n変数m値ベクトル値関数とその属性：トピック一覧　　
　・定義：n変数m値ベクトル値関数　
　・定義：ベクトル値関数の定義域/像･値/値域/逆像･原像/有界なベクトル値関数　
　※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/写像一般　
　※ベクトル値関数に関する諸概念の定義：極限/極限の性質/連続性/偏微分/方向微分/微分　
　※ベクトル値関数の具体例：1変数m値ベクトル値関数/2変数2値ベクトル値関数/一次写像『f :Rn⊃D→Rm』　
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定義：n変数m値ベクトル値関数　
定義 ベクトル値関数ないし多価関数[→『経済数学早分かり』(p.105)]
ないしn変数m値多変数関数とは、
「n個の実数の組(x1,x2,…,xn)に対して、
　　　　　　　m個の実数の組(y1,y2,…,ym)を対応づける規則」
「n次元空間Rnの点集合D（定義域）に属す各点にたいして、
　　　　　　　　　m次元空間Rmに属す点を対応づける規則」
「n次元空間Rnの部分集合Dから、m次元空間Rmへの、写像」
のこと。
　　(y1,y2,…,ym)＝f (x1,x2,…,xn)　、f : D→Rm　、f :Rn⊃D→Rm　　
などと表す。　　		 [文献]
・西村『経済数学早分かり』3章§1.1関数とは(p.105);
・笠原『微分積分学』1.4(pp.22-3)。
・杉浦『解析入門I』I§6(p.50);
・黒田『微分積分学』8.2.1(p.276);
・髙木『解析概論』84写像(p.302);
・加古『自然科学の基礎としての微積分6.1(p.88);
[具体例]
　・1変数m値ベクトル値関数　
　・2変数2値ベクトル値関数　　　　
[下位類型]
　・一次写像『f :Rn⊃D→Rm』　
ベクトル
表現		 n個の実数の組(x1,x2,…,xn)とは、実n次元数ベクトルのこと、
m個の実数の組(y1,y2,…,ym)とは、実m次元数ベクトルのこと、
にほかならないから、
ベクトル値関数･多価関数とは、
　「実n次元数ベクトルx=(x1,x2,…,xn)にたいして、実m次元数ベクトルy=(y1,y2,…,ym)を対応づける規則」
　「実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合D（「定義域」）の各元に対して、実m次元数ベクトル空間Rmの元を対応づける規則」
　「実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合Dから、実m次元数ベクトル空間Rmへの、写像」
などといっても同じ。
　　y＝f(x)　、f : D→Rm　、f :Rn⊃D→Rm　　などと表す。
多変数
1価関数
への
還元		 ベクトル値関数･多価関数 (y1,y2,…,ym)＝ f (x1,x2,…,xn)　は、　　　
m個のn変数1価関数に還元できる。
つまり、
(y1,y2,…,ym)＝ f (x1,x2,…,xn)　とは、
　y1＝f1(x1,x2,…,xn)　
　y2＝f2(x1,x2,…,xn)　
　：　：　
　ym＝fm(x1,x2,…,xn)　
というn変数1価関数f1,f2 ,…,fmの組に他ならない。
ここから、ベクトル値関数･多価関数 (y1,y2,…,ym)＝ f (x1,x2,…,xn)、y＝f(x)　を、
( f1(x1,x2,…,xn), f2(x1,x2,…,xn),…, fm(x1,x2,…,xn) ）＝ f (x1,x2,…,xn)　
( f1(x), f2(x),…, fm(x))＝ f(x)
などと表すこともある。　
類概念 1変数関数/2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/写像一般　　
定義：n変数m値ベクトル値関数の定義域domain　
　
ベクトル値関数「f :Rn⊃D→Rm」の定義域とは、
点集合Dのこと。
[文献]
・黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276);
・笠原『微分積分学』1.4(p.22)
[具体例]  1変数m値ベクトル値関数の定義域/2変数2値ベクトル値関数の定義域/　　
[類概念]1変数関数の定義域/ 2変数関数の定義域/n変数関数の定義域/実数関数一般の定義域
