距離空間(R,d)上のコンパクト集合の定義　：　トピック一覧　　　

　　　　　　　　　　　　・条件2: 距離空間(R,d)の開集合のみからなること。　　すなわち、　　　∀λ∈Λ　∀a∈U_λ　∃U_ε(a)　U_ε(a)⊂U_λ　　　

　　手順2:　Ц={ U_λ}_λ∈Λの有限部分被覆{U₁,U₂,U₃,…,U_n}が存在するかどうかチェック。　
　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　{ U_λ}_λ∈Λから、「A⊂U₁∪U₂∪U₃∪…∪U_n」を満たす、「集合の有限列」{U₁,U₂,U₃,…,U_n}を
　　　　　　　　　取り出せるかどうかをチェック。　

　　手順3:　・　Ц={ U_λ}_λ∈Λの有限部分被覆が存在しないならば、
　　　　　　　　　　　　　　　すなわち、{ U_λ}_λ∈Λから、どういう組合せで {U₁,U₂,U₃,…,U_n} をひねり出してきても、「A⊂U₁∪U₂∪U₃∪…∪U_n」　と出来ないならば、　
　　　　　　　　　　　Aは、コンパクト集合ではない。
　　　　　　　・　Ц={ U_λ}_λ∈Λの有限部分被覆が存在するならば、
　　　　　　　　　　　　　　　すなわち、{ U_λ}_λ∈Λから、{U₁,U₂,U₃,…,U_n}をうまく選べば、「A⊂U₁∪U₂∪U₃∪…∪U_n」 を満たす {U₁,U₂,U₃,…,U_n} をつくれるならば、
　　　　　　　　　　手順4へ進む。

　　手順４：　Aの「距離空間(R,d)における開被覆」を、他のものに変えて、手順1-3をテストしてみる。
　　　　　　　　Aのあらゆる「距離空間(R,d)における開被覆」に対して、有限部分被覆が存在するならば、　Aはコンパクト集合である。

性質：距離空間(R,d)上のコンパクト集合と、位相空間上のコンパクト集合との関連性

【性質】

　・距離空間(R,d)上のコンパクト集合は、位相空間上のコンパクト集合の定義を満たす。

　・具体的にいえば、
　　　距離空間(R,d)上のコンパクト集合は、
　　　　　距離空間(R,d)の開集合をすべてあつめた集合系を　_d　とした際の、位相空間(R,_d)上のコンパクト集合にあたる。

【説明】

　　事実：　　距離空間(R,d)の開集合をすべてあつめた集合系 _d は、位相空間上の開集合系定義を満たし、Rの位相となる。（∵）

　　この事実から、
　　　距離空間(R,d)におけるコンパクト集合の定義　「Rの部分集合Aがコンパクト集合であるとは、Aの任意の『距離空間(R,d)における開被覆』が、『距離空間(R,d)における有限部分被覆』をもつこと。」
　　は、
　　　位相空間上のコンパクト集合の定義　「位相空間(X,  )の部分集合Aがコンパクト集合であるとは、部分集合Aの任意の『Xにおける開被覆』が、『Xにおける有限部分被覆』をもつこと。」
　　を満たす。

　　(1)上記の事実より、　距離空間(R,d)には、つねに、位相空間(R, _d )がついてくる。　したがって、「距離空間(R,d)上の部分集合A」という設定は、　「位相空間(R , _d　)上の部分集合A」という設定にほかならない。
　　(2)上記の事実より、距離空間(R,d)の開集合は、位相空間(R, _d　)の開集合の定義を満たす。ゆえに、『距離空間(R,d)における開被覆』とは、『位相空間(R, _d　) における開被覆』にほかならない。　

定義：点列コンパクトsequentially compact

Reference