| ※総目次 |
| 定義：冪(べき)・累乗 power、指数exponent 〜指数を自然数に限定して |
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定義 |
・実数a,自然数nに対して、 「aのn乗」anとは、「『n個の実数a』を掛け合わせた積」のこと。 たとえば、 ・「実数aの3乗」a3といえば、「『3個の実数a』を掛け合わせた積」aaa を指す。 なお、この「実数aの3乗」a3=aaaを、「実数aの立方」とも呼ぶ。 ・「実数aの2乗」a2といえば、「『2個の実数a』を掛け合わせた積」aa を指す。 なお、この「実数aの2乗」a2=aaを、「実数aの平方」とも呼ぶ。 ・「実数aの1乗」a1といえば、「『1個の実数a』を掛け合わせた積」a を指す。 ・「実数aの冪(べき)」「実数aの累乗」とは、 ・「実数aの1乗」a1 ・「実数aの2乗」a2 ・「実数aの3乗」a3 ： ・「aのn乗」an,… の総称。 ・anの「底」とは、aのこと。 たとえば、a3=aaa 、a2=aa、a1=aの「底」は、どれもa。 ・anの「指数exponent」とは、nのこと。 たとえば、 ・a3=aaa の指数は3 ・a2=aaの指数は2 ・a1=aの指数は1 |
[文献]・能代『極限論と集合論』20.整指数のベキ(p.41)・吉田栗田戸田『昭和62年3/31文部省検定済 高等学校数学I』啓林館、1章2(p.12);1章8指数法則(pp.36-7); ・赤攝也『実数論講義』§3.4帰納的定義：実数aのn乗の定義を通して §3.5累乗(p.79); §3.12整数指数の累乗(p.99); §7.1有理数指数の累乗(p.203); §7.2実数指数の累乗(p.210)。 ・吉田栗田戸田『昭和63年3/31文部省検定済 高等学校基礎解析』啓林館、2章1指数の拡張(pp.40-45):有理数実数べき;. ・『岩波入門数学辞典』「べきpower」(p.545); 「指数(べきの)exponent」(p.241); 「指数法則exponential law」(pp.244-5)。 ・小林昭七『微分積分読本:1変数』2章4指数関数(pp.58-65):整数べき→有理数べき→実数べき ・加藤十吉『微分積分学原論』4.4整数の実数乗と指数関数-例10(p.39) ・竹之内『経済・経営系数学概説』1.5累乗の一般化(pp.34-6) ・永倉安次郎･宮岡悦良『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』付録A.1.1 ・岡田章『経済学・経営学のための数学』1.4(p.26) [関連事項]・累乗の拡張：→指数を正負の整数へ拡張した「べき」「累乗」 →指数を有理数へ拡張した「べき」「累乗」 →指数を実数へ拡張した「べき」「累乗」 ・自然数指数の「冪関数」「累乗関数」 |
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| 指数法則 exponential law,指数公式 law of exponents 〜指数を自然数に限定して |
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性質 |
[指数法則-1]いかなる実数a,いかなる自然数m,nに対してでも、aman = am+n が成り立つ。 論理記号で表すと、 (∀a∈R) (∀m,n∈N) ( aman = am+n ) ※なぜ？→証明 [指数法則-2]・いかなる実数a,いかなる自然数m,nに対してでも、(am)n = amn が成り立つ。 論理記号で表すと、 (∀a∈R) (∀m,n∈N) ( (am)n = amn ) ※なぜ？→証明 [指数法則-2']・いかなる実数a,いかなる自然数m,n,tに対してでも、am=bn ならば、 amt=bnt が成り立つ。 論理記号で表すと、 (∀a∈R) (∀m,n,t∈N) (am=bn⇒amt=bnt) ※なぜ？→証明 ※活用例→n乗のm乗根の性質1 |
[文献]・吉田栗田戸田『昭和62年3/31文部省検定済 高等学校数学I』啓林館、1章2(p.12);1章8指数法則(p.36);・赤攝也『実数論講義』定理3.5.1;問2(pp.79-81):自然数指数に限定。わざわざ証明つき; ・竹之内『経済・経営系数学概説』1.5累乗の一般化(pp.34-6) ・『岩波入門数学辞典』「指数法則exponential law」(pp.244-5)。 ・小林昭七『微分積分読本:1変数』2章4指数関数(pp.58-65):有理数べきの指数公式law of exponents(p.60) ※関連事項： ・累乗の拡張： →指数を正負の整数へ拡張した場合の指数法則 →指数を有理数へ拡張した場合の指数法則 →指数が実数へ拡張した場合の指数法則 ・自然数指数の「冪関数」「累乗関数」 |
[指数法則-3]いかなる実数a,b、いかなる自然数nに対してでも、(ab)n = anbn が成り立つ。 論理記号で表すと、 (∀a,b∈R) (∀n∈N) ( (ab)n = anbn ) |
