空間Rnにおける点列の収束・極限―定義:トピック一覧 

 定義点列/部分列/距離空間(Rn,d)での点列の収束・極限点/ユークリッド空間上での点列の収束・極限点/有界な点列
 定理点列の収束と座標ごとの収束の関係
 Rnにおける点列の関連ページ収束点列の極限とベクトル和・スカラー倍   
 列とその収束・極限の関連ページR上の数列/R2上の点列/点列一般 
 cf. n変数関数の極限定義 
 
参考文献総目次  

定義:空間Rn上の点列

(はじめに読むべき定義)
 すべての自然数1,2,3,…の各々に対して、空間Rn上のP1 , P 2 , P 3 ,…を定めたものを、
 空間Rn上の点列と呼ぶ。

[文献]
岩波数学辞典』項目58D族列(p.158);
神谷浦井
経済学のための数学入門』定義4.3.1(p.136);
小平
解析入門Ip60;
杉浦
解析入門II§4(p.38)

(厳密な定義)
 各項が空間Rn上のである
 つまり、「
XRnとした、写像 ( 関数 )φ:N X 」を点列と呼ぶ。

(記法)
     
 {
Pi }iN   { P1 , P2 , P3 , }   { Pi }i=1,2,3,… 
 かなり略して、{
Pi }

(意図) 数列n次元へ拡張したものと理解すればよい。

(ベクトルとの関連)
 空間Rn上の」とは、「実数n個並べた組(x1 , x2 ,, xn)」のこと。
 したがって、「
空間Rn上のP1 , P 2 , P 3 ,…」とは、
  実際のところ、「
n個並べた組(x11 , x12 ,, x1n), (x21 , x22 ,, x2n), (x31 , x32 ,, x3n),…」であり、
 これは、「
n次元数ベクトルx1=(x11 , x12 ,, x1n), x2=(x21 , x22 ,, x2n), x3=(x31 , x32 ,, x3n),…」といっても同じ。
 だから、「
平面R2上の点列」は、「n次元数ベクトル」に他ならない。

(他の点列) R上の数列R2上の点列点列一般

定義:Rn上の点列の部分列sub-sequence

(はじめに読むべき定義)
空間Rn上の点列{ P1 , P2 , P3 , …} が与えられているとする。   
この
点列の項P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ,(可算無限個)から、
その一部の項
(可算無限個)を抜き出し、順序を保ったまま並べた点列
    たとえば、
      
P1, P3, P5, P7,… 
      
P10, P11, P12, P13, P14, P15,…  
      
P0, P10, P18, P20, P45, P100,…  
    など      
を、
点列{P1,P2,P3,…}の部分列と呼ぶ。 

[文献]

岩波数学辞典』項目58-D族・列(p.158);

矢野
距離空間と位相構造1.1.2点列の収束(pp.10-11);

神谷浦井
経済学のための数学入門4.3(p.141);

(少しかたい定義)
点列{Pi}iNの部分列とは、INにたいする{Pi}nIのこと。

(記法)
点列{Pi}iNの部分列は、
 {
Pi (k) } 
 {
Pik } 
などと表す。
kは、部分列のなかで何番目の項にあたるかを、
i (k) は、もとの点列で何番目の項だったのかを表している。
例えば、

もとの点列:

P0 ,

P1 ,

P2 ,

P3 ,

P4 ,

P5 ,

  部分列:

P1 ,

P3 ,

P5 ,

P7 ,

P9 ,

 
 

   
 

Pi(1) ,

Pi(2) ,

Pi(3) ,

Pi(4) ,

Pi(5) ,

 

つまり、点列{Pi}iNの部分列{Pi(k) }の添数i(k)は、数列{ i k } kNとなっており、
 この
数列{ i k } kNは、狭義単調増加i1 i 2 i 3 <…である。

(他の点列の部分列)
 数列の部分列R2上の点列の部分列一般の集合上の点列の部分列 

[トピック一覧Rnにおける点列]
総目次

er>

定義:距離空間(Rn,d)上の点列の収束と極限点

    距離空間(Rn,d)上の」の意味がわからない場合→ユークリッド空間上の点列の収束・極限を参照。
      なにもことわらずに、「
Rn上の点列」といえば、それは「ユークリッド空間上の点列」のこと。
      なお、
距離空間(Rn,d)は、ユークリッド空間の一般化。→距離空間のイントロダクション  

(直感的な説明)

点列{Pi}が、Pに収束するとは、iが大きくなるにつれて、点列をなす各PiPに「近づく」ことである。
しかし、この「近づく」とは、どういうことなのか―よく考えてみると、はっきりしない。
これについて明確化するために、点列の収束は、次のように、少々面倒くさいかたちで定義されることになる。