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定義：n変数m値ベクトル値関数の像・値　
点
の
像		 「ベクトル値関数f による点P＝(x1,x2,…,xn)∈Rnの像」
「点P＝(x1,x2,…,xn)におけるf の値」
　　  f (x1,x2,…,xn)、f (P)
とは、
ベクトル値関数f によって
点P＝(x1,x2,…,xn)∈Rnに対応付けられた
点P'=(y1,y2,…,ym)∈Rm
のこと。		 [具体例]
　・1変数m値ベクトル値関数の像　
　・2変数2値ベクトル値関数の像　　　　　
[下位類型]
　・一次写像『f :Rn⊃D→Rm』の像(Image)　
[類概念]
　・1変数関数の像･値/2変数関数の像･値/n変数関数の像･値/実数値関数一般の像･値/写像の「像」
[文献]
　・黒田『微分積分学』3.1.2(p.86；87);8.2.1(p.276);
集合
の像		 「ベクトル値関数fによる『定義域の部分集合A』の像」f (A)とは、
『定義域の部分集合A』に属す点のfによる像を、全部集めて出来る集合のこと。
　つまり、f :Rn⊃D→Rm　、A⊂D⊂Rnにたいして、　f (A)={ f (a)∈Rm | a∈A }　と定義される。
定義：n変数m値ベクトル値関数の値域range　
　 ベクトル値関数「f :Rn⊃D→Rm」の値域とは、
f による定義域の像
　　 f (D)={ f (a)∈Rm | a∈D⊂Rn }
のこと。
[文献]
・黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276);
・笠原『微分積分学』1.4(p.22);
具体例 1変数m値ベクトル値関数の値域/2変数2値ベクトル値関数の値域/　
類概念 1変数関数の値域/2変数関数の値域/n変数関数の値域/実数値関数一般の値域　
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定義：n変数m値ベクトル値関数の逆像・原像inverse image　

点の
逆像
「点P＝(x1,x2,…,xn)∈Rnが、
　　ベクトル値関数「f :Rn⊃D→Rm」による
　　　　　　点P'=(y1,y2,…,ym)∈Rmの逆像である」
　　P＝f －1(P')
とは、
点P＝(x1,x2,…,xn)のf による像が点P'=(y1,y2,…,ym)∈Rmであるということ
　　　　f (P)=P'
をいう。
※点P'=(y1,y2,…,ym)∈Rmのf による逆像は、Rn上に複数存在しうる。		 [具体例]
　・一次写像『f :Rn⊃D→Rm』の核(Kernel)　　
 　・1変数m値ベクトル値関数の逆像　
　・2変数2値ベクトル値関数の逆像　　　　
[類概念]
  ・1変数関数の逆像
  ・2変数関数の逆像
  ・n変数関数の逆像
  ・実数値関数一般の逆像
　・写像の「逆像」
[文献]
　・黒田『微分積分学』3.1.2(p.86;87)
集合
の
逆像		 「ベクトル値関数『f :Rn⊃D→Rm』による『Rm上の点集合B』の逆像」
　　f －1 (B)　
とは、
定義域Dに属す点のうち、その像が『Rm上の点集合B』に属すもの全体の集合のこと。
つまり、f :Rn⊃D→Rm、B⊂Rmにたいして、　　
　　　　　　f －1 (B)＝{ a∈D⊂Rn | f (a)∈B⊂Rm}　
と定義される。
定義：n変数m値ベクトル値関数が有界　
有界 「ベクトル値関数『f :Rn⊃D→Rm』が有界である」とは、
　f の値域がRm上の点集合として有界であるということ、
[文献]
・Rudin『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。
・杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55);
[具体例]
　・1変数m値ベクトル値関数の有界　
　・2変数2値ベクトル値関数の有界
点集合
で
有界		 「ベクトル値関数『f :Rn⊃D→Rm』が点集合Aで有界である」とは、
　「f による『定義域Dの部分集合A』の像」f (A)がRm上の点集合として有界であるということ。
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