実n次元数ベクトル空間の定義　―　トピック一覧　
・定義：実n次元数ベクトル・第i成分・スカラー / Rn/基本ベクトル/零ベクトル
　　　　実n次元数ベクトル空間・ベクトル和・スカラー倍/逆ベクトル　
・定理：数ベクトル空間のベクトル和の性質/数ベクトル空間のスカラー乗法の性質/数ベクトル空間はベクトル空間の一例
　　　　零ベクトルのスカラー倍/ベクトルのスカラー0倍　
※実n次元数ベクトル空間関連ページ：線形結合/一次独立･一次従属/線形結合と線形独立･従属の関係/基底/次元/部分ベクトル空間　
※上位概念：一般のベクトル空間/一般の体上の数ベクトル空間/実ベクトル空間　
※下位概念：実2次元数ベクトル空間　　　
※線形代数目次・総目次


定義：実n次元数ベクトル・n次元実ベクトル・n項実ベクトル、第i成分i-th component 、スカラー
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
[文献]
・『岩波数学辞典』210線形空間:A定義 例2 (p.570);
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.8);
・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.31);§3(p.46);§6(p.61);
・西村『経済数学早わかり』2章§1.1(p.26);
・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(pp.1-4);
・志賀『線形代数30講』5講(p.28);13講(p.83);14講(p.88);
・藤原『線形代数』1.1(p.4);
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(pp.103-6);
・杉浦『解析入門I』I章§4(p.33);
・グリーン『計量経済分析』2.2(p.11);2.4.1(p.22);
・草場『線形代数』2.3(p.39);
・二階堂『経済のための線型代数』I§1(p.18)。;
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.1.2(p.49)

※実n次元数ベクトルの具体例：実2次元数ベクトル（図解）
※実n次元数ベクトルの一般化1：n次元数ベクトル 
※実n次元数ベクトルの一般化2：実行列/体上の行列　
定義1 実数をn個並べたもの　
すなわち、
実数体Rから実数v1, v2, …, vnをとって順序をつけた、n組
　　v= ( v1, v2, …, vn )　　ただし、v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R 　　
のことを、
実n次元数ベクトル、n次元実ベクトル、n項実ベクトルなどという。

定義2 上記のv1をベクトルvの第1成分、
上記のv2をベクトルvの第2成分、
　　　：　
上記のvnをベクトルvの第n成分
と呼ぶ。

定義3 ベクトルの成分の数をベクトルの次数という。
[西村『経済数学早わかり』２章§1.1(p.26)]

定義4 実n次元横ベクトル・n項実行ベクトルとは、
( v1, v2, …, vn )のように実数を横に並べたn次元実ベクトルのこと。
実n次元縦ベクトル・n項実列ベクトルとは、
　　　　　　　
といった具合に、実数を縦に並べた実n次元ベクトルのこと。
横ベクトルと縦ベクトルの違いは、行列との演算において意味をもつ。
※縦ベクトルを、実際に縦に並べて表記する代わりに、行列の転置記号を用いて、
　横ベクトルの転置　　
　　　　t( v1, v2, …, vn )　
　と表すことが多く見られる。
　書籍等では、
　　　縦ベクトルを実際に縦に並べて表すと、
　　　スペースを費やし、ページが増えて、印刷コストがかさむ
　といった理由から、
　webでは、テキストだけで、縦ベクトルを縦に並べて表すのは難しい、
　といった理由から、
　縦ベクトルを実際に縦に並べることを避ける傾向にある。

定義5 実数体Rからつくった上記の実ベクトルに対して、
　　「実数体Rの元」そのもの、すなわち実数をスカラーと呼ぶ。

例1 実n次元数ベクトルで、次数nを2としたものを、
実2次元数ベクトルと呼ぶ。
実2次元数ベクトルは、具体的には、
　実数体Rから2個の実数v1, v2をとって順序をつけた順序対　
　　v= ( v1, v2 )　　ただし、v1∈Rかつv2∈R　　
　である。
※詳細→実2次元数ベクトル（操作可能な図解つき）
例2 実n次元数ベクトルで、次数nを1としたものを、
実1次元数ベクトルと呼ぶ。
実1次元数ベクトルは、具体的には、実数そのもの。　
実数体Rも、通常のベクトル和・スカラー積を定めることにより(→詳細)、ベクトル空間の定義を満たす（→詳細）。

※ 実ベクトルの上位概念：n次元数ベクトル

※ ここで「実n次元数ベクトル」というときの「n次元」のは、単に、「n個並べた」という意味。
　基底を構成するベクトルの個数として定義される「ベクトル空間の次元」とは、とりあえず無関係。

