一般の距離空間における点列の収束と極限：トピック一覧　

　　・点列、位相空間上の点列の収束・極限、距離空間上の点列の収束・極限　
　　・部分列、有界な点列　

　※その他の列の極限についてのページ：数列の収束と極限値/R²上の点列の収束と極限/Rⁿ上の点列の収束と極限　
　※距離空間から距離空間への写像の極限
　→参考文献・総目次

定義：点列　

はじめに
読むべき
定義

すべての自然数1,2,3,…の各々に対して、
集合Xに属す点P₁ , P ₂ , P ₃ ,…を定めたものを、
集合X上の点列と呼ぶ。

[文献]
『岩波数学辞典』項目58関数D族・列(p.158);
神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.3.1(p.136);
矢野『距離空間と位相構造』1.1.2点列の収束(pp.10-11);
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』定義1.2.11 (p.13);

厳密な
定義

各項が「集合Xに属す点」である列、
つまり、「写像 ( 関数 )φ：N→X 」を
点列と呼ぶ。　　

記法

　　　　　　
　{P_i}_i∈N　　　{P₁,P₂,P₃,…}　　　{ P_i }_i=1,2,3,…　
　かなり略して、{ P_i }

具体例

R上の数列、R²上の点列、Rⁿ上の点列　

定義：部分列sub-sequence　部分点列　

はじめに
読むべき
定義

集合X上の点列{P₁,P₂,P₃,…}　が与えられているとする。　　　
この点列の項P₁ , P₁ , P₂ , P₃ , P₄ , P₅ ,…(可算無限個)から、
その一部の項(可算無限個)を抜き出し、順序を保ったまま並べた点列
　　　　たとえば、
　　　　　　P₁, P₃, P₅, P₇,…　
　　　　　　P₁₀, P₁₁, P₁₂, P₁₃, P₁₄, P₁₅,…　　
　　　　　　P₀, P₁₀, P₁₈, P₂₀, P₄₅, P₁₀₀,…　　
　　　　など　　　　　　
を、点列{P₁,P₂,P₃,…}の部分列と呼ぶ。　

[文献]
『岩波数学辞典』項目58-D族・列(p.158);
矢野
『距離空間と位相構造』1.1.2点列の収束(pp.10-11);
神谷浦井
『経済学のための数学入門』4.3節(p.141);

厳密な
定義

点列{P_i}_i∈Nの部分列とは、
I⊂Nにたいする{P_i}_n∈Iのこと。　

記法

点列{P_i}_i∈Nの部分列は、
　　　　　　{P_n(k) }　　
　　　　　　{P_nk }　
などと表す。
kは、部分列のなかで何番目の項にあたるかを、
n_(k) は、もとの点列で何番目の項だったのかを表している。　　　
例えば、

もとの点列：

P₀ ,

P₁ ,

P₂ ,

P₃ ,

P₄ ,

P₅ ,

…

　　部分列：

P₁ ,

P₃ ,

P₅ ,

P₇ ,

P₉ ,

…

↑

↑

↑

↑

↑

P_n(1) ,

P_n(2) ,

P_n(3) ,

P_n(4) ,

P_n(5) ,

…

つまり、点列{P_i}_i∈Nの部分列{P_n(k) }の添数n_(k)は、数列{ n_k } _k∈Nとなっており、
　この数列{ n_k } _k∈Nは、狭義単調増加n₁ ＜n₂ ＜n₃ ＜…である。

関連

数列の部分列、R²上の点列の部分列、Rⁿ上の点列の部分列

→[トピック一覧：距離空間上の点列]
→総目次

定義：位相空間における点列の収束　

直感的
説明

点列{P_i}が、点Pに収束するとは、
iが大きくなるにつれて、点列をなす各点P_iが点Pに「近づく」ことである。
しかし、この「近づく」ということが何を指すのか、よく考えてみると、はっきりしない。
この点を明確化するために、
点列の収束は、次のように、少々面倒くさいかたちで定義されることになる。

設定

X: 位相空間　
P : Xに属す点　
{ P_i } :　X上の点列{P₁,P₂,P₃,…}　

定義

X上の点列{ P_i }が、点P∈Xに収束するとは、　　　
　点Pの任意の近傍Uに対して、
　　　　　「N以上のあらゆるの自然数nに対して、P_n∈U」
　を成立させる自然数Nが、
　少なくとも一つは存在する　
ということ。
すなわち、
{ P_i }が、点Pに収束するとは、　　　　　　
　　( ∀U∈U(P) )　(∃N∈N)　(∀n∈N)　( n≧N⇒P_n ∈U)　

[文献]
『岩波数学辞典』項目166収束E(pp436);
矢野『距離空間と位相構造』2.1位相構造(p.65);
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』4.4.1(p.122-3);
彌永『集合と位相II』§2.5 (p.198)

関連

有向点列(ネット)とその収束については、
　　　　彌永『集合と位相II』§2.5 (p.198)
　　　　松坂『集合・位相入門』第6章§1問題11 (p.246)
　をみよ。

