定義：n変数関数の広義の極小relative minimum /極小点
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f : Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　　　A=(a1,a2,…,an)　∈D	［文献］ ・『岩波数学辞典』333L(p.986) ・松坂『解析入門3』14.3-A(p.163) ・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定義8.12(p.307) ・加藤『微分積分学原論』15.3定義15.4(p.189) ・ ※1変数関数の極値定義/2変数関数の広義極小
定義	「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で広義極小になる」 「点A=(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの広義の極小点である」 とは、 点A=(a1,a2,…,an)の近傍をうまくとると、 その近傍に属すあらゆる点P=(x1,x2,…,xn)に対して、 　　　　f(P) ≧ f(A)　すなわち　f (x1,x2,…,xn)≧ f (a1,a2,…,an) が成り立つことをいう。 論理記号で表すと、(∃ε>0) (∀P∈Uε(A) ) ( f (P) ≧ f (A) )
関連	n変数関数の広義の極大値/狭義の極小

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定義：n変数関数の広義の極小値
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f : Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　　　A=(a1,a2,…,an)　∈D	［文献］ ・『岩波数学辞典』333L(p.986) ・松坂『解析入門3』14.3-A(p.163) ・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定義8.12(p.307) ・加藤『微分積分学原論』15.3定義15.4(p.189) ※１変数関数の極値定義/2変数関数の広義極小
定義	「n変数実数値関数fの広義の極小値」 とは、 n変数実数値関数fが広義極小点においてとる値のことをいう。 つまり、 fの広義極小点A=(aa1,a2,…,an)にたいして、 f (A)を広義極小値と呼ぶ。

関連 　　　n変数関数の広義の極小点/狭義の極小値　

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定義：n変数関数の狭義の極小/極小点
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f : Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　　　A=(a1,a2,…,an)　∈D	［文献］ ・松坂『解析入門3』14.3-A(p.163) ・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定義8.12(p.307) ・加藤『微分積分学原論』定義15.4(p.189)「真の極小」 ・岡田『経済学・経営学のための数学』3.1(p.117) ※１変数関数の極値定義/2変数関数の狭義極小 ※n変数関数の極小の必要条件/極小の十分条件
定義	「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で狭義に極小になる」 「点A=(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの狭義の極小点である」 とは、 点A=(a1,a2,…,an)の除外ε近傍に属すあらゆる点P=(x1,x2,…,xn)に対して、 　　　　f(P) > f(A)　すなわち　f (x1,x2,…,xn) >f (a1,a2,…,an) が成り立つことをいう。　　 論理記号で表すと、(∃ε>0) (∀P∈U*ε（A） ) ( f (P) > f (A) ) ※以上の定義は、次のようにも表現できる。 　　(∃ε>0) (∀P∈D ) (０＜‖P−A‖＜ε　⇒　 f (P) > f (A) )
	(∃ε>0)（∀(h1,h2,…,hn)∈D）（０＜‖(h1,h2,…,hn)‖＜ε　⇒　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn) ＞ f (a1,a2,…,an)　） 　　(∃ε>0)　（∀(h1,h2,…,hn)∈U*ε(0,0,…,0)）　( 　f (a1+h1,a2+h2,…,an+hn)＞f (a1,a2,…,an)　)
関連	n変数関数の広義の極小値/広義の極小

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定義：n変数関数の狭義の極小値
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f: Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　A=(a1,a2,…,an)　∈D	［文献］ ・松坂『解析入門3』14.3-A(p.163) ・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定義8.12(p.307) ・加藤『微分積分学原論』定義15.4(p.189)「真の極小値」 ・岡田『経済学・経営学のための数学』3.1(p.117) ※１変数関数の極値定義/2変数関数の狭義極小 ※n変数関数の極小の必要条件/極小の十分条件
定義	「n変数実数値関数fの狭義の極小値」とは、 n変数実数値関数fが狭義の極小点においてとる値のことをいう。 つまり、 fの狭義の極小点A=(a1,a2,…,an)にたいして、 f (A)を狭義の極小値と呼ぶ。
関連	n変数関数の狭義の極小点/広義の極小値