※ 用語が統一されていない。
・「実n次元数ベクトル」の名称を用いるテキスト→永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.8);
・「n項実ベクトル」の名称を用いるテキスト→斎藤『線形代数入門』2章§1(p.31);　
・「n次元実ベクトル」の名称を用いるテキスト→藤原『線形代数』1.1(p.4);　
・以上の名称の使用を回避し、実数を成分とした数ベクトルなどとしているテキスト
　→佐武『線形代数学』;志賀『線形代数30講』5講(p.28);13講(p.83);14講(p.88);　　　
・このように様々な名称が案出されるのは、
　　　単に、「実ベクトル」というと、実ベクトル空間一般のベクトルを指す可能性があるため？
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
定義：ベクトルの相等

実n次元数ベクトルu,vについてu＝v（実ベクトルu, v が等しい）とは、
u, vの次数が等しく、かつ、各成分の値が等しいことをいう。　
すなわち、
u ＝( u1, u2, …, un ), v ＝( v1, v2, …, vn )について、u＝vとは、
n=mかつui=vi (i=1,2,…,n)であることをいう。

 [文献]
・西村『経済数学早わかり』２章§1.1(p.26);
・杉浦『解析入門I』I章§4(p.33);
・二階堂『経済のための線型代数』I§1(pp.18-9)。
定義：Rn
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　

[文献]
『岩波数学辞典』210線形空間:A定義 例2 (p.570);
永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.8);
杉浦『解析入門I』I章§4定義1(p.33);
佐武『線形代数学』Ⅰ§1(pp.1-4);
ホフマン『線形代数学I』2.1-例1(p.29);
神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(pp.102-6);
本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.133);
酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);

※Rnの具体例：R2　　
定義 実数体Rからつくった実n次元数ベクトルを
すべて集めた集合（つまり、Rのn回の直積）を、
Rnで表す。　
すなわち、
Rn＝R×R×…×R
　　={ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }　
※ Rnに、
ベクトル和とスカラー乗法という演算を定義したものが、
実n次元数ベクトル空間。
例1

・R2は、実2次元数ベクトルをすべて集めた集合を指す。
・実2次元数ベクトルの定義に遡れば、
　R2は、実数の順序対をすべて集めた集合とも言いかえられる。
・これを直積の概念を使って、言い表せば、　　
　R2とは、RとRの直積：R×R　のことである。
※詳細→R2　
例2

・R1は、
　実1次元数ベクトル―すなわち実数―を
　すべて集めた集合―すなわち実数体R―を指す。
・R1―すなわち実数体R―も、
　通常のベクトル和・スカラー積を定めることにより(→詳細)、
　ベクトル空間の定義を満たす（→詳細）。　
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
定義：零ベクトル

設定

 R：実数体(実数をすべて集めた集合）
[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.9);
・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.2);
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.106);
・二階堂『経済のための線型代数』I§1(p.19) 。;
・戸田山田『計量経済学の基礎：統計的手法の理論とプログラミング』2.1.2(p.49).

※実n次元零ベクトルの具体例：実2次元零ベクトル

定義

 実数体Rにおける加法の単位元「０」をn個並べた　
　　　　　　０= ( ０, ０, …, ０ )　　　
　を、n次元の零ベクトルと呼ぶ。

確認

実数体Rにおける加法の単位元０は、当然０∈R 。　　
したがって、０=( ０, ０, …, ０ )　は、
実n次元数ベクトルの定義を満たし、

０∈Rn　
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
　
定義：基本ベクトル
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　　
Rn：実n次元数ベクトルをすべて集めた集合。
　　すなわち、
　　Rn＝R×R×…×R
　　　={ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }　　
[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.11);
・ 佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.4);


※実n次元基本ベクトルの具体例：実2次元基本ベクトル（図解付）
本題

Rnにおける基本ベクトルとは、
次のn個の「実n次元数ベクトル」e1, e2,…,enのことをいう。　

　e1＝( 1, 0,0, …, 0 )　
　e2＝( 0, 1, 0, …, 0 )　　　　
　：　
　：　
　en-1＝( 0, 0, 0, …, 0, 1, 0 )　　　　
　en＝( 0, 0, 0, …, 0, 0, 1 )　　　　