(はじめによむべき定義)

[文献]
岩波数学辞典』項目166E(pp436);
矢野『距離空間と位相構造1.1.2(p.10);
松坂『集合・位相入門6章§1-C(pp.238-9) ;
高木『解析概論p.14.;
小平『解析入門I』§1.6(p.60);
吹田新保『理工系の微分積分学p.155 

空間Rnに距離dを定めて設定した距離空間 ( Rn, d ) 上の点列
   {
P1 , P2 , P3 , …}={ (x11 , x12 ,, x1n), (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n), }
が、P (x1 , x2 ,, xn)に収束するとは、     
  
数列{ d ( P1 , P ) , d ( P2 , P ) , d ( P3 , P ) , }が0に収束すること、 
  すなわち、
d ( Pi , P ) ( i→∞ ) 
       
   
  が成り立つこと
を言う。
また、
点列{P1 , P2 , P3 , …}が点Pに収束するとき、
P極限limit、極限点などと呼ぶ。

(厳密な定義)

松坂『集合・位相入門6章§1-C(pp.238-9) ;
斉藤『数学の基礎:集合・数・位相4.5.11(p.131);
神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.3.2(p.137) ;
杉浦『解析入門I1章§4(pp.38-40)

空間Rnに距離dを定めて設定した距離空間 ( Rn, d ) 上の点列
   {
P1 , P2 , P3 , …}={ (x11 , x12 ,, x1n), (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n), }
が、P (x1 , x2 ,, xn)に収束するとは、
 
任意のε> 0に対して、ある自然数N存在し、
  「
N以上のあらゆるの自然数iに対して、d ( Pi , P ) <ε」
  ないし「
N以上のあらゆるの自然数iに対して、Pi Pのε近傍属す
 を成立させるということ。
点列{P1 , P2 , P3 , …} Pに収束するとき、
P極限limit極限点などと呼ぶ。

(論理記号による表現)

距離空間 ( Rn, d )上の点列{Pi}PRnに収束するとは、   
  
( ε>0 ) (NN) (iN) ( iN d ( Pi , P ) <ε) 
  
( ε>0 ) (NN) (iN) ( iN PiUε(P) ) 
  
( Uε(P) ) (NN) (iN) ( iN PiUε(P) )  
点列{ Pi }Pに収束するとき、P極限limit極限点などと呼ぶ。

杉浦『解析入門I1章§4(pp.38-40)

(記法)

  Pi P (i→∞) 
   
 と記す。 

※(はじめに読むべき定義)と(厳密な定義)は同じもの

(はじめに読むべき定義)d ( Pi , P ) ( i→∞ )  
は、
数列の収束の厳密な定義より、次のように言い換えても同じこと。
        
(ε>) (NN) (iN) ( iN| d ( Pi , P ) |< ε)  …(1) 
距離
dの定義より、d ( Pi , P )だから、| d ( Pi , P ) |< εd ( PI , P )< ε 
したがって、
(1)は、 
(厳密な定義)
(ε>) (NN) (iN) ( iN d ( Pi , P )< ε) 
に言い換えても同じこと。

(他の収束・極限概念)

数列の収束と極限値R2上の点列の収束・極限一般の距離空間上の点列の収束・極限

n変数関数の極限定義 

[トピック一覧Rnにおける点列]
総目次

 

定義:ユークリッド空間Rn上の点列の収束と極限点

   ここでは、特に、距離ユークリッド距離で定義されたユークリッド空間Rnの上で、点列の収束について考える。

(はじめに読むべき定義)

[文献]
岩波数学辞典』項目92D(pp.254-255); 項目166E(pp436)
矢野『距離空間と位相構造1.1.2(p.10);
松坂『集合・位相入門6章§1-C(pp.238-9) ;
小平『解析入門I』§1.6(p.60);
吹田新保『理工系の微分積分学p.155

設定

ここでは、
 
空間Rnユークリッド距離dを与えることで設定されたユークリッド空間(Rn,d)
という舞台の上で「点列の収束」の定義をみる。

定義

ユークリッド空間(Rn,d)上の点列
   {
P1 , P2 , P3 , }={ (x11 , x12 ,, x1n), (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n), }
が、P(x1 , x2 ,, xn)に収束するとは、
  
数列{ d ( P1 , P ) , d ( P2 , P ) , d ( P3 , P ) , }が0に収束すること、 
  すなわち、
     
 
が成り立つことをいい、
これを、
または、
PiP (i→∞)
で表す。
また、
点列{ P1 , P2 , P3 , }が点Pに収束するとき、P極限limit、極限点などと呼ぶ。