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定義：n変数関数の広義の極大 relative maximum , local maximum /極大点
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f : Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　　　A=(a1,a2,…,an)　∈D	［文献］ ・『岩波数学辞典』333L(p.986) ・松坂『解析入門3』14.3-A(p.163) ・加藤『微分積分学原論』15.3定義15.4(p.189) ・ ※１変数関数の極値定義/２変数関数の広義極大
定義	「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で極大になる」 「点A=(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの広義の極大点である」 とは、 点A=(a1,a2,…,an)の近傍に属すあらゆる点P=(x1,x2,…,xn)に対して、 　　　　f (P) ≦ f (A)　すなわち　f (x1,x2,…,xn)≦ f ( a1,a2,…,an) が成り立つことをいう。　　 論理記号で表すと、(∃ε>0) (∀P∈Uε(A) ) ( f (P) ≦ f (A) )
関連	n変数関数の広義の極大値/狭義の極大

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定義：n変数関数の広義の極大値
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f : Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　　　A=(a1,a2,…,an)　∈D	［文献］ ・『岩波数学辞典』333L(p.986) ・松坂『解析入門3』14.3-A(p.163) ・加藤『微分積分学原論』15.3定義15.4(p.189) ・岡田『経済学・経営学のための数学』3.1(p.117) ・入谷久我『数理経済学入門』定義7.3(p.172). ※１変数関数の極値定義/２変数関数の広義極大
定義	「n変数実数値関数fの広義極大値」 とは、 n変数実数値関数fが広義極大点においてとる値のことをいう。 つまり、 fの極大点A=(a1,a2,…,an)にたいして、 f (A)を極大値と呼ぶ。
関連	n変数関数の極大点/狭義の極大値/最大値

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定義：n変数関数の狭義の極大/極大点
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f : Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　　　A=(a1,a2,…,an)　∈D	［文献］ ・松坂『解析入門3』14.3-A(p.163) ・加藤『微分積分学原論』定義15.4(p.189)「真の極大」 ・岡田『経済学・経営学のための数学』3.1(p.117) ※１変数関数の極値定義/２変数関数の狭義極大
定義	「n変数実数値関数fは点A=(a1,a2,…,an)で狭義に極大になる」 「点A=(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの狭義の極大点である」 とは、 点A=(a1,a2,…,an)の除外ε近傍に属すあらゆる点P=(x1,x2,…,xn)に対して、 　　　　f (P) < f (A)　すなわち　f (x1,x2,…,xn) <f ( a1,a2,…,an) が成り立つことをいう。　　 論理記号で表すと、(∃ε>0) (∀P∈U*ε（A） ) ( f (P) < f (A) )
関連	n変数関数の狭義の極大値/広義の極大

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定義：n変数関数の狭義の極大値
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f : Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　　　A=(a1,a2,…,an)　∈D	［文献］ ・松坂『解析入門3』14.3-A(p.163) ・加藤『微分積分学原論』定義15.4(p.189)「真の極大値」 ・岡田『経済学・経営学のための数学』3.1(p.117) ※１変数関数の極値定義/２変数関数の狭義極大
定義	「n変数実数値関数fの狭義の極大値」とは、 n変数実数値関数fが狭義の極大点においてとる値のことをいう。 つまり、 fの狭義の極大点A=(a1,a2,…,an)にたいして、 f (A)を狭義の極大値と呼ぶ。
関連	n変数関数の狭義の極大点/広義の極大値

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定義：n変数関数の広義の極値 extremum
広義の極値とは、広義の極小値・極大値の総称。	・『岩波数学辞典』333L(p.986)

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定義：n変数関数の狭義の極値
狭義の極値とは、狭義の極小値・極大値の総称。

