n変数関数とその属性：トピック一覧　　

　・定義： n変数関数　
　・定義：n変数関数の定義域/像･値/値域/逆像･原像　
　・定義：有界なn変数関数/ n変数関数の最大値･最大点･最小値･最小点

　※関数定義関連ページ：1変数関数/2変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般　
　※n変数関数に関する諸概念の定義：極限/連続性/偏微分/方向微分/全微分/　　
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定義：n変数関数　

定義

n変数関数ないし多変数関数とは、
「n個の実数の組(x₁,x₂,…,x_n)に対して、実数yを対応づける規則」
「 n次元空間Rⁿの点集合D（定義域）に属す各点Pにたいして、実数yを対応づける規則」
「 n次元空間Rⁿの部分集合Dから、実数体Rへの、写像」
のこと。
　y=f (x₁,x₂,…,x_n)　、z=f (P)　、f : D→R　、f :Rⁿ⊃D→R　　
などと表す。　

[文献]
西村『経済数学早分かり』3章§1.1関数とは(p.104)
小平
『解析入門�U』§6.4(p309);
笠原『微分積分学』1.4(pp.22-3)。
杉浦『解析入門I』I§6(p.50);
黒田『微分積分学』8.2.1(p.276);
��木『解析概論』8.函数(p.19);
加古『自然科学の基礎としての微積分6.1(p.88);

ベクトル
表現

n個の実数の組(x₁,x₂,…,x_n)とは、実n次元数ベクトルのことにほかならないから、
n変数関数･多変数関数とは、
「実n次元数ベクトルx=(x₁,x₂,…,x_n)にたいして、実数yを対応づける規則」。
「実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分集合（「定義域」）Dの各元に対して、実数体Rの元を対応づける規則」
「実n次元数ベクトル空間Rⁿの部分集合Dから、実数体Rへの、写像」
などといっても同じ。
z=f (x)　、f: D→R　、f :Rⁿ⊃D→R　　などと表す。

類概念

1変数関数/ 2変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般　

定義：n変数関数の定義域domain　

定義

n変数関数「f :Rⁿ⊃D→R」の定義域とは、
点集合Dのこと。

[文献]
黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276);
笠原『微分積分学』1.4(p.22)
[類概念]
1変数関数の定義域/ 2変数関数の定義域/実数関数一般の定義域/
ベクトル値関数の定義域

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定義：n変数関数の像・値　

点の像

「n変数関数f による点P=(x₁,x₂,…,x_n)の像」
「点P=(x₁,x₂,…,x_n)におけるf の値」
　　 f (x₁,x₂,…,x_n)、f (P)
とは、
n変数関数f によって
点P= (x₁,x₂,…,x_n)に対応付けられた
実数のこと。

[類概念]
1変数関数の像･値/ 2変数関数の像･値/実数値関数一般の像･値/ベクトル値関数の像･値/写像の「像」
[文献]
黒田『微分積分学』3.1.2(p.86；87);8.2.1(p.276);

集合の像

「n変数関数f による『定義域の部分集合A』の像」f (A)とは、
『定義域の部分集合A』に属す点のfによる像を、全部集めて出来る集合のこと。
　つまり、f :Rⁿ⊃D→R　、A⊂D⊂Rⁿにたいして、　f (A)={ f (a)∈R | a∈A }　と定義される。

定義：n変数関数の値域range　

n変数関数「f :Rⁿ⊃D→R」の値域とは、
f による定義域の像
　　 f (D)={ f (a)∈R | a∈D }
のこと。

[類概念]
1変数関数の値域/ 2変数関数の値域/実数値関数一般の値域/ベクトル値関数の値域　
[文献]
黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276);
笠原『微分積分学』1.4(p.22);

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定義：n変数関数の逆像・原像inverse image　

点の逆像

「点P= (x₁,x₂,…,x_n)が、
　　n変数関数『f :Rⁿ⊃D→R』 による実数bの逆像である」
　　P=f ⁻¹ (b)
とは、
点P= (x₁,x₂,…,x_n)のf による像が実数bであるということ
　　　　f (P)=b
をいう。
※実数bのf による逆像は、複数存在しうる。

