
[手順1] q＝－m/n を成り立たせる自然数m,nをとる
[手順2] 手順1で得られた自然数m,nをつかって、
「『aのm乗』の逆数のn乗根」をとる。
つまり、
有理数qがマイナスならば、
q＝－m/n を成り立たせる自然数m,nに対して、
| aq ＝a-m/n ＝ |
|
a-m | |
| ＝ |
|
1/am |
[吉田栗田戸田『高等学校基礎解析』p.42] |
| ＝ | 1 |
∵累乗根の性質2 |
[『岩波入門数学辞典』 「指数法則」 (pp.244-5)] |
|||
| |
|
am | |
|||
* q＝－m/n を成り立たせる自然数m,nの取り方は複数あるが、
この自然数m,nの取り方に依存せず、aqは同一の実数となる[→定理]。
* 任意の正の実数a、任意の自然数n、任意の整数zに対して、
az/n ＝ (az)1/n ＝ (a1/n)z という性質があるので[→定理]、
結局のところ、
「『正の実数』aの有理数q乗 」aqは、
m,nを「q＝-m/n」を満たす自然数の組としたときの、
| 「『aのn乗根』の-m乗」 (a1/n)-m＝( |
|
a | ) | -m |
| ＝ |
|
1 |
|||
| ( |
|
a | ) | m | |
・aqの「底」とは、aのこと。
・aqの「指数exponent」とは、qのこと。
[文献]
・能代『極限論と集合論』21.有理指数のベキ(pp.42-4)・赤攝也『実数論講義』§7.1有理数指数の累乗(p.203)。
・小林昭七『微分積分読本:1変数』2章4指数関数(pp.58-65):整数べき→有理数べき→実数べき
・上野健爾『代数入門1』§2.3(d)指数と対数(p.68)
・『岩波入門数学辞典』「指数法則exponential law」(pp.244-5)：有理数・実数の指数を定義。
「べきpower」(p.545):自然数指数から整数指数まで定義。;「指数(べきの)exponent」(p.241):説明なし
・吉田栗田戸田『昭和63年3/31文部省検定済 高等学校基礎解析』啓林館、2章1指数の拡張(pp.40-45):有理数実数べき;.
・竹之内『経済・経営系数学概説』1.5累乗の一般化(pp.34-6)
・加藤十吉『微分積分学原論』4.4整数の実数乗と指数関数-(3)(p.40)
・岡田章『経済学・経営学のための数学』1.4(p.26)
[関連事項]
・有理数指数の累乗の具体例：→指数を自然数に限定した「べき」「累乗」の定義
→指数を正負の整数に限定した「べき」「累乗」の定義
・有理数指数の累乗の一般化
→指数を実数へ拡張した「べき」「累乗」
・自然数指数の「冪関数」「累乗関数」
[自然数指数の累乗の定義との整合性]
・有理数qが自然数であるとき、上記の「『正の実数』aの有理数q乗」aq の定義は、「『正の実数』aの自然数乗」の定義と完全に一致する。
※なぜ？
| ・任意の自然数mについて、「有理数q」＝「自然数m」ならば、q＝m/1 が成り立つから、aq＝am/1＝ | 1 |
am | ∵「『正の実数』aの有理数q乗」aq の定義 |
・つまり、有理数qが自然数mであるとき、「『正の実数』aの有理数q乗」aq の定義は、「『正の実数』aの自然数m乗」am に一致する。
[整数指数の累乗の定義との整合性]
・有理数qが整数であるとき、上記の「『正の実数』aの有理数q乗」aq の定義は、「『正の実数』aの整数乗」の定義と完全に一致する。
※なぜ？
| ・任意の「正の整数」zについて、「有理数q」＝「正の整数z」ならば、zは自然数でq＝z/1 が成り立つから、aq＝az/1＝ | 1 |
az | ∵「『正の実数』aの有理数q乗」aq の定義 |
・「有理数q」＝「正の整数z」ならば、aq＝a0＝1 ∵「『正の実数』aの有理数q乗」aq の定義
| ・任意の「負の整数」zについて、「有理数q」＝「負の整数z」ならば、-zは自然数でq＝(-z)/1 が成り立つから、aq＝a(-z)/1 ＝ | 1 |
∵「『正の実数』aの有理数q乗」aq の定義 | |||
| |
1 | a-z | |
||
| ・任意の「負の整数」zについて、「有理数q」＝「負の整数z」ならば、q＝z/1 が成り立つから、aq＝az/1＝ | 1 |
az | ∵「『正の実数』aの有理数q乗」aq の定義 |
| ＝ | 1 |
1/a-z | ∵負の整数乗の定義 |
＝1/a-z ∵1乗根の性質
・以上三点から、つまり、有理数qが任意の整数zであるとき、「『正の実数』aの有理数q乗」aq の定義は、「『正の実数』aの整数z乗」の定義」az に一致する。