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定義：n変数関数の臨界点 critical point 停留点stationary point
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f: Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　A=(a1,a2,…,an)∈D	［文献-数学］ 　・『岩波数学辞典』333L(p.986) 　・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定義8.12(p.307) 　・松坂『解析入門3』14.3-A(p.164) 　・加藤『微分積分学原論』15.3定義15.4(p.189) 　・高橋『微分と積分2』定義3.20(p.79) 　・高木『解析概論』§26(p.68) 　・杉浦『解析入門１』�U§8(p.150) 　・小形『多変数の微分積分』p.75. 　・布川ほか『線形代数と凸解析』定義9.3(p.206) ［文献-数理経済］ 　・岡田『経済学・経営学のための数学』記述なし 　・入谷久我『数理経済学入門』 記述なし 　・神谷浦井『経済学のための数学入門』：記述なし 　・西村和夫『経済数学早分かり』：記述なし ※　１変数関数の臨界点／２変数関数の臨界点
定義	「点A=(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの臨界点・停留点である」 とは、 点A=(a1,a2,…,an)において、fの勾配ベクトルが零ベクトルとなること つまり、 　　grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）　 が満たされることをいう。
※	n変数実数値関数fが点A=(a1,a2,…,an)で(全)微分可能ならば、 「点A=(a1,a2,…,an)は、n変数実数値関数fの臨界点・停留点である」 とは、 点A=(a1,a2,…,an)においてfの微分係数が零ベクトルとなることを指す。 なぜなら、 定理によって、 n変数実数値関数fが点A=(a1,a2,…,an)で(全)微分可能ならば、 点A=(a1,a2,…,an)におけるfの微分係数は、 点A=(a1,a2,…,an)におけるfの勾配ベクトルに等しくなるから。
注	臨界点・停留点の語義について、テキストのあいだで相違がみられる。 (1) fがすべての変数について偏微分可能かつ grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）を満たす点を臨界点・停留点と定義したテキスト。 　・黒田『21世紀の数学1:微分積分学』定義8.12(p.307)は、 　　　fがすべての変数について偏微分可能かつ grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）が満たされる点を、臨界点または停留点と定義。 　　　（つまり、臨界点または停留点は、そこでの(全)微分可能を要求しない。）　　 　　　そのうえで、臨界点または停留点には、「極値点になる臨界点」と「鞍点になる臨界点」があると指摘。 　・松坂『解析入門3』14.3-A(p.164)は、 　　　fがすべての変数について偏微分可能かつ grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）が満たされる点を、臨界点と定義。 　　　（つまり、臨界点は、そこでの（全）微分可能を要求しない。）　　 　　　そのうえで、臨界点には、「極値点になる臨界点」と「鞍点になる臨界点」があると指摘。 　・小形『多変数の微分積分』p.75、布川ほか『線形代数と凸解析』定義9.3(p.206)は、 　　grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）が満たされる点を、停留点と定義。 　　つまり、停留点には、「極値点になる停留点」と「鞍点になる停留点」があることになる。 　・加藤『微分積分学原論』15.3定義15.4(p.189)は、grad f (a1,a2,…,an)=（０,０,…０）が満たされる点を、危点と定義。 　　危点は、critical pointの新訳？ (2) fが（全）微分可能かつ微分係数＝（０,０,…０）を満たす点を、臨界点と定義したテキスト。 　　・杉浦『解析入門１』�U§8(p.150)、 　　・高橋『微分と積分2』定義3.20(p.79)は、 　　このテキストに従えば、臨界点には、「極値点になる臨界点」と「鞍点になる臨界点」があることになる。　 (3) 　高木『解析概論』§26(pp.68-71)は、grad f(a1,a2,…,an)=（０,０,…０）を満たすが、極値点にならない点を、停留点と呼んでいる。 (4) 　『岩波数学辞典』333L(p.986)は、 　　fが（全）微分可能かつ微分係数＝（０,０,…０）を満たす点を臨界点と定義し、「臨界点における関数の値」を停留値と定義している。

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定義：n変数関数の臨界値 critical value停留値stationary value
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f: Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　A=(a1,a2,…,an)∈D	［文献］ 　・高橋『微分と積分2』定義3.20(p.79) 　・高木『解析概論』§26(p.68) 　・加藤『微分積分学原論』15.3定義15.4(p.189)「危値」 　・布川ほか『線形代数と凸解析』定義9.3(p.206) ※　１変数関数の臨界値／２変数関数の臨界値
定義	「n変数実数値関数fの臨界値・停留値」とは、 n変数実数値関数fが臨界点・停留点においてとる値のことをいう。 つまり、 fの臨界点・停留点A=(a1,a2,…,an)にたいして、 f (A)を臨界値・停留値と呼ぶ。
関連

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定義：n変数関数の峠点 鞍点saddle point
設定	D ： Rn上の開集合 f ： Dを定義域とするn変数実数値関数。　f : Rn⊃D → R A=(a1,a2,…,an)　: Dに属す点。　　　　　　A=(a1,a2,…,an)　∈D	［文献］ ・杉浦『解析入門１』�U§8(p.150) ※２変数関数の峠点・鞍点
定義	「点aがfの鞍点・峠点である」とは、 点aに対して、零ベクトル以外の二つのベクトル(e11,e12,…,e1n),(e21,e22,…,e2n)が存在して、 　　g(t)= f(a1+te11,a2+te12,…,an+te1n　)がt=0で極小 　　h(t)= f(a1+te21,a2+te22,…,an+te2n　) がt=0で極大　 　を満たすことをいう。

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