多変数実数値関数の無限小解析　　

　・定義：無限小/〜に対して小さな(無視できる)(高位の)無限小"o( ) "/

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定義：無限小 infinitesimal


定義


「多変数実数値関数 y=f ( x1,x2,…,xn ) が
　　　　点A(a1,a2,…,an)において無限小である」とは、
　　f ( x1,x2,…,xn )→０　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )　
となることをいう。　　


[文献]
・杉浦『解析入門』§4 (p.113)

※

類概念：ベクトル値関数の無限小

定義：高位(高次)の無限小、〜より小さな(速い)無限小、〜に対して無視できる無限小
　　　 ランダウの記号　o (・) Landau's little o　


定義


点A(a1,a2,…,an)において無限小となる二つの n変数実数値関数
　　　　　y=f ( x1,x2,…,xn ), y=g ( x1,x2,…,xn )
について、
「点A(a1,a2,…,an)において、fはgより高位(高次) higher orderの無限小である」
「点A(a1,a2,…,an)において、gはfより低位(低次) lower orderの無限小である」
「点A(a1,a2,…,an)において、fはgより小さな無限小である」
「点A(a1,a2,…,an)において、fはgに対して無視できる無限小である」
「点A(a1,a2,…,an)において、fが無限小になる速さは、gが無限小になる速さよりも速い」
「点A(a1,a2,…,an)において、gが無限小になる速さは、fが無限小になる速さよりも遅い」
とは、
　　f ( x1,x2,…,xn )/ g ( x1,x2,…,xn ) →０　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )　
となることをいう。　

つまり、
「点A(a1,a2,…,an)において、f はg より高位の無限小である」とは、
　　f ( x1,x2,…,xn ) →０　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )
　　かつ　
　　g ( x1,x2,…,xn ) →０　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )
　　かつ
　　f ( x1,x2,…,xn )/ g ( x1,x2,…,xn ) →０　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )　
が満たされることにほかならない。　　　　


[文献]
・『岩波数学辞典』項目166極限G(p.437)
・笠原『微分積分学』3.1 (p.82).　
・高木『解析概論』§15付記(p.41).
・杉浦『解析入門』§4定義1(p.114)
・吹田・新保『理工系の微分積分学』2章§3-I(p.54).
・黒田『微分積分学』5.2.5(pp.175).
・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-3Differentiability(p.170)


記号


・記法「f ( x1,x2,…,xn )＝o ( g ( x1,x2,…,xn )) (x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an)」で、
　「点A(a1,a2,…,an)において、
　　　　f ( x1,x2,…,xn )はg ( x1,x2,…,xn )より高位の無限小である」ことを表す。
　つまり、
　「f ( x1,x2,…,xn )＝o ( g ( x1,x2,…,xn )) (x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an)」とは、
　　である。　
・記号「o ( g ( x1,x2,…,xn )) (x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an)」は、
　　点A(a1,a2,…,an)において
　　「g ( x1,x2,…,xn )よりも高位の無限小」となる「x1,x2,…,xnの関数」全般を表す。
　つまり、
　「o ( g ( x1,x2,…,xn )) (x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an)」は、
　　　　f ( x1,x2,…,xn ) →０　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )
　　　　かつ　
　　　　g ( x1,x2,…,xn ) →０　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )
　　　　かつ
　　　　f ( x1,x2,…,xn )/ g ( x1,x2,…,xn ) →０　( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )　
　　を満たす限りで任意の n変数実数値関数f ( x1,x2,…,xn )を指す。
　　この記法は、
　　f ( x1,x2,…,xn )、f ( x1,x2,…,xn )/ g ( x1,x2,…,xn )の式や値を知る必要がなく、
　　ただ、「f ( x1,x2,…,xn )は、x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→anとしたときに、
　　　　　　　　　g ( x1,x2,…,xn )よりも先に無限小に近づくから、
　　　　　　　　　無視してしまってよい」
　　と主張したいとき等に使われる。
・記号o (・)はランダウの記号Landau's symbolと呼ばれる。
　oは、英語のorder,ドイツ語のordnungの略。　
　

o(・)は"little-oh of ・"と読む。[Mathematical Methods and Models for Economists, p.170]
　

活用例： ベクトル値関数についての高位の無限小