つまり、　
　 e1： 第１成分が「実数体Rにおける乗法の単位元」1で、
第2成分～第n成分が「実数体Rにおける加法の単位元」0であるベクトル
　 e2： 第2成分が「実数体Rにおける乗法の単位元」1で、
第1成分・第3成分～第n成分が「実数体Rにおける加法の単位元」0であるベクトル
　 ：
：		 　
　 en-1： 第(n-1)成分が「実数体Rにおける乗法の単位元」1で、
第1成分～第(n－2)成分・第n成分が「実数体Rにおける加法の単位元」0であるベクトル
　 en： 第n成分が「実数体Rにおける乗法の単位元」1で、
第1成分～第(n-1)成分が「実数体Rにおける加法の単位元」0であるベクトル

といった具合に、
第i成分だけ「実数体Rにおける乗法の単位元」1で、
その他の(n-1)個の成分を「実数体Rにおける加法の単位元」0とした「実数体Rからつくった実n次元数ベクトル」ei　(i=1,2,…,n)を、
Rnにおける基本ベクトルという。　　
性質 基本ベクトルの一次結合、基本ベクトルは一次独立、基本ベクトルは基底をなす　

※実n次元基本ベクトルの具体例：実2次元基本ベクトル（図解付）
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間の定義]
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定義：実n次元数ベクトル空間・n次元実ベクトル空間・ベクトルの加法・スカラー乗法
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実数体Rからつくった実n次元数ベクトルをすべて集めた集合。　　
　　　すなわち、Rn＝R×R×…×R={ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }　

 [文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.8);;
・草場『線形代数』2.3(p.39)
・ 西村『経済数学早わかり』2章§1.2-1.3(pp.27-33);
・杉浦『解析入門I』I章§4(pp.33-4);
・ 佐武『線形代数学』Ⅰ§1(pp.1-4);
・ホフマン『線形代数学I』2.1-例1(p.29);
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(pp.102-6);
・本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132);
・ 酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);;
・ グリーン『計量経済分析』2.2(p.11);2.4.1(p.22)
・ 二階堂『経済のための線型代数』I§1(pp.18-9)

