定義：距離空間上で定義された実数値関数の収束
convergence・極限値limit→具体例：
１変数関数の収束･極限値/ 2変数関数の収束･極限値/ n変数関数の収束･極限値/→一般化：ベクトル値関数の極限/距離空間のあいだの写像の極限
→活用例：連続性の定義
舞台設定
以下の手順で設定した舞台上で、
「距離空間上で定義された
Step1：集合X (集合ならなんでもよい)を用意する。
Step2：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する
Step3：「集合X」から「実数体R」への実数値関数 f を用意。
つまり、「 f：X→R 」
Step4：集合Xに距離dX を定めて、集合X上に、距離空間( X , dX )を設定。
Step5：実数体Rに距離dを定めて、集合Y上に、距離空間( R , d )を設定。
Step6：「集合X」上の動点を、Pと名づける。
「集合X」上の定点を、Aと名づける。
つまり、「P, A∈X」
はじめに
読むべき
定義
「
距離空間( X , dX )上で点Pを点Aに近づけたとき、実数値関数 f (P) が、実数cに収束する」
「距離空間( X , dX )上で点Pを点Aに近づけたときのf (P) の極限は実数cである」
f ( P )→c ( P → A )
とは、
点Pを、点Aと一致させることなく点Aに近づけたとき、
点Pの点Aへの接近経路にかかわらず、
実数値関数 f (P) の値が同じ１つの実数値cに近づくことをいう。
[
文献]矢野『距離空間と位相構造』1.1.3(p.13)。
*
上記の定義では、「近づく」とはいかなる事態を指すのか、という点が、不明確。そこで、厳密には、「距離空間上で定義された実数値関数の極限値」は、
以下のように、定義される。
厳密な
定義：
ε
論法
「
距離空間( X , dX )上で点Pを点Aに近づけたとき、f (P) が、実数cに収束する」
「距離空間( X , dX )上で点Pを点Aに近づけたときのf (P) の極限は実数cである」
f ( P )→c ( P → A )
とは、
任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δをとると、
０＜dX( P, A )＜δ ⇒ d ( f (P), c )＝| f (P)−c| ＜ε
が成り立つ
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈X）（０＜dX(P, A)＜δ ⇒ d ( f (P), c )＝| f (P)−c|＜ε）
となる。
近傍を
用いた
定義
「
距離空間( X , dX )上で点Pを点Aに近づけたとき、f (P) が、実数cに収束する」
「距離空間( X , dX )上で点Pを点Aに近づけたときのf (P) の極限は実数cである」
f ( P )→c ( P → A )
とは、
実数cの任意の（どんな）「R上のε近傍 Uε( c )」に対して（でも）、
ある「Xにおける点Aの除外δ近傍U*δ(A)」が存在して、
f ( U*δ(A) ) ⊂ Uε( c )
を満たす
ということ。
この定義を別の表現でいうと、
任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δが存在して、
「 f ( U*δ(A) ) ⊂ Uε( c ) 」
すなわち「 P∈U*δ(A) ならば、f (P) ∈Uε( c )」
を成り立たせる、
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀Uε( c )）（∃U*δ(A)）（ f ( U*δ(A) ) ⊂ Uε( c ) ）
（∀ε>０）（∃δ>０）（ f ( U*δ(A) ) ⊂ Uε( c ) ）
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈X）（ P∈U*δ(A) ⇒ f (P) ∈Uε( c )）
となる。