べき関数(累乗関数)の性質〜指数を整数に限定して　：トピック一覧　　

・グラフ/増減/値域/有界性/最大最小/  単射/全射/全単射/逆関数　
・正負の分数を指数とする累乗の定義/整数乗の自然数乗根の意味/「正負の分数を指数とする累乗」「整数乗の自然数乗根」の性質　
・極限/連続/極大極小　　
※1変数関数の具体例：y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  → 自然数指数の冪関数/有理数指数のべき関数/実数指数のべき関数
　　　　　　　　　　 定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　
　　　　　　　　　　　指数関数/対数関数　
　　　　　　　　　　　絶対値関数/三角関数　/ガンマ関数
※1変数関数に関する諸概念の定義：1変数関数一般の定義/極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分
※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般
※総目次

定義：べき関数（累乗関数）　〜指数を整数に限定して


・指数を整数とする「べき関数」「累乗関数」とは、
　整数の定数zに対して、
　「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」
　　　　　R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された1変数関数
　 　　　f (x)=xz 
　　のことをいう。

・なお、
　　　・指数zが自然数のとき、f (x)=xz  は、
　　　　自然数を指数とする「べき関数」と同一、
　　　・指数z＝０のとき、f (x)=xz =x0 ＝1
　　　・指数z＝−1のとき、f (x)=xz=x-1＝1/x
　　　・指数z＝−2のとき、f (x)=xz=x-2＝1/x2
　　　・指数z＝−3のとき、f (x)=xz=x-3＝1/x3
　　　：
　　　：
　　　・指数z=−b(bは自然数)のとき、f (x)=xa =x-b ＝1/(xb )
　　である。

・R＝(−∞,∞）で定義された対応f (x)=xz （zは整数）は、
　一般に、関数の定義を満たさない。
　なぜなら、zが負の整数であるとき、
　x＝0∈Rにおいて、 f(0)＝1/0＝φとなる（∵実数体の定義）から。
　０を避けて、
　　指数を整数とする「べき関数」「累乗関数」の定義域
　を設定する理由は、これ。
　　
※指数が整数ではない「べき関数」「累乗関数」もつくれるが、
　性質もかわってくる。
　→指数が有理数となる「べき関数」「累乗関数」
　→指数が実数となる「べき関数」「累乗関数」
※指数を、整数のなかでも、特に「正の整数」に限定した
　「べき関数」「累乗関数」の性質は以下参照。
　→指数が自然数となる「べき関数」「累乗関数」


[関連事項]

　整数指数の指数法則
　　　　

[文献]

　　・和達三樹『微分積分』(pp.20-21)。くわしくない。
 

[図解]
y=x のグラフ

(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された整数指数のべき関数

べき関数のグラフ（指数を整数に限定）

→[トピック一覧:べき関数]
→総目次

整数指数の冪関数（累乗関数）の増減

　性質

 ・「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」
　　　　R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された整数指数の「べき関数」「累乗関数」
　 　　　y=f (x)=xa 
　は、
　・aが正の奇数ならば、(−∞,０)∪(０, ＋∞)で狭義単調増加関数　
　・aが正の偶数ならば、
　　　　　(−∞,０)∪(０, ＋∞)で単調関数にならないが、
　　　　　開区間(−∞,０)で狭義単調減少関数、
　　　　　開区間(０, ＋∞)で狭義単調増加関数となる。
 　・aが負の奇数ならば、
　　　　　定義域全 体(−∞,０)∪(０, ＋∞)では単調減少ではないが、
　　　　　開区間(−∞,０)で狭義単調減少、
　　　　　開区間(０, ＋∞)でも、狭義単調減少 　
　・aが負の偶数ならば、
　　　　　定義域全 体(−∞,０)∪(０, ＋∞)で単調関数にならないが、
　　　　　開区間(−∞,０)で狭義単調増加関数、
　　　　　開区間(０, ＋∞)で狭義単調減少関数となる。

[文献]?



[関連事項]

・整数指数の「べき関数」「累乗関数」の増減の具体例：
　　→指数を自然数に限定した「べき関数」「累乗関数」の増減　
・整数指数の「べき関数」「累乗関数」の増減の一般化：
　　→指数を有理数に拡張した「べき関数」「累乗関数」の増減
　　→指数を実数に拡張した「べき関数」「累乗関数」の増減　　

図解


y=x のグラフ

(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された整数指数のべ き関数

べき関数のグラフ（指数を整数に限定）

→[トピック一覧:べき関数]
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整数指数の冪関数（累乗関数）の値域

　性質

 ・「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された整数指数の「べき関数」「累乗関数」　
　　　　　　y=f (x)=xa （aは整数）
　　の値域は、
　　　　・aが奇数ならば、R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)　 　
　　　　・aが偶数ならば、(０, ＋∞)
　　　　・a＝０ならば、{1}　

[文献] ?

