関数列・関数項級数の一様収束判定条件：トピック一覧　　

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※一般化：実数値関数一般からなる関数列の一様収束判定条件　
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定理： 関数列の一様収束についてのコーシーの判定条件

[文献]
吹田新保『理工系の微分積分学』第5章3節(p.140);
小平『解析入門I』第5章3節a)(pp.216-7)
黒田『微分積分』第3章5節(p.116)
ルディン『現代解析学』7.8 (p.149)。

関数列{ f_n(x)}が区間I上一様収束することの必要十分条件は、
　 |f_l(x)−f_m(x) |=0
が成り立つことである。

ε-N論法
による
厳密な表現

関数列{ f_n(x)}が区間I上一様収束することの必要十分条件は、
任意の正数εに対して、
　　x∈Iを満たす限りの全てのxにおいて、
　　l,m >Nならば、|f_l(x)−f_m(x) |<ε
を成立させるある自然数Nが存在することである。

論理記号
を用いた
表現

関数列{ f_n(x)}が区間I上一様収束
⇔　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀l,m∈N) (∀x∈I) ( l,m >N⇒|f_l(x)−f_m(x) |＜ε)

ポイント

どのようにx∈Iをとっても、xの値に関わりなく、共通のNをとれなければならない点に注意。

証明

吹田・新保『理工系の微分積分学』第5章3節(p.140)
小平『解析入門I』第5章3節a)(pp.216-7.)
黒田『微分積分』第3章5節(p.116.)。
を参照せよ。

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定理： 関数項級数の一様収束についてのコーシーの判定条件

[文献]
吹田新保『理工系の微分積分学』第5章3節(p.140);
小平『解析入門I』第5章3節a)(p.217)
黒田『微分積分』第3章5節(p.120)

ε-N論法
による
厳密な表現

関数項級数が区間I上一様収束することの必要十分条件は、
任意の正数εに対して、
　　x∈Iを満たす限りの全てのxにおいて、
　　l＞m >Nならば、|f_m+1 (x)+ f_m+2(x)+…+ f_l(x) |<ε
を成立させるある自然数Nが存在することである。

論理記号
を用いた
表現

関数項級数が区間I上一様収束
⇔　
(∀ε>0) (∃N∈N) (∀l,m∈N) (∀x∈I) ( l>m >N⇒|f_m(x)+ f_m+1(x)+…+ f_l(x) |＜ε)

ポイント

どのようにx∈Iをとっても、xの値に関わりなく、共通のNをとれなければならない点に注意。

証明

関数項級数が区間I上一様収束するとは、
　部分和列{ s_m(x)}={ s₁(x), s₂(x), s₃(x),…}={ f₁(x), f₁(x)+f₂(x), f₁(x)+f₂(x) +f₃(x),…}
　が、s(x)に関数列として一様収束することであるとして定義された。
よって、
関数項級数が区間I上一様収束することの必要十分条件とは、
関数列{ s₁(x), s₂(x), s₃(x),…}={ f₁(x), f₁(x)+f₂(x), f₁(x)+f₂(x) +f₃(x),…}が一様収束することの必要十分条件であって、これは、関数列{ s₁(x), s₂(x), s₃(x),…}={ f₁(x), f₁(x)+f₂(x), f₁(x)+f₂(x) +f₃(x),…}に関数列の一様収束についてのコーシーの判定条件を適用してえられた
　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀l,m∈N) (∀x∈I) ( l,m >N⇒|s_l(x)−s_m(x) |＜ε)
である。ここで、
l＞mならば、s_l(x)−s_m(x)={ f₁(x)+f₂(x) +…+f_l(x)}−{ f₁(x)+f₂(x) +…+f_m(x)}= f_m+1(x)＋f_m+2(x)+…+ f_l(x)　　
となって、関数項級数が一様収束するためのコーシーの判定条件が得られる。
[小平『解析入門I』第5章3節a (p.217);]

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定理： ワイエルストラスのM判定法

[文献]
吹田新保『理工系の微分積分学』第5章3節(p.140);
黒田『微分積分』第3章5節(p.120-1)
ルディン『現代解析学』7.10(p.150)。

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定理：

[文献]
黒田『微分積分』第3章5節(p.116)

関数列{ f_n(x)}が区間I上一様収束するならば、
区間Iに含まれる任意の区間J上でも、
関数列{ f_n(x)}は一様収束する。

定理：

[文献]
黒田『微分積分』第3章5節(p.116)

関数列{ f_n(x)}が区間I上一様収束し、
かつ、
関数列{ f_n(x)}が区間J上一様収束するならば、
区間Iに含まれる任意の区間Jでも、
関数列{ f_n(x)}は区間I∪J上一様収束する。