| →総目次 | |
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実数体･実数の定義1 ： 最も抽象的
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→[実数(体)の定義冒頭] |
実数体･実数の定義2 ： やや抽象的・実数体Rとは、 |
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| 加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合Xに定めてつくった様々な代数系Xのなかでも特に、 次の5要件を満たす代数系Xのことをいう。 実数 real numberとは、この実数体Rの元のこと。 |
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【要件A】Xが体であること。 [→具体的に展開] |
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→[上記要件を要約] →[実数(体)の定義冒頭] |
実数体･実数の定義３ ： やや具体的・実数体Rとは、次の10要件を満たす集合Xのこと。 実数 real number とは、この実数体Rの元のこと。 【 要件A-0 】集合X上の二項演算として、加法x+y, 乗法xyの二つが定められていて、この加法x+y, 乗法xyによって、代数系Xが定義されていること。 【 要件A-1 】代数系Xが、加群(加法について可換群)であること。【 要件A-2 】代数系Xが、乗法に関して可換半群であること。【 要件A-3 】代数系Xから加法の単位元を除いた集合X－{0}が、乗法群であること(要件A-2のもとで、要件A-3が満たされると、X－{0}はアーベル群になる) 【 要件A-4 】分配法則 distributive law「 任意のx,y,z∈X にたいして、(x+y)z=xz+yz , z(x+y)=zx+zy 」 を、加法･乗法が満たすこと。 [→要件A-0～A-4を具体的に展開／簡潔に要約] |
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【 集合Xが実数体Rと呼ばれるための要件B-1 】X上の順序≦、順序集合(X,≦)が定義されていること。X上の狭義順序x<yも、x≦yかつx≠yとして、定義されていること。 【 集合Xが実数体Rと呼ばれるための要件B-2 】どのようにXから二つの元x,yをとっても、x≦y か y≦x の両方ないしいずれか一方 （x=yかx<yかy<xのどれか[『理工系の微分積分学』p.3]） が成り立つこと。 [→要件B-1～B-2を具体的に展開／簡潔に要約] |
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| E-1：(∀A⊂X)
（ A≠φ かつ （∃ b∈X）(∀a∈A) (a≦b) ⇒ (∃b*∈X) （ (∀ a∈A) (a≦b* ) かつ (∀b∈X )（ (∀a∈A) (a≦b) ⇒ (b*≦b)）））
ないし E-2：(∀A⊂X) ( A≠φ かつ （∃ b∈X）(∀a∈A) (b≦a) ⇒ (∃b*∈X) （ (∀ a∈A) ( b*≦a ) かつ (∀b∈X )（ (∀a∈A) (b≦a) ⇒ (b≦b*)））） [要件Eの詳細→杉浦§1[2]R17(p.7);黒田2.4.1(p.35);赤§2.8(pp.61-62);神谷浦井§2.1-R5(p.59);吹田(p.4)矢野A.2.3実数(p.240);本橋5.3a問題4(p.91;104)] |
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[→要件Eを簡潔に要約][→[要件A～Eを簡潔に要約]
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→[条件A～Eを簡潔に要約] →[実数(体)の定義冒頭] |
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実数体･実数の定義4：最も具体的・実数体Rとは、次の要件をすべて満たす集合Xのこと。 実数 real number とは、この実数体Rの元のこと。 【 集合Xが実数体Rと呼ばれるための要件A-0 】集合X上の二項演算として、加法x+y, 乗法xyの二つが定められていること。 【 集合Xが実数体Rと呼ばれるための要件A-1 】集合X上の加法x+yが、次の4要件を満たすこと。 -1. 結合則「 (∀x,y,z∈X)((x+y)+z=x+(y+z)) 」を満たす -2. 可換則「 ( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x ) 」を満たす -3. 単位元0 すなわち、「(∀x∈X) (0+x=xかつx+0=x)」を満たす0∈X が存在する -4. Xのすべての元xに対して、 加法に関する逆元－x すなわち、 「(∀x∈X)((－x)+x=0かつx+(－x)=0 )」を満たす(－x)∈X が存在する。 |
