距離空間(R,d)と位相  : トピック一覧  


ε近傍と位相 
距離空間上の開集合と位相        

 【関連】
  ・距離空間(R2,d)と位相/距離空間(Rn,d)と位相 
  ・距離空間 (R,d) 


定理:距離空間上のε近傍と位相  


・点Pのすべてのε近傍をあつめた集合系は、点P基本近傍系をなす。   

 【文献】
  ・松坂『集合・位相入門』第6章B(p.237)
  ・彌永『集合と位相』§2.3例2.12(p.188)


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定理:距離空間上の開集合と位相

  [松坂『集合・位相入門』4章§1D(p.144)問題3(p.151);6章B(p.237); 志賀『位相への30講』第3項(pp.22-23) 
   斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』第四章§5項目4.5.3(p.125);
   矢野『距離空間と位相構造』1.3.2開集合命題4.15(p.41)]
(本題)
距離空間(R,d)における(距離空間の文脈でいう)開集合をすべてあつめた集合系Odは、
(位相の文脈でいう)開集合系をなす。
ゆえに、Odは、集合Rにおける位相となる。
この意味で、Odは、距離dの定める位相とも呼ばれる。
(意義)
 この定理は、
 「集合R距離dを定義しさえすれば、集合R位相を定めたことになる」、 
 「距離空間(R,d)には、いつでも、位相空間(R, Od)がついてくることになる」
 という重大な事態を意味している。
 つまり、
   step1. 集合R距離dを定義して、距離空間(R,d)をつくると、距離dから、ε近傍が定まる、
                (ε近傍の定義による。ε近傍の定義は距離dにのみ依存する。) 
   step2. ε近傍が定義されれば、距離空間(R,d)における(距離空間の文脈でいう) 開集合も定義される、
                (距離空間の文脈でいう開集合の定義による)
   step3. 距離空間(R,d)における(距離空間の文脈でいう) 開集合をすべてあつめた集合系は、
       位相の文脈でいう開集合系をなす。
               (この定理による) 
   step4. 集合R位相の文脈でいう開集合系が定まるならば、集合Rに位相が定められ、
      集合Rとその開集合系の組は、位相空間となる。
               (位相位相空間の定義による) 
(証明)
距離空間(R,d)上の(距離空間の文脈でいう) 開集合をすべてあつめた集合系Odは、
(位相の文脈でいう)開集合の公理を満たすことを示す。
 [志賀『位相への30講』第3項(pp.20-23);斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』第四章§5項目4.5.3(p.125);
  矢野『距離空間と位相構造』1.3.2開集合命題4.15(p.41)]
Step1: 距離空間(R,d)上の開集合をすべてあつめた集合系は、開集合系の第1条件を満たす。
 距離空間(R,d)上の開集合の定義より、
 R全体、空集合φも、距離空間(R,d)上の開集合の一例(→理由)。
 ゆえに、距離空間(R,d)上の開集合をすべてあつめた集合系Odは、
      開集合系の第1条件ROd かつ φOd   
 を満たす。
Step2: 距離空間(R,d)上の開集合をすべてあつめた集合系は、開集合系の第2条件を満たす。 
 距離空間(R,d)上の開集合の性質より、 
 距離空間(R,d)上の開集合をすべてあつめた集合系Odは、
 開集合系の第2条件(O1,O2O) (O1O2O)を満たす。
Step3: 距離空間(R,d)上の開集合をすべてあつめた集合系Odは、開集合系の第3条件を満たす。
 距離空間(R,d)上の開集合をすべてあつめた集合系Odは、
 距離空間(R,d)上の開集合の性質より、 
 開集合系の第3条件
    OλOΛ) にたいして、


Oλ
λ∈Λ

 O 

    
 を満たす。



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Reference

日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』岩波書店、1985年、項目14位相空間、項目92距離空間(pp.253-256)、項目409ユークリッド幾何学(pp.1225-1229)、項目410ユークリッド空間 (pp.1229-1230).
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年。 1章距離空間1.3.2開集合(pp.40-41)
斉藤正彦『数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。第4章§5項目4.5.3(p.125)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。4章§1D(p.144)問題3(p.151);6章B(p.237);
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第3項(pp.22-23)。
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学:集合と位相 I・II』 岩波書店、1977年。 II.位相第2章位相空間§2.1閉包写像と位相空間-§2.3近傍(pp.173-190)