| ・切断 ・切断と最大元･最小元 ・デデキントの連続性公理 ※関連ページ：実数体・実数の定義 / 実数上の順序概念 →総目次 |
| 【設定】 (K,≦) : 全順序集合（狭義順序"<"も定義されているとする） 【本題】 全順序集合Kの切断とは、 1. A⊂K かつ A≠φ かつ B⊂K かつ B≠φ 2. K=A∪B 3. A∩B=φ 4. a∈A かつ b∈B ⇒ a＜b をすべて満たす順序対(A,B)のことをいう。 また、Aを下組、Bを上組と呼ぶ。 |
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| 【設定】 (K,≦) : 全順序集合（狭義順序"<"も定義されているとする） (A,B) ： 全順序集合Kの切断 【本題1】 全順序集合Kの切断(A,B)でできた 下組Aの最大元の有無、上組Bの最小元の有無について、 下記四つのケースが論理的に考えられる。
Case4の例： 全順序集合Kとして、整数全体の集合を考える。 すると、整数全体の集合の任意の切断は、Case4になる。 Case3の例： 全順序集合Kとして、有理数全体の集合Qを考える。 B={ b∈Q | b > √2 }、A=Q−Bとする切断(A,B)は、Case3。 |
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| 【本題2】 Kが、ただの全順序集合ではなく、特に順序体であるならば、 Kの切断(A,B)でできた下組Aの最大元の有無、上組Bの最小元の有無について、 Case4は起こり得ない。 証明：順序体Kの自己稠密性による。 |
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【本題】 命題「順序体Kの任意の切断(A,B)は、下組Aの最大元の有無、上組Bの最小元の有無に関して、Case1,2に限る」は、 実数の連続の公理（ワイエルストラスの公理）と同値。 上記命題を、デデキントの連続性公理という。 【証明：デデキントの連続性公理⇒ワイエルストラスの連続性公理】 杉浦『解析入門I』§3実数の連続性問題7の解答(p.403) 笠原『微分積分学』1.1実数(pp.5-6); 赤『実数論講義』§2.8(pp.62)。 【証明：ワイエルストラスの連続性公理⇒デデキントの連続性公理】 杉浦『解析入門I』§3実数の連続性問題7の解答(p.403) |
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