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【 集合Xが実数体Rと呼ばれるための要件A-2 】集合X上の 乗法xyが、次の3要件を満たすこと。 -1. 結合則 「 ( ∀x,y,z∈X ) ((xy)z = x(yz) )」を満たす -2. 可換則 「 ( ∀x,y∈X ) ( xy = yx ) 」を満たす -3. 単位元1 すなわち、「(∀x∈X)(1x=xかつx1=x)」を満たす1∈X が存在する (ただし、1≠0) |
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【 集合Xが実数体Rと呼ばれるための要件 A-3 】集合Xから加法の単位元0を除いた集合X－{0}のすべての元xに対して、 乗法xyに関する逆元 x-1 すなわち、「(∀x∈X) ( x-1x=1かつxx-1=1)」を満たすx-1∈X が存在する。 【 集合Xが実数体Rと呼ばれるための要件A-4 】集合X上の加法x+y, 乗法xyが、 分配法則 distributive law 「 任意のx,y,z∈X にたいして、(x+y)z=xz+yz , z(x+y)=zx+zy 」 を満たすこと。 [→要件A-0～A-4を簡潔に要約] |
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【 集合Xが実数体Rと呼ばれるための要件B-1 】以下の3要件を満たす、X上の順序≦が定義され、 X上の狭義順序x<yも「x≦yかつx≠y」として定義されていること。 -1. 反射律 「任意のx∈Xについて、x≦x」を満たす。 -2. 反対称律 「任意のx,y∈Xについて、 x≠yならば、 x≦yかy≦xのいずれかであって、 両方は同時に成り立たない」 を満たす。 -3. 推移律 「任意のx,y,z∈Xについて、x≦yかつy≦zならばx≦z」 を満たす。 【 集合Xが実数体Rと呼ばれるための要件B-2 】どのようにXから二つの元x,yをとっても、 x≦y か y≦x の両方ないしいずれか一方 （x=yかx<yかy<xのどれか[『理工系の微分積分学』p.3]） が成り立つこと。 [→要件B-1～B-2を簡潔に要約] |
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| E-1：(∀A⊂X)
（ A≠φ かつ （∃ b∈X）(∀a∈A) (a≦b) ⇒ (∃b*∈X) （ (∀ a∈A) (a≦b* ) かつ (∀b∈X )（ (∀a∈A) (a≦b) ⇒ (b*≦b)）））
ないし E-2：(∀A⊂X) ( A≠φ かつ （∃ b∈X）(∀a∈A) (b≦a) ⇒ (∃b*∈X) （ (∀ a∈A) ( b*≦a ) かつ (∀b∈X )（ (∀a∈A) (b≦a) ⇒ (b≦b*)））） [要件Eの詳細→杉浦§1[2]R17(p.7);黒田2.4.1(p.35);赤§2.8(pp.61-62);神谷浦井§2.1-R5(p.59);吹田(p.4)矢野A.2.3実数(p.240);本橋5.3a問題4(p.91;104)] |
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| ※ 要件E「順序完備性」すなわち「ワイヤストラスの公理」と同値な命題は多数ある。 列挙すると、 ・デデキントの公理 [→杉浦『解析入門I』 1章§3問題7(p.32);赤『実 数論講義』§2.8(pp.60-61);] ・有 界単調増加数列の収束定理 [→杉浦『解析入門I』1章§3冒頭(p.17) 注意4(p.27);斎藤『数学 の基礎：集合・数・位相』定義2.5.8 (p.55);赤『実数論講義』§5.4(p.129);] ・Xはコーシー完備かつアルキメデスの公理を満たす。 [→杉浦『解析入門I』 1章§3冒頭(p.17)注意4(p.27);斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』定義 2.5.8 (p.55);赤『実数 論講義』§5.8(pp.153-9);] ・Xはアルキメデスの公理と 区間縮小法の原理を満たす [→杉浦『解析入門I』 1章§3冒頭(p.17)注意4(p.27);赤『実数論講義』§5.5(pp.130-1３４)§5.6(pp.134-142); 斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2 章§5問題５] ・ボルツァノ・ワイヤストラスの定理 [→杉浦『解析入門I』 1章§3冒頭(p.17)注意4(p.27);赤『実数論講義』§5.7(pp.144-153); 斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2 章§5問題4] ・中間値の定理 [→赤『実数論講義』§6.4(pp.179-186); 斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』3 