1変数m値ベクトル値関数とその属性：トピック一覧　　

　・定義：ベクトル値関数　
　・定義：ベクトル値関数の定義域/像･値/値域/逆像･原像/有界なベクトル値関数　

　※関数定義関連ページ：2変数関数/ n変数関数/実数値関数一般/ n変数m値ベクトル値関数/写像一般　
　※1変数ベクトル値関数に関する諸概念の定義：極限/連続性/微分　　
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定義：1変数m値ベクトル値関数　

定義

1変数m値ベクトル値関数とは、
「実数tに対して、m個の実数の組(y₁,y₂,…,y_m)を対応づける規則」
「実数体Rの区間I（定義域）に属す各点にたいして、 m次元空間R^mに属す点を対応づける規則」
「実数体Rの区間Iから、 m次元空間R^mへの、写像」
のこと。
　　(y₁,y₂,…,y_m)=f (t)　、 f : I→R^m　、f :R⊃I→R^m　　
などと表す。　　

[文献]
杉浦『解析入門I』�U微分法§1(p.82);

ベクトル
表現

m個の実数の組(y₁,y₂,…,y_m)とは、実m次元数ベクトルのこと、
にほかならないから、
1変数m値ベクトル値関数とは、
「実数tにたいして、実m次元数ベクトルy=(y₁,y₂,…,y_m)を対応づける規則」
「実数体Rの区間Iの各元に対して、実m次元数ベクトル空間R^mの元を対応づける規則」
「実数体Rの区間Iから、実m次元数ベクトル空間R^mへの、写像」
などといっても同じ。
　　y=f (t)　、f: I→R^m　、f :R⊃I →R^m　　などと表す。

多変数
1価関数
への
還元

1変数m値ベクトル値関数(y₁,y₂,…,y_m)=f (t)　は、　　　
m個の 1変数実数値関数に還元できる。
つまり、　　　
(y₁,y₂,…,y_m)=f (t)　とは、
　y₁=f₁ (t)　
　y₂=f₂ (t)　
　：　：　
　y_m=f_m (t)　
という 1変数実数値関数f₁ ,f₂ ,…,f_m の組に他ならない。
ここから、ベクトル値関数･多価関数 (y₁,y₂,…,y_m)=f (t)、y=f (t)　を、
(f₁ (t),f₂ (t),…,f_m (t))=f (t)　
などと表すこともある。

類概念

1変数関数/ 2変数関数/ n変数関数/ n変数m値ベクトル値関数/実数値関数一般/写像一般　

定義：1変数ベクトル値関数の定義域domain　

1変数ベクトル値関数「f :R⊃I→R^m」の定義域とは、
区間Iのこと。

[文献]

[類概念]1変数関数の定義域/ 2変数関数の定義域/ n変数関数の定義域

/ n変数m値ベクトル値関数の定義域/実数関数一般の定義域

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定義：ベクトル値関数の像・値　

点の像

「1変数ベクトル値関数f による『t∈R』の像」
「実数tにおけるf の値」
　　 f (t)
とは、
1変数ベクトル値関数f によって
t∈Rに対応付けられた
点P=(y₁,y₂,…,y_m)∈R^m
のこと。

[類概念]
1変数関数の像･値/ 2変数関数の像･値/ n変数関数の像･値/実数値関数一般の像･値/写像の「像」
[文献]

集合の
像

「1変数ベクトル値関数fによる『定義域の部分集合A』の像」f (A)とは、
『定義域の部分集合A』に属す点のfによる像を、全部集めて出来る集合のこと。
　つまり、f :R⊃I→R^m　、A⊂I⊂Rにたいして、　f (A)={ f (a)∈R^m | a∈A }　と定義される。

定義：ベクトル値関数の値域range　

1変数ベクトル値関数「f :R⊃I→R^m」の値域とは、
f による定義域の像
　　 f (I)={ f (a)∈R^m | a∈I⊂R }
のこと。

[文献]

[類概念] 1変数関数の値域/ 2変数関数の値域/ n変数関数の値域/実数値関数一般の値域　

定義：ベクトル値関数の逆像・原像inverse image　

点の
逆像

「実数tが、
　　1変数ベクトル値関数f『f :R⊃I→R^m』による
　　　　　　点P=(y₁,y₂,…,y_m)∈R^mの逆像である」
　　t =f ⁻¹ (P')
とは、
実数tのf による像が、点P'=(y₁,y₂,…,y_m)∈R^mであるということ
　　　　f (t)=P'
をいう。
※点P'=(y₁,y₂,…,y_m)∈R^mのf による逆像は、R上に複数存在しうる。

[類概念]
　1変数関数の逆像
　 2変数関数の逆像
　 n変数関数の逆像
　実数値関数一般の逆像
　 写像の「逆像」
[文献]

集合
の
逆像

「1変数ベクトル値関数『f :R⊃I→R^m』による『R^m上の点集合B』の逆像」
　　f ⁻¹ (B)　
とは、
定義域Iに属す点のうち、その像が『R^m上の点集合B』に属すもの全体の集合のこと。
つまり、f :R⊃I→R^m　、B⊂R^mにたいして、　　
　　　　　　f ^-1 (B)＝{ a∈I⊂R | f (a)∈B⊂R^m}　
と定義される。

定義：ベクトル値関数が有界　

有界

「1変数ベクトル値関数『f :R⊃I →R^m』が有界である」とは、
　f の値域がR^m上の点集合として有界であるということ、

[文献]
Rudin
『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。
杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55);

点集合
で
有界

「1変数ベクトル値関数『f :R⊃I →R^m』が点集合Aで有界である」とは、
　「f による『定義域Iの部分集合A』の像」f (A)がR^m上の点集合として有界であるということ。