→[トピック一覧：距離空間上の点列]
→総目次

定義：一般の距離空間における点列の収束と極限点　

直感的
説明

点列{P_i}が、点Pに収束するとは、
iが大きくなるにつれて、点列をなす各点P_iが点Pに「近づく」ことである。
しかし、この「近づく」とは、どういうことなのか―よく考えてみると、はっきりしない。
この点を明確化するために、
点列の収束は、次のように、少々面倒くさいかたちで定義されることになる。

[文献]
『岩波数学辞典』項目92距離空間D(pp.254-255); 項目166収束E(pp436):位相空間･距離空間･Rの点列の収束;
志賀『位相への30講』第10講距離空間へ(pp.74-76)；
矢野『距離空間と位相構造』1.1.2点列の収束(p.10);
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』4.5.11(p.131);
松坂『集合・位相入門』第6章§1-C点列の収束(pp.238-9) ;
彌永『集合と位相II』§1.7(pp.154-8);
神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.3.2(p.137) ;
杉浦『解析入門I』1章§4(pp.38-40) :Rⁿ上点列: 論理記号
高木『解析概論』p.14.;小平『解析入門I』§1.6(p.60); 吹田新保『理工系の微分積分学』p.155　

設定

X:　集合　
(X,d)：集合Xに距離dを与えてつくった距離空間　
P : Xに属す点　
{ P_i } :　X上の点列{P₁,P₂,P₃,…}　

はじめに
読むべき
定義

距離空間(X, d)上の点列{P_i}が、
点P∈Xに収束するとは、　　　　　
　　数列{ d ( P₁ , P ) , d ( P₂ , P ) , d ( P₃ , P ) ,… }が
　　０に収束すること、　
　　すなわち、d ( P_i , P ) →０ ( i→∞ )　
　　　　　　　　　　
が成り立つことを言う。
また、
点列{ P_i }が点Pに収束するとき、
Pを極限limit、極限点などと呼ぶ。

[文献]
『岩波数学辞典』項目166収束E(pp436);
矢野『距離空間と位相構造』1.1.2点列の収束(p.10);
志賀『位相への30講』第10講距離空間へ(pp.74-76)；
松坂『集合・位相入門』6章§1-C (pp.238-9) ;
小平『解析入門I』§1.6(p.60);
吹田新保『理工系の微分積分学』6章§1p.155

厳密な
定義

距離空間(X, d)上の点列{P_i}が、点P∈Xに収束するとは、
　任意のε> 0に対して、
　　「N以上のあらゆる自然数nに対して、
　　　　d ( P_n , P ) <ε」
　　ないし
　　「N以上のあらゆるの自然数nに対して、
　　　　P_n が点Pのε近傍に属す」
　を成立させる自然数Nが、
　少なくとも一つは存在する　
ということ。

[文献]
ルディン『現代解析学』3.1-3.12(p.47)
松坂『集合・位相入門』第6章§1-C点列の収束(pp.238-9) ;
斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』4.5.11(p.131);
杉浦『解析入門I』1章§4(pp.38-40)
神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.3.2(p.137) ;

すなわち、
距離空間(X, d)上の点列{P_i}が、点P∈Xに収束するとは、　[杉浦『解析入門I』1章§4(pp.38-40)]　　
　　( ∀ε＞０ )　(∃N∈N)　(∀n∈N)　( n≧N⇒d ( P_n , P ) <ε)　
　　( ∀ε＞０ )　(∃N∈N)　(∀n∈N)　( n≧N⇒ P_n∈U_ε(P) )　
　　( ∀U_ε(P) )　(∃N∈N)　(∀n∈N)　( n≧N⇒ P_n∈U_ε(P) )　
点列{ P_i }が点Pに収束するとき、Pを極限limit、極限点などと呼ぶ。

記法

P_i→ P　（i→∞）　　
　

関連

数列の収束と極限値/R²上の点列の収束･極限/Rⁿ上の点列の収束・極限　
距離空間から距離空間への写像の極限　

※

（はじめに読むべき定義）と（厳密な定義）は同じもの。
（はじめに読むべき定義）d ( P_i , P ) →0 ( i→∞ )　　
は、数列の収束の厳密な定義より、次のように言い換えても同じこと。
　　　　　　　　(∀ε> 0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒| d ( P_n , P )−0 |< ε) 　…(1)　
距離dの定義より、d( P_n , P )≧0だから、| d ( P_n , P )−0 |< ε⇔d ( P_n , P )< ε　
したがって、(1)は、　
（厳密な定義） (∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ d ( P_n , P )< ε)　
に言い換えても同じこと。

→[トピック一覧：距離空間上の点列]
→総目次

定義：「有界」な点列　

定義

「点列{P_n}が有界である」とは、
点列{P_n}に属す点をすべてあつめた点集合が、有界な点集合であること
をいう。

[文献]
ルディン『現代解析学』3.1-3.1(p.47)

関連

有界な点集合