章§3問題7(pp.83-84)] ・最大値の定理 [→赤『実数論講義』§9.3(p.264); 斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』3 章§3問題8(p.84)] ・ロールの定理 [→赤『実数論講義』§9.3(p.264);] ・平均値の定理 [→赤『実数論講義』§9.3(p.264);] ・コーシーの平均値の定理 [→赤『実数論講義』§9.3(p.264);] ・導 関数による関数が狭義単調増加になるための十分条件 [→赤『実数論講義』§9.3(p.264);] ・「アルキメデスの公理＋閉 区間上の連続関数は一様連続」 [→赤『実 数論講義』§10.2(pp.281-2);斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』3章§3問題 9(p.84)] ・ハイネ･ボレルの被覆定理 [→赤『実数論講義』§10.2(特 にp.282);斎藤『数学の基 礎：集合・数・位相』定義2.5.8 (p.55)2章§5問題6] ・「アルキメデスの公理＋閉 区間上の連続関数は可積」 [→赤『実 数論講義』§10.４(p.292);] ・「アルキメデスの公理＋閉 区間上の連続関数は有界」 [→赤『実 数論講義』§10.４(p.293);] 解析学のテキストの多くは、 これらの一つ（普通は初めの5命題の一つ）を「実数の連続性公理」とし、他をそこから導出された「定理」（実数の性質）としている。 この点に関して、詳しくは、下記文献箇所参照のこと。 ・赤『実数論講義』 §2.8公理61デデキントの公理(p.60);公理62ワイヤストラスの公理(p.61): 公理61⇒公理62の証明; §5.4公理63有界単調増加数列の収束定理(pp.129-130):公理62ワイヤストラスの公理⇒公理63有 界単調増加数列の収束定理の証明; §5.5-§5.6(pp.130-4):公理63有 界単調増加数列の収束定理⇒公理64「アルキメデスの公理＋区間縮小法」の証明; §5.6(pp.134-142):公理64⇒公理61デデキントの公理の証明 §5.7(pp.142-153):公理64「アルキメデスの公理＋区間縮小法」⇒公理65「ボルツァノ・ワイヤストラスの定理」の証明 §5.8前半(pp.153-156)：公理65「ボルツァノ・ワイヤストラスの定理」⇒公理66「アルキメデスの公理+カントルの公理(コー シーの収束条件のこと)」の証明 §5.8後半(pp.156-159)：公理66「アルキメデスの公理+カントルの公理(コーシー列の収 束)」⇒公理64「アルキメデスの公理＋ 区間縮小法」の証明 §6.4(pp.179-186):公理64「アルキメデスの公理＋区間縮小法」⇒公理67「中 間値の定理」;公理67「中 間値の定理」⇒公理61デデキントの公理 §9.3特にp.264:公理65ボルツァノ・ワイヤストラス⇒最 大値の定理⇒ロ ルの定理⇒コー シーの平均値の定理⇒平 均値の定理⇒狭 義単調増加関数になるための十分条件⇒公理61デデキント §10.2特にp.282:公理64「アルキメデスの公理＋区間縮小法」⇒ハイネ･ボレルの被覆定理⇒「アルキメデスの公理＋閉 区間上の連続関数は一様連続」⇒公理61デデキントの公理 §10.4特にp.292;293::公理62ワイヤストラスの公理,「アルキメデス＋閉 区間上の連続関数は一様連続」,最 大値の定理 ⇒「アルキメデス＋閉 区間上の連続関数は有界」⇒公理61デデキント ・杉浦『解析入門I』1 章§1[3]R17(p.7):「ワイヤストラスの公理」を「連続 公理」として提示。 1章§3冒頭(p.17)注意4(p.27)で、 ワイヤストラス⇒有 界単調増加数列の収束⇒「アルキメデス＋区間 縮小法」⇒ボルツァノ・ワイヤストラス⇒「アルキメデス＋コー シー収束条件」⇒ワイヤスト ラス を提示。 ・「ワイヤストラスの公理⇒有 界単調増加数列の収束」の証明：定理3.1(p.17) ・「有 界単調増加数列の収束⇒アルキメデスの公理」 の証明：定理3.2(p.19) ・「有 界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明：定理3.3(pp.20-21) ・「『アルキメデスの公理＋区間 縮小法』⇒ボルツァノ・ワイヤストラス」の証明：定理3.4(p.24) ・「ボルツァ ノ・ワイヤストラス⇒コー シー収束条件」の証明：定理3.6(pp.26-27) ・「『アルキメデスの公理＋コー シー収束条件』⇒ワイヤストラスの公理」の証明：1章§3注意4(pp.27-28) ・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』 定理2.5.8 (p.55):順序体に関して、順序完備性(ワイヤストラスの公理を満足)⇔有 界単調増加数列の収束⇔「コー シー完備かつアルキメデス的」 ・「ワイヤストラスの公理⇒有 界単調増加数列の収束」の証明：2.5.9(p.55) ・「有 界単調増加数列の収束⇒ワイ ヤストラスの公理」の証明：2.5.10(pp.55-56) ・「『コー シー完備かつアルキメデス的』⇒ワイヤストラスの公理」の証 明：2.5.11(pp.56-57) ・「ワイヤストラスの公理⇒『コー シー完備かつアルキメデス的』」の証 明：2.5.12(pp.57-58) 定義2.5.13 (p.58):2.5.8の3条件を満たす順序体を実数体と定義。