n変数関数とその属性:トピック一覧 |
・定義: n変数関数 ・定義:n変数関数の定義域/像・値/値域/逆像・原像 ・定義:有界なn変数関数/ n変数関数の最大値・最大点・最小値・最小点 |
※ 関数定義関連ページ:1変数関数/2変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般※n変数関数に関する諸概念の定義:極限/連続性/偏微分/方向微分/全微分/ →総目次 |
n変数関数 | |||
定義 |
n 変数関数ないし多変数関数とは、「n個の実数の組(x1,x2,…,xn)に対して、実数yを対応づける規則」 「 n次元空間Rnの点集合D(定義域)に属す各点Pにたいして、実数yを対応づける規則」 「 n次元空間Rnの部分集合Dから、実数体Rへの、写像」 のこと。 y=f (x1,x2,…,xn) 、z=f (P) 、f : D→R 、f :Rn⊃D→R などと表す。 |
[ 文献]西村『経済数学早分かり』3章§1.1関数とは(p.104) 小平 『解析入門U』§6.4(p309); 笠原『微分積分学』1.4(pp.22-3)。 杉浦『解析入門I』I§6(p.50); 黒田『微分積分学』8.2.1(p.276); 木『解析概論』8.函数(p.19); 加古『自然科学の基礎としての微積分6.1(p.88); |
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ベクトル |
n 個の実数の組(x1,x2,…,xn)とは、実n次元数ベクトルのことにほかならないから、n変数関数・多変数関数とは、 「実n次元数ベクトルx=(x1,x2,…,xn)にたいして、実数yを対応づける規則」。 「実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合(「定義域」)Dの各元に対して、実数体Rの元を対応づける規則」 「実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合Dから、実数体Rへの、写像」 などといっても同じ。 z=f (x) 、f: D→R 、f :Rn⊃D→R などと表す。 |
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類概念 |
1変数関数/ 2変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般 |
定義: n変数関数の定義域domain |
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点集合Dのこと。 |
黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276); 笠原『微分積分学』1.4(p.22) [類概念] 1変数関数の定義域/ 2変数関数の定義域/実数関数一般の定義域/ ベクトル値関数の定義域 |
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n変数関数の像・値 | ||
点の像 |
「 n変数関数f による点P=(x1,x2,…,xn)の像」「点P=(x1,x2,…,xn)におけるf の値」 f (x1,x2,…,xn)、f (P) とは、 n変数関数f によって 点P= (x1,x2,…,xn)に対応付けられた 実数のこと。 |
1変数関数の像・値/ 2変数関数の像・値/実数値関数一般の像・値/ベクトル値関数の像・値/写像の「像」 [文献] 黒田『微分積分学』3.1.2(p.86;87);8.2.1(p.276); |
集合の像 |
「 n変数関数f による『定義域の部分集合A』の像」f (A)とは、『定義域の部分集合A』に属す点のfによる像を、全部集めて出来る集合のこと。 つまり、f :Rn⊃D→R 、A⊂D⊂Rnにたいして、 f (A)={ f (a)∈R | a∈A } と定義される。 |
n変数関数の値域range | ||
f による定義域の像 f (D)={ f (a)∈R | a∈D } のこと。 |
1変数関数の値域/ 2変数関数の値域/実数値関数一般の値域/ベクトル値関数の値域 [文献] 黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276); 笠原『微分積分学』1.4(p.22); |
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n変数関数の逆像・原像inverse image | |||
点の逆像 |
「 点P= (x1,x2,…,xn)が、n変数関数『f :Rn⊃D→R』 による実数bの逆像である」 P=f −1 (b) とは、 点P= (x1,x2,…,xn)のf による像が実数bであるということ f (P)=b をいう。 ※実数bのf による逆像は、複数存在しうる。 |
[ 類概念]1変数関数の逆像 2変数関数の逆像 実数値関数一般の逆像 ベクトル値関数の逆像 写像の「逆像」 [文献] 黒田『微分積分学』3.1.2(p.86;87) |
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集合の |
「 n変数関数『f :Rn⊃D→R』による『R上の点集合B』の逆像」f −1 (B) とは、 定義域Dに属す点のうち、その像がBに属すもの全体の集合のこと。 つまり、f :Rn⊃D→R 、B⊂Rにたいして、 f -1 (B)={ a∈D⊂Rn | f (a)∈B⊂R} と定義される。 |
n変数関数が有界 | ||
有界 |
「 n変数関数『f :Rn⊃D→R』が有界である」とは、f の値域がR上の点集合として有界であるということ、 つまり、 定義域Dに属すあらゆる点P= (x1,x2,…,xn)に対して、| f (P)|≦M」を満たす実数M>0が存在する 論理記号では、(∃M>0)(∀P∈D⊂Rn)(| f (P)|≦M) ということをいう。 |
Rudin『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。 杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55); |
点集合 |
「 n変数関数『f :Rn⊃D→R』が点集合Aで有界である」とは、「f による『定義域Dの部分集合A』の像」f (A)がR上の点集合として有界であるということ。 つまり、f :Rn⊃D→R 、A⊂D⊂Rnという設定のもと、 「点集合Aに属すあらゆる点P= (x1,x2,…,xn)に対して、| f (P)|≦M」を満たす実数M>0が存在するということ 論理記号では、(∃M>0)(∀P∈A⊂D⊂Rn)(| f (P)|≦M) |
n変数関数の最大値・最大点・最小値・最小点 | |||
最大値 |
「 n変数関数fの点集合Aにおける最大値」とは、「f による『定義域の部分集合A』の像」の(実数の集合としての)最大元のこと。 つまり、 f :Rn⊃D→R 、A⊂D⊂Rnという設定のもとで、「n変数関数fの点集合Aにおける最大値」といえば、max f (A)を指す。 ※「n変数関数fの点集合Aにおける最大値」は存在する場合もあれば、存在しない場合もある。 →最大値・最小値定理 |
[ 文献]杉浦『解析入門I』I§7(p.68); |
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最大点 |
「 点P= (x1,x2,…,xn)が、n変数関数fの点集合Aにおける最大点である」とは、「点P= (x1,x2,…,xn)のfによる像」f (P)が「fの点集合Aにおける最大値である」ということ。 つまり、f :Rn⊃D→R, P∈A⊂D⊂Rnとの設定下で「点Pがn変数関数fの点集合Aにおける最大点である」といえば、 f (P)=max f (A) となることを指す。 |
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最小値 |
「 n変数関数fの点集合Aにおける最小値」とは、「f による『定義域の部分集合A』の像」の(実数の集合としての)最小元のこと。 つまり、f :Rn⊃D→R 、A⊂D⊂Rnという設定のもとで、「n変数関数fの点集合Aにおける最小値」といえば、 min f (A)を指す。 ※「n変数関数fの点集合Aにおける最小値」は存在する場合もあれば、存在しない場合もある。 →最大値・最小値定理 |
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最小点 |
「 点P= (x1,x2,…,xn)が、n変数関数f の点集合Aにおける最小点である」とは、「点Pのf による像」f (P)が、「f の点集合Aにおける最小値である」ということ。 つまり、f :Rn⊃D→R, P∈A⊂D⊂Rnとの設定下で「点Pがn変数関数fの点集合Aにおける最小点である」といえば f (P)=min f (A)となることを指す。 |
和達三樹『
理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.112-114.→
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