※実n次元数ベクトル空間の具体例：
　　　実2次元数ベクトル空間（操作可能な図解つき）　
※実n次元数ベクトル空間の一般化：
　　　・実ベクトル空間　　
　　　・一般の体上の数ベクトル空間　　
　　　・一般のベクトル空間　
　　　　　　
　　　　　　　
本題 実n次元数ベクトル空間・n次元実ベクトル空間とは、
体Kとして実数体Rを指定した場合の、体K上の数ベクトル空間のこと。
すなわち、
実n次元数ベクトル空間・n次元実ベクトル空間とは、
集合Rnに、次の２つの演算を定義したもののこと。　　
（演算１：ベクトルの加法）　　
任意のu＝(u1,u2,…,un)∈Rn　と、任意のv ＝(v1,v2,…,vn )∈Rnに対して、
そのベクトル和u＋vを、次のように定義する。　　
　u＋v=(u1,u2,…,un)＋( v1,v2,…,vn )=( u1＋v1, u2＋v2 , …, un＋vn )　
　　※最右辺の＋は、実数体Rに定められている加法を指す。
（演算２：スカラー乗法）　　　
Rの任意の元aと、Rnの任意の元v ＝(v1,v2,…,vn )に対して、
そのスカラー倍avを、次のように定義する。
　av=a( v1,v2,…,vn )=( av1,av2,…,avn )　
　　※最右辺のav1,av2,…,avnは、実数体Rに定められている乗法を指す。
例1 実2次元数ベクトル空間（操作可能な図解つき）
例2 実1次元数ベクトル空間とは、
集合R1に、次の２つの演算を定義したもの。
（演算１：ベクトルの加法）　　　
任意のu＝ u1 ∈R1　と、任意のv＝v1∈R1に対して、そのベクトル和u＋vを、次のように定義する。
　u＋v= u1＋v1= u1＋v1 　　※最右辺の＋は、実数体Rに定められている加法を指す。
（演算２：スカラー乗法）　　　
Rの任意の元aと、R1の任意の元v＝v1に対して、そのスカラー倍avを、次のように定義する。　　
　av＝a v1 　　　　　　　
※右辺のa v1は、実数体Rに定められている乗法を指す。
※実1次元数ベクトル空間を定義することそれ自体は馬鹿らしいが、
　実数体Rも、このようにベクトル和・スカラー積を定めることにより、ベクトル空間の定義を満たし（→詳細）、
　ベクトル空間として扱えるというのは、興味深い。　　
※ ここで「実n次元数ベクトル空間」というときの「n次元」は、単に、数を「n個並べた」という意味。
基底を構成するベクトルの個数として定義される「ベクトル空間の次元」とは、とりあえず無関係。
数を「n個並べた」ベクトルの集合に上記の演算を定義しただけの「n次元数ベクトル空間」が、
ベクトル空間になるかどうか、そのベクトル空間としての次元がn次元であるかどうかは、
別に説明を要す。
→実n次元数ベクトル空間がベクトル空間になることの証明　　
→実n次元数ベクトル空間のベクトル空間としての次元がn次元であることの証明　
※ このように定義すると、
　「任意のu,v∈Rnに対して、u＋v∈Rn」「任意のa∈R, v∈Rnに対して、av∈Rn」となる。
なぜなら、　　　　　
(step1)　　
実数体Rの定義より、
　　実数体Rは、加法, 乗法という二項演算が定められた代数系である。
　したがって、二項演算の定義から、　　　
　　x,y∈Rを満たす限りで任意の(x,y)にたいして、x+y∈R, xy∈Rが定められていることになる。　
(step2)
Rnは、{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }と定義されたから、　
　　任意のu＝(u1, u2,…,un )∈Rnと、任意のv＝( v1, v2, …, vn )∈Rnに対して、　
u1, u2,…,un , v1, v2, …, vn ∈Rである。　　
(step3)
任意のu＝(u1, u2,…,un )∈Rnと、任意のv＝( v1, v2, …, vn )∈Rnに対して、
　step1, step2より、 u1＋v1, u2＋v2 , …, un＋vn ∈R　となるから、　
u＋v=( u1＋v1, u2＋v2 , …, un＋vn)は、
　　　Rnの定義：{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }
を満たす。　　　　
(step4)
任意のa∈Rと、任意のv＝( v1, v2, …, vn )∈Rnに対して、
　step1, step2より、 av1, av2 , …, avn ∈R　となるから、　
 av=( av1, av2 , …, avn )は、
　　　Rnの定義：{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }
を満たす。
※ 実n次元数ベクトル空間の上位概念：数ベクトル空間/実ベクトル空間/ベクトル空間　
※ ・実n次元数ベクトル空間はベクトル空間の一例→詳細
・実ベクトル空間が実n次元数ベクトル空間と同型となるための条件：有限次元実ベクトル空間であること
※ 実n次元数ベクトル空間の下位概念：内積空間・ノルム空間・ユークリッド空間
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
定義：逆ベクトル
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　Rn=R×R×…×R
　　　　={ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.9);
・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.2);
※実2次元数ベクトルの逆ベクトル
定義 ・v＝( v1, v2, …, vn )∈Rnの逆ベクトル－vとは、
　v＝( v1, v2, …, vn )∈Rnを、「－１」によってスカラー倍したもの。
　すなわち、　
　　－v=(-1)v＝( v1, v2, …, vn )＝( (-1)v1,(-1)v2,…,(-1)vn )＝( -v1,-v2,…,-vn )　　

性質 「任意のa∈R, v∈Rnに対して、av∈Rn」だから（∵）、　　
　－v=(-1)v＝∈Rn　
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
　
定理：実n次元数ベクトル空間におけるベクトルの加法の性質
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　Rn=R×R×…×R
　　　　={ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　　　
　　

　

[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.9);
・ 西村『経済数学早わかり』２章§1.2(p.29);
・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.2);
・二階堂『経済のための線型代数』I§1(p.19)



※具体例：実2次元数ベクトル空間のケース
※一般化：
　　・一般の体上の数ベクトル空間のケース
　　・一般の実ベクトル空間のケース　
 　　　　　（実ベクトル空間では、性質ではなく、定義の一部）
　　・一般のベクトル空間のケース
 　　　　　（一般のベクトル空間では、性質ではなく、定義の一部）

1. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法＋は、
　　「結合則：( ∀u,v,w∈Rn) ( ( u+v )+w ＝ u+( v+w ) )」を満たす。
2. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法＋と、
　　Rnにおけるn次元零ベクトル０= ( 0, 0, …, 0 )は、
　　　　任意のv∈Rn にたいして、 v+０= v を満たす。
3. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法＋は、
　　　　任意のv∈Rn にたいして、 v+(－v)=０ を満たす。　
4. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法＋は、
　　「可換則：( ∀u,v∈Rn ) (u＋v =v＋u )」を満たす。　
証明1
証明2
証明3
証明4
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
　
定理：実n次元数ベクトル空間におけるスカラー乗法の性質
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　Rn=R×R×…×R
　　　　={ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。　

[文献]
・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.9);
・西村『経済数学早わかり』２章§1.2(pp.30-31);
・杉浦『解析入門I』I章§4命題4.1(p.34);
・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.2);
・二階堂『経済のための線型代数』I§1(p.19);