2.5.8の3条 件を「実数の連続性」と呼ぶ 2章§5問題4-6(p.64):「実数の連続性」⇔ボルツァノ・ワイヤストラス⇔「アルキメデス＋区間縮 小法」⇔ハイネ･ボレルの被覆定理 3章§3問題7-9(pp.83-84):「実数の連続性」⇔中 間値の定理⇔最 大値の定理⇔「アルキメデスの公理＋閉 区間上の連続関数は一様連続」 ・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1-R.5(p.59):ワイヤストラスの公理を「連続性 の公理」として提示。;2.1.3(p.64):「連続性の公理」の解説。 注意2.2.1(p.76):「ワイヤストラスの公理」⇔有界単調増加数列の収束⇔ボルツァ ノ・ワイヤストラス ⇔「ア ルキメデスの公理+コー シーの収束条件」⇔「アルキメデスの公理＋区 間縮小法」を提示。 ・「ワイヤストラスの公理⇒有 界単調増加数列の収束」の証明：定理2.2.2(p.71) ・「ワイヤストラスの公理,有 界単調増加数列の収束⇒ボルツァ ノ・ワイヤストラス」の証明：定理2.2.3(pp.72-4) ・「ボルツァノ・ワイヤストラス⇒コー シーの収束条件」の証明：定理2.2.4(pp.74-5) ・「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明：定理2.2.5(pp.75-6) ・加藤『微分積分学原論』1.1(p.8):デデキントの公理のvariantを実数の「連 続公理」として提示。 3.2(p.26):「順序体の公理」のもとで デデキントの公理⇔ワイヤストラスの公理⇔有 界単調増加数列の収束⇔「アルキメデスの公理＋コー シーの収束条件」⇔「アルキメデス＋区間縮小 法」 ・「デデキ ントの公理⇒ワイヤストラス の公理」の証明：定理1.6(p.9) ・「ワイヤストラスの公理⇒有 界単調増加数列の収束」の証明：定理2.10(p.20) ・「有界単調増加数列の収束⇒アルキメデスの公理」の証明：2章問3(p.16);定理3.4直前(p.26) ・「有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法」の証明：定理3.1(pp.24-25) ・「区間縮小法⇔コー シーの収束条件」の証明：定理3.2;3章問2(p.２６) ・「『アルキメデスの 公理＋区間縮小法』⇒デデキントの公理」 の証明：定理3.4(p.27) ・『岩波数学辞典』156B(p.418):要件A-Dを満たす集合について、 デデキントの公理⇔ワイヤストラスの公理⇔『アルキメデスの公理＋区間縮小法』⇔「アルキメデスの公理＋コーシーの収束条件」は互いに同等な条件[証明なし] ・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』2.3.13(pp.57-58):「実数の連続性」と呼ばれる以下の同値命題の列挙。証明なし。 「上限公理supremum axiom」 「下限公理infimum axiom」 「デデキントの公理」 「アルキメデスの公理と区間縮小法nested intervalの原理」 「有界単調数列の収束」 ・黒田『微分積分学』 2.4.1連続性の公理(p.35)：「ワイヤストラスの公理」を「実数 の連続性の公理」として提示; 2.6セミナー室(p.64):「ワイヤストラスの公理」「デデキントの公理」「有 界単調増加数列の収束定理」「アルキメデスの公理＋コー シーの収束条件」は同値であって、 どれを「実数の連続性公理」としてもよいと指摘。証明なし。文献として杉浦『解析入門I』1章§3注意4(p.27) を指示。 ・笠原『微分積分学』1.1[3](pp.4-5): 「デデキントの公理」を「順序完備」として 提示;定理1.3(pp.5-7):「デデキントの公理」⇒「ワイヤ ストラスの公理」 ・高木『解析概論』第１章5(pp.10-11):デデキントの公理⇒ワイヤストラスの公理⇒ 有界単調増加数列の収束⇒区間縮小法⇒デデキントの公理を証明したと主張 （区間縮小法⇒デデキントの公理は、「区間縮小法＋アルキメデスの公理」⇒デデキントの公理の間違い？） ・岡田章『経済学・経営学のための数学』1.1実数(pp.1-4):デデキントの公理で連続性を定義; 定理1.1(p.3):ワイヤストラスの公理;定理1.4有界単調増加数列の収束定理-1.5区間縮小法(pp.9-11) p.10で実数の連続性の同値命題を列挙して、 デデキントの公理⇒ワイヤストラスの公理⇒有界単調増加数列の収束定理⇒区間縮小法⇒デデキントの公理 と説明。（区間縮小法は、区間縮小法＋アルキメデスの公理の間違い？） ※ 四則演算に関する【要件A】、順序に関する【要件B】,四則演算と順序を絡めた【要件C】 【要件D】は、 有理数Qに対しても成り立つが、 連続性に関する【要件E】は、有理数Qでは成り立たない。 QとRの違いは、【要件E】にある。 そして、この公理を設けた意図の1つは、実数のなかに無理数（平方根、円周率、e、…）が存在することを主張することにある。 （→神谷・浦井『経済学のための数学入門』p.60.) |