[類概念]
　1変数関数の逆像
　 2変数関数の逆像
　実数値関数一般の逆像
　ベクトル値関数の逆像　
　写像の「逆像」

[文献]
黒田『微分積分学』3.1.2(p.86;87)

集合の
逆像

「n変数関数『f :Rⁿ⊃D→R』による『R上の点集合B』の逆像」
　　f ⁻¹ (B)　
とは、
定義域Dに属す点のうち、その像がBに属すもの全体の集合のこと。
つまり、f :Rⁿ⊃D→R　、B⊂Rにたいして、　　
　　　　　　f ^-1 (B)＝{ a∈D⊂Rⁿ | f (a)∈B⊂R}　
と定義される。

定義：n変数関数が有界　

有界

「n変数関数『f :Rⁿ⊃D→R』が有界である」とは、
　f の値域がR上の点集合として有界であるということ、
　つまり、
　定義域Dに属すあらゆる点P= (x₁,x₂,…,x_n)に対して、| f (P)|≦M」を満たす実数M>０が存在する
　　　　　論理記号では、（∃M>０）（∀P∈D⊂Rⁿ）（| f (P)|≦M）
　ということをいう。

[文献]
Rudin『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。
杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55);

点集合
で
有界

「n変数関数『f :Rⁿ⊃D→R』が点集合Aで有界である」とは、
　「f による『定義域Dの部分集合A』の像」f (A)がR上の点集合として有界であるということ。
　つまり、f :Rⁿ⊃D→R　、A⊂D⊂Rⁿという設定のもと、
　「点集合Aに属すあらゆる点P= (x₁,x₂,…,x_n)に対して、| f (P)|≦M」を満たす実数M>０が存在するということ
　　　論理記号では、（∃M>０）（∀P∈A⊂D⊂Rⁿ）（| f (P)|≦M）　　

定義：n変数関数の最大値・最大点・最小値・最小点　

最大値

「n変数関数fの点集合Aにおける最大値」とは、
　　「f による『定義域の部分集合A』の像」の(実数の集合としての)最大元のこと。
つまり、　　　
f :Rⁿ⊃D→R　、A⊂D⊂Rⁿという設定のもとで、「n変数関数fの点集合Aにおける最大値」といえば、max f (A)を指す。
※「n変数関数fの点集合Aにおける最大値」は存在する場合もあれば、存在しない場合もある。
　　→最大値・最小値定理　　

[文献]
杉浦『解析入門I』I§7(p.68);

最大点

「点P= (x₁,x₂,…,x_n)が、n変数関数fの点集合Aにおける最大点である」とは、
「点P= (x₁,x₂,…,x_n)のfによる像」f (P)が「fの点集合Aにおける最大値である」ということ。
つまり、f :Rⁿ⊃D→R, P∈A⊂D⊂Rⁿとの設定下で「点Pがn変数関数fの点集合Aにおける最大点である」といえば、
　　　　　f (P)=max f (A)　となることを指す。　

最小値

「n変数関数fの点集合Aにおける最小値」とは、
　　「f による『定義域の部分集合A』の像」の(実数の集合としての)最小元のこと。
つまり、f :Rⁿ⊃D→R　、A⊂D⊂Rⁿという設定のもとで、「n変数関数fの点集合Aにおける最小値」といえば、
　　　　　min f (A)を指す。
※「n変数関数fの点集合Aにおける最小値」は存在する場合もあれば、存在しない場合もある。
　　→最大値・最小値定理　　

最小点

「点P= (x₁,x₂,…,x_n)が、n変数関数f の点集合Aにおける最小点である」とは、
「点Pのf による像」f (P)が、「f の点集合Aにおける最小値である」ということ。
つまり、f :Rⁿ⊃D→R, P∈A⊂D⊂Rⁿとの設定下で「点Pがn変数関数fの点集合Aにおける最小点である」といえば
　　　　　f (P)=min f (A)となることを指す。