(厳密な定義)

[文献]
高木『解析概論p.14.;
志賀『位相への30』第2(pp.10-15);
松坂『集合・位相入門6章§1-C(pp.238-9) ;
斉藤『数学の基礎:集合・数・位相4.5.11(p.131);
神谷浦井『経済学のための数学入門』定義4.3.2(p.137) ;
杉浦『解析入門I1章§4(pp.38-40)

設定

ここでは、
 
空間Rnユークリッド距離dを与えることで設定されたユークリッド空間(Rn,d)
という舞台の上で「点列の収束」の定義をみる。

定義

ユークリッド空間(Rn,d)上の点列{P1 , P2 , P3 , …}が、P (x1 , x2 ,, xn)に収束するとは、
 
任意のε> 0に対して、ある自然数N存在し、
    「
N以上のあらゆる自然数iに対して、
         」
     ないし
    「
N以上のあらゆる自然数iに対して、Pi(xi1 , xi2 ,, xin)Pのε近傍
       
     に
属す
 を成立させることをいい、
これを、
または、
Pi P (i→∞)
で表す。

(論理記号による表現)

PiP (i→∞)

(ε>0) (NN) (iN) 
       

  ないし、
  (ε>0) (NN) (iN)  
     

杉浦『解析入門I1章§4(pp.38-40)

(ベクトル表現)

設定

ユークリッド空間(Rn,d)上の点列{P1 , P2 , P3 , …}の収束」の定義は、ベクトルでも表現できる。
ベクトルで表された「
ユークリッド空間(Rn,d)上の点列{P1 , P2 , P3 , …}の収束」の定義は、
以下の手順で設定された舞台上でなされる。 
Step1 n次元空間Rnを用意する。
        
* n次元空間Rnとは、 実数n個並べた組 (x1,x2,,xn ) をすべてあつめた集合。
         すなわち、「
実数全体の集合R」のそれ自身へのn回の直積
               
R×R××R={ (x1 , x2 ,, xn) | x1Rかつx2RかつかつxnR } 
         これは、
n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2
Rnにたいして、通例のベクトルの加法スカラー乗法を定義して、n次元数ベクトル空間Rnを設定。
Step3n次元数ベクトル空間Rnにたいして、「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖」を定義して、
    
ノルム空間 Rn, ‖‖ )を設定。   
Step4ノルム空間 Rn, ‖‖ )にたいして、ユークリッドノルムから定めた距離d(x, y)=xyを定義して、
    
ユークリッド空間(Rn,d)を設定。
Step5ユークリッド空間(Rn,d)上の定P=(x1 , x2 ,, xn) と名づける。 

定義

ユークリッド空間(Rn,d)上の点列
   {
P1 , P2 , P3 , } { (x11 , x12 ,, x1n) , (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n) , }
P (x1 , x2 ,, xn) に収束するとは、
  
数列{ d ( P1 , P ) =P1 P, d ( P2 , P )=P2 P , d ( P3 , P )=P3 P , }が0に収束すること、 
  すなわち、 
   
 
が成り立つこと、をいう。
数列収束の定義にまで遡ると、
ユークリッド空間(Rn,d)上の点列
   {
P1 , P2 , P3 , } { (x11 , x12 ,, x1n) , (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n) , }
P (x1 , x2 ,, xn)に収束するとは、
  
( ε>0 ) (NN) (iN) ( iN d ( Pi , P )= Pi P<ε)  

(図解1

以上は、空間Rn上の点列の収束と極限点の定義における距離dに、ユークリッド距離を与えるだけで得られる。

ユークリッド距離と位相的に同値である距離をR2に与えてつくった距離空間でどうなるか
  →志賀『
位相への30』第11(pp.81-2)

[トピック一覧Rnにおける点列]
総目次

 

定理:ユークリッド空間Rn上の点列の収束と座標ごとの収束の関係 

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。
Step1 n次元空間Rnを用意する。
        
* n次元空間Rnとは、 実数n個並べた組 (x1,x2,,xn ) をすべてあつめた集合。
         すなわち、「
実数全体の集合R」のそれ自身へのn回の直積
               
R×R××R={ (x1 , x2 ,, xn) | x1Rかつx2RかつかつxnR } 
         これは、
n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2空間Rnユークリッド距離を与えて、ユークリッド空間(Rn, d )を設定。 
Step3ユークリッド空間(Rn,d)上の定P=(x1 , x2 ,, xn) と名づける。
Step4ユークリッド空間(Rn,d)上の点列を{ P1 , P2 , P3 , }と名づける。 、
        