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→[要件A～Eを簡潔に要約] →[実数(体)の定義冒頭] |
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| ※実数体は、順序集合の特殊例（実数体の定義を見よ）であるから、 順序集合(X,≦)上で定義された諸概念は、実数体という順序集合(R,≦)でも使える。 |
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| ・「m=maxA」とは、m∈Aが、(∀a∈A) (a≦m) を満たすこと。 →詳細 ・「m=minA」とは、 m∈Aが、(∀a∈A ) (m≦a) を満たすこと。 →詳細 |
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| ・「実数bが集合Aの上界」とは、bが、(∀a∈A) ( a≦b ) を満たすこと。 →詳細 ・「集合Aが上に有界」とは、 （∃b∈R）(∀a∈A) ( a≦b ) →詳細 |
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| ・「実数bが集合Aの下界」とは、bが、(∀a∈A) ( b≦a ) を満たすことをいう。 →詳細 ・「集合Aが下に有界」とは、 （∃b∈R）(∀a∈A) ( b≦a ) →詳細 |
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| ・「集合Aが 有界」とは、 （∃b, b'∈R）(∀a∈A ) ( b≦a≦b' ) →詳細 |
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| ・「b*=l.u.b. A」「 b*=sup A」とは、集合Aの上界をすべてあつめた集合の最小元のこと。 →詳細 |
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| ・「b*=g.l.b. A」「b*=inf A」とは、 集合Aの下界をすべてあつめた集合の最大元のこと。 →詳細 |
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・実数と自然数について、次の同値な命題が成り立つ。 【 命題P 】いかなる正の実数a,bに対しても、 ある自然数nが少なくとも一つ存在して、 「na>b」を満たす。 論理記号で表すと、 ∀a,b∈R ∃n∈N (a,b>０ ⇒ na>b ) →詳細
【 命題Q 】
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・任意の実数aにたいして、 n≦a＜n+1 を満たす整数nが唯一つ存在する。 |
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・任意の実数a,b (a<b) にたいして、 a＜x＜b を満たす有理数xが存在する。 |
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・A,BがRの空でない部分集合でA⊂Bとする。 Bが上に有界ならば、Aも上に有界であり、 supA≦supB また、Bが下に有界ならば、Aも下に有界であり、 inf A≧infB ・A,BがRの空でない部分集合であるとする。 A+B = { a+b | a∈A, b∈B } AB = { ab | a∈A, b∈B } とおく。 (1)Aが上に有界かつBも上に有界であるならば、 sup(A+B)=supA+supB (2)Aが下に有界かつBも下に有界であるならば、 inf(A+B)=infA+infB (3)A⊂[0, +∞]かつB⊂[0, +∞]ならば、 sup(AB)=supA supB inf(AB)=infA infB |
※そのうち、別ページに、Rにおけるsup,infの性質をまとめる。 |
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・・任意の実数a,b (a<b) にたいして、 a＜c＜b を満たす実数cが存在する。 ( ∀a,b∈R ) (∃c∈R ) (a<c<b ) ・「a≧0が、任意の(どんな)正数ε>0に対し(てでも)、ε>aを満たす」 ならば、 a=0。 ※なぜ？ Rの稠密性をつかう。 ※利用例:リーマンスチルチェス可積分条件の証明(命題2⇒命題4)、 |
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