連続な実数値関数の性質：トピック一覧　　

　・連続関数一般の性質：関数の和差積商の連続性/合成関数の連続性　
　・有界閉集合上の性質：連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/最大値最小値定理/
　　　　　　　　　　　　関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続
　・連結な集合上の性質：中間値定理　

　※実数値関数の連続性の具体例：1変数関数の連続性/ 2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性
　※実数値関数の連続性の一般化：ベクトル値関数の連続性/距離空間の間の写像の連続性/位相空間の間の写像の連続性
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定理：連続な実数値関数の和差積商の連続性

設定

ここでは、
以下の手順で設定された舞台上でなされる
「実数値関数が点Aで連続」の定義をみる。
Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　　
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f , g を用意。
　　　　つまり、「 f：X→R 」「 g：X→R 」　
Step4：集合Xに位相を与えて、
　　　　集合Xを位相空間として扱えるように設定。
　　　　これにより、
　　　　集合Xには、
　　　　その開集合系･閉集合系･近傍系･閉包作用素･開核作用素
　　　　が設定されることになる。
　　　　※集合Xに距離d_X を定めて、
　　　　　集合X上に、距離空間( X , d_X )を設定したのでもよい。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、R上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合X」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈X」　

[具体例]1変数関数の和差積商の連続性/2変数関数の和差積商の連続性/ n変数関数の和差積商の連続性

[文献]
松坂『集合・位相入門』４章§4-B定理21(p.180):証明付
矢野『距離空間と位相構造』例1.1.6四則で得られた関数(p.17)
ルディン『現代解析学』4.9:複素数値関数のケース(p.85)。

定理1

2つの実数値関数『 f：X→R』『 g：X→R』が、ともに、実連続関数であるならば、
Xに属す各点xにたいしてf (x)±g(x)を対応づける実数値関数も、実連続関数となる。

定理2

2つの実数値関数『 f：X→R』『 g：X→R』が、ともに、実連続関数であるならば、
Xに属す各点xにたいして、kf (x) ( k∈R )を対応づける実数値関数も、実連続関数となる。

定理3

2つの実数値関数『 f：X→R』『 g：X→R』が、ともに、実連続関数であるならば、
Xに属す各点xにたいしてf (x)g(x)を対応づける実数値関数も、実連続関数となる。

定理4

2つの実数値関数『 f：X→R』『 g：X→R』が、ともに、実連続関数であり、
かつ　
Xに属す任意の点xにたいしてg(x)≠０　　
ならば、
Xに属す各点xにたいしてf (x)/g(x)を対応づける実数値関数も、実連続関数となる。

証明

定理：実数値関数の合成関数compositionの連続性

以下を参照。
・距離空間のあいだの合成写像の連続性
・位相空間のあいだの写像の合成写像の連続性　

[文献]
該当文献見当たらず。

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