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[指数法則-4]いかなる0でない実数a,いかなる自然数m,nに対してでも、n＜m ⇒ (am)/(an)＝am-n n＝m ⇒ (am)/(an)＝1 m＜n ⇒ (am)/(an)＝1/(an-m) が成り立つ。 論理記号で表すと、 (∀a∈R) (∀m,n∈N) ( n＜m ⇒ (am)/(an)＝am-n ) (∀a∈R) (∀m,n∈N) ( n＝m ⇒ (am)/(an)＝1 ) (∀a∈R) (∀m,n∈N) ( m＜n ⇒ (am)/(an)＝1/(an-m) ) |
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[指数法則-5]いかなる自然数nに対してでも、(1)n = 1 が成り立つ。 論理記号で表すと、 (∀n∈N) ( (1)n = 1 ) |
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上記の証明・1.〜3.についての、数学的帰納法を用いた厳格な証明は、赤『実数論講義』定理3.5.1(pp.79-81)にある。・そこまでしなくても、定義にさかのぼって、書き下せば、1.〜3.は当然だとわかる。 |
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[指数法則1の証明]いかなる実数a,いかなる自然数m,nに対してでも、aman ＝ (aaaa……………………aaa)(aaaa………………aaa) ∵累乗の定義 ↑ ↑ [m個のaを掛け合わせた積][n個のaを掛け合わせた積] ＝ aaaa……………………………………………aaa ∵実数の積の結合則 ↑ [(m+n)個のaを掛け合わせた積] ＝ am+n ∵累乗の定義 |
[文献]・竹之内『経済・経営系数学概説』1.5累乗の一般化(pp.36):左記証明。・赤攝也『実数論講義』定理3.5.1;問2(pp.79-81):わざわざ数学的帰納法を用いた厳格な証明。 |
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[指数法則2の証明]いかなる実数a,いかなる自然数m,nに対してでも、(am)n ＝ (am)(am)…(am) ∵n乗の定義 ↑ [n個の(am)を掛け合わせた積] ＝(aaaa………aaa)(aaaa………aaa)……(aaaa………aaa) ∵m乗の定義 ↑ ↑ ↑ [m個のaの積] [m個のaの積] … [m個のaの積] └───────┴───…─────┘ [n個の「m個のaの積」を掛け合わせた積] ＝ aaaa……………………………………………aaa ∵実数の積の結合則 ↑ [mn個のaを掛け合わせた積] ＝ amn ∵累乗の定義 |
[文献]・竹之内『経済・経営系数学概説』1.5累乗の一般化(pp.36):左記証明。・赤攝也『実数論講義』定理3.5.1;問2(pp.79-81):わざわざ数学的帰納法を用いた厳格な証明。 |
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[指数法則2'の証明]・いかなる実数a,いかなる自然数m,n,tに対してでも、am=bn＝c ならば、 amt=(am)t ∵指数法則2 ＝ct ∵ここでの仮定「am=bn＝c 」 bnt=(bn)t ∵指数法則2 ＝ct ∵ここでの仮定「am=bn＝c 」 ・つまり、いかなる実数a,いかなる自然数m,n,tに対してでも、 am=bn＝c ならば、 amt=bnt＝ct |
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| 指数と大小関係〜指数を自然数に限定して |
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性質 |
1. いかなる実数a,b、いかなる自然数nに対してでも、 0＜a＜b ⇒ 0＜an＜bn が成り立つ。 論理記号で表すと、 (∀a,b∈R) (∀n∈N) ( 0＜a＜b ⇒ 0＜an＜bn ) 2. いかなる実数a,いかなる自然数n,mに対してでも、 （ n＜m かつ 0＜a＜1 ） ⇒ am＜an が成り立つ。 論理記号で表すと、 (∀a∈R) (∀n,m∈N) ( （ n＜mかつ0＜a＜1 ） ⇒ am＜an ) 3. いかなる実数a,いかなる自然数n,mに対してでも、 （ n＜m かつ 1＜a ）⇒ an＜am が成り立つ。 論理記号で表すと、 (∀a∈R) (∀n,m∈N) ( （n＜mかつ1＜a）⇒ an＜am ) |
[文献]・赤攝也『実数論講義』定理3.5.1;問2(pp.79-81):自然数指数に限定。わざわざ証明つき;※関連事項： ・指数と大小関係(有理数指数) ・自然数指数の「冪関数」「累乗関数」の増減 ・指数関数の増減 |
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