※具体例：実2次元数ベクトル空間のケース
※一般化：
　　・一般の体上の数ベクトル空間のケース
　　・一般の実ベクトル空間のケース　
 　　　　　（実ベクトル空間では、性質ではなく、定義の一部）
　　・一般のベクトル空間のケース
 　　　　　（一般のベクトル空間では、性質ではなく、定義の一部）
1. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法と、
実数体R上で定義された乗法の単位元"1" は、　
　　　　　任意のv∈Rnに対して、1v=v　
を満たす。　
2. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法は、
　　　　結合則：任意のa,b∈Rと、任意のv∈Rnに対して、(ab)v=a(bv)　
を満たす。
3. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法とベクトルの加法＋は、
　　　　ベクトルに関する分配則：任意のa∈Rと、任意のu,v∈Rnに対して、a(u+v)=au+av　　
を満たす。
4. 実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法とベクトルの加法＋は、
　　　　スカラーに関する分配則：任意のa,b∈Rと、任意のv∈Rnに対して、(a+b)v=av＋bv
を満たす。
証明1
証明2
証明3
証明4
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
　
定理：実n次元数ベクトル空間は実ベクトル空間・ベクトル空間の一例である。
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　Rn=R×R×…×R
　　　　={ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。

[文献]
『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576);
本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132);
酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);
ホフマン『線形代数学I』2.1例1(p.29);
永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6);
佐武『線形代数学』Ⅲ§6(pp.114-5);
志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);
神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(pp.105-6);
松坂『集合・位相入門』3章§5C(p.133);
本題

実n次元数ベクトル空間Rnは、
実数体R上のベクトル空間（すなわち実ベクトル空間）の一具体例であり、
体K上のベクトル空間の一具体例である。
なぜ？

・実数体Rは、体Kの一具体例である。　
・実n次元数ベクトル空間Rnには、
　　任意のu,v∈Rnに対して、u＋v∈Rn、任意のa∈R, v∈Rnに対して、av∈Rn　
　を一つずつ定めるベクトルの加法とスカラー乗法が定められており、
　体K上のベクトル空間であるための条件I-1,II-1を、
　実n次元数ベクトル空間Rnは、満たしている。　　　
・実n次元数ベクトル空間Rnでは、
　実n次元数ベクトル空間におけるベクトルの加法の性質と、
　実n次元数ベクトル空間におけるスカラー乗法の性質の8つの条件が
　成り立っている。
　この8条件は、
　体K上のベクトル空間であるための条件I-2,II-2は満たすものである。
　したがって、実n次元数ベクトル空間Rnは、
　体K上のベクトル空間であるための条件I-2,II-2を満たしている。　
→[トピック一覧：実n次元数ベクトル空間の定義]
→線形代数目次・総目次
定理：零ベクトルのスカラー倍
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　Rn=R×R×…×R
　　　　={ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
０：Rn上の零ベクトル。　　
a：スカラー。つまり、a∈R

[文献]
・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.3);

※具体例：実2次元数ベクトル空間のケース
本題 零ベクトルのスカラー倍は、すべて、零ベクトル。
つまり、任意のa∈Rにたいして、a０＝０
定理：ベクトルのスカラー０倍
設定 R：実数体(実数をすべて集めた集合）　
Rn：実n次元数ベクトル空間。　
　　すなわち、
　　Rn=R×R×…×R
　　　　={ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Rかつv2∈Rかつ…かつvn∈R }　
　　に、ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
０：Rn上の零ベクトル。　　
a：スカラー。つまり、a∈R

　

[文献]
・ 佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.3);

※具体例：実2次元数ベクトル空間のケース
本題 任意の実n次元数ベクトルのスカラー0倍は、すべて、零ベクトル。
　すなわち、任意のv∈Rn にたいして、０v＝０　　
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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.1-b(p.155).
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(p.83);14講ベクトル空間の例と基本概念(p.88)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、1.1ベクトルとベクトルの演算(p.4)、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章§1行列の定義と演算(p.31);§3(p.46);§6(p.61)第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、I章§4(pp.33-4)

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§1ベクトル(pp.26-)。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984,1.
布川昊,谷野哲三,中山弘隆『線形代数と凸解析』コロナ社、1991年、2.4基底と次元(pp.36-41)。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、1.2Ⅲ定義1.2.2(p.10)。
二階堂副包『経済のための線型代数』培風館、1961年、I§1(pp.18-9)。


数理統計学のテキスト
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳） 『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。

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