*点列{ P1 , P2 , P3 , }の各Pin個の実数順序対( xi1 , xi2, xin )を表す。
         つまり、{
P1 , P2 , P3 , }={ (x11 , x12 ,, x1n), (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n), }
         とも書ける。

定理

以下の二つの命題は同値である。
[命題1]
 点列{ P1 ,P2 ,P3 ,…}={ (x11 , x12 ,, x1n), (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n), }が、
 
P=( x1 , x2 ,, xn )収束する。
 つまり、 
     
  
[命題2]
 ・点列{P1,P2,P3,…}={(x11 , x12 ,, x1n), (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n),…} 
   の各
第1成分だけを取り出して並べた数列{ x11 , x21, x31, }が、 
    
P第1成分x1収束し、
 
かつ
 ・
点列{P1,P2,P3,…}={ (x11 , x12 ,, x1n), (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n) ,…} 
   の各
2成分だけを取り出して並べた数列{ x12 , x22, x32, }が、 
    
P2成分x2収束し、
 
かつ
  :
 
かつ
 ・
点列{P1,P2,P3,…}={(x11 , x12 ,, x1n), (x21 , x22 ,, x2n) , (x31 , x32 ,, x3n),…}
   の各
n成分だけを取り出して並べた数列{ x1n , x2n, x3n, }が、
     
Pn成分xn収束する。
 つまり、
 
  
なぜ?→証明 


[文献]
高木『解析概論p.14:R2上のユークリッド空間;
小平『解析入門I』§1.6-d(p.60) :R2上のユークリッド空間;
矢野『距離空間と位相構造』例1.9(p.12) :Rnにおいて;
志賀『位相への30』第13(pp.91-2):Rnにおいて;
神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.1(p.138) :n次元ユークリッド空間において;
杉浦『解析入門I1章§4定理4.5-1(p.38):n次元ユークリッド空間において;
吹田新保『理工系の微分積分学p.155-6 

活用例:点列のベクトル和の極限点列と数列のスカラー積の極限 

ユークリッド距離と位相的に同値である距離Rnに与えてつくった距離空間でどうなるか
  →矢野『
距離空間と位相構造』例1.9(p.12)  

[トピック一覧Rnにおける点列]
総目次

 

定義:「有界」な点列

 ・点列{Pn}の各点と原点O(0,0)との距離が、nによらない一定の実数を超えないとき、
  
点列{Pn}は「有界」であるという。[ 小平邦彦『解析入門Ip. 65] 
 ・
点列{Pn}の各点の各座標が有界なるとき、点列が有界であるという。 [高木貞二『解析概論p.14.]

cf.有界, 空間Rnにおける「有界」な点集合

   

reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(3)』項目58関数D族・列(p.158);項目92距離空間(pp.253-256);項目166収束(pp436);項目409ユークリッド幾何学(pp.1225-1229)、項目410ユークリッド空間 (pp.1229-1230).
(解析学についての教科書)
高木貞二『
解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、p.14.
小平邦彦『解析入門I (軽装版)岩波書店、2003年、§1.6平面上の点集合-d.点列の極限(pp.60-61)
杉浦光夫『
解析入門I』岩波書店、1980年、1章§4(pp.38-40):Rn上の点列について。収束定義の論理記号での表現がある。.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。6章§1(pp.155-157):平面上。
(数理経済学についての教科書)
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.67-68;120-123;4.3Rnにおける点列の収束(pp.135-141).
奥野正寛、鈴村興太郎『ミクロ経済学I』岩波書店、1985年、pp.261-265.
(位相についての教科書)
志賀浩二『位相への30』朝倉書店、1988年、第2講平面上の座標・点列の収束(pp.10-15); 11講距離空間の例(pp.77-84)。。
矢野公一『
距離空間と位相構造』共立出版、1997年。 1章距離空間1.1.2点列の収束(pp.10-11);2章位相空間2.1位相構造(p.65)
斉藤正彦『数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。1章§2定義1.2.11:点列;定義1.2.12部分列(pp.13-4); 3章§4定義3.4.4Rn点列収束(pp.86-87);4章位相空間(その1)§4点列の収束 (p.122-3)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。第6章§1-C点列の収束(pp.238-9)
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学: 
集合と位相II 岩波書店、1977, §1.7距離空間のCauchy,完備距離空間(pp.154-8);§2.5有向点列の収束(p.198)

 

[トピック一覧Rnにおける点列]
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