　

図解


y=x のグラフ

(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された整数指数のべ き関数

べき関数のグラフ（指数を整数に限定）

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整数指数の冪関数（累乗関数）の最大値・最小値
　 ・「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された整数指数の「べき関数」「累乗関数」　
　　　　　　y=f (x)=xa （aは整数）
　　は、　最大値・最小値ともに持たない。　　

[文献]

・

整数指数の冪関数（累乗関数）は非有界
　 ・「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された整数指数の「べき関数」「累乗関数」　
　　　　　　y=f (x)=xa （aは整数）
　　は、有界でない。
・細かく見ると、
 　・aが奇数ならば、下に有界でなく、上にも有界でない。　　 　
　・aが偶数ならば、下に有界だが、上に有界ではないので、有界でない。




y=x のグラフ

(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された整数指数のべ き関数

べき関数のグラフ（指数を整数に限定）

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整数指数の冪関数（累乗関数）と全単射

[単射の検討]

・「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」
　　　　R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された整数指数の「べき関数」　y=f (x)=xa（aは整数）は、
　　　aが奇数ならば 単射。
　　　aが偶数ならば 単射にならない(f (x)=bを満たすxが複数個あるから)。

・(０,＋∞)で定義された整数指数の「べき関数」y=f (x)=xa（aは整数）は、
　　a≠0ならば、aが奇数でも偶数でも、 単射になる((０,＋∞)で狭義単調だから)。
　　a＝0ならば、単射にならない(f (x)=bを満たすxが複数個あるから)。

・(−∞,０)で定義された整数指数の「べき関数」 y=f (x)=xa  （aは整数）は、
　　　a≠0ならば、aが奇数でも偶数でも、 単射になる((−∞,０)で狭義単調だから)。
　　a＝0ならば、単射にならない(f (x)=bを満たすxが複数個あるから)。

[文献]

　・笠原皓司『微分積分学』1.4例1(p.23):一次関数について。
　・『解析演習ハンドブック1変数関数編』ex1.1.12-(i)(p.11):一次関数について。

[図解:正負の奇数ベキのベキ関数はR−{0}の上への全単射]
y=x のグラフ

(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された整数指数のべ き関数

べき関数のグラフ（指数を整数に限定）

[全射の検討]

・「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された「べき関数」y=f (x)=xa  （aは整数）は、
　aが奇数ならば、Rの上への全射ではないが、
　　　　　　　　　(−∞,０)∪(０, ＋∞)の上への全射ではある。　
　　　　　　　　　（値域が(−∞,０)∪(０, ＋∞)だから）。
 　aが偶数ならば、Rの上への全射ではないが、
　　　　　　　　　　(０, ＋∞)の上への全射ではある。
 　a＝0ならば、{1}の上への全射としか言えない。
　

・(０,＋∞)で定義された「べき関数」y=f (x)=xa（aは整数）は、
　　a≠0ならば、aが奇数であれ偶数であれ、
　　　　　　　　Rの上への全射ではないが、
　　　　　　　　(０,＋∞)の上への全射ではある。
　

・(−∞,０)で定義された整数指数の「べき関数」 y=f (x)=xa  （aは整数）は、
 　　　aが奇数ならば、Rの上への全射ではないが、(−∞,０)の上への全射　　
　　　aが偶数ならば、Rの上への全射ではないが、(０,＋∞)の上への全射。
 　　　a＝0ならば、{1}の上への全射としか言えない。
[全単射の検討]

・「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された「べき関数」y=f (x)=xa  （aは整数）は、
　　　aが奇数ならば、(−∞,０)∪(０, ＋∞)の上への全単射。
　　　aが偶数ならば、全単射でない（単射にならない）。

・(０,＋∞)で定義された「べき関数」y=f (x)=xa（aは整数）は、
　a≠0ならば、aが奇数でも偶数でも、(０, ＋∞)の上への全単射。
　　　　　　　　　　　　　　　　　（Rの上への全単射ではない）


・(−∞,０)で定義された整数指数の「べき関数」 y=f (x)=xa  （aは整数）は、
 　　　aが奇数ならば、(−∞,０)の上への全単射。（Rの上への全単射ではない）
　　　aが偶数ならば、(０,＋∞)の上への全単射。（Rの上への全単射ではない）
　　　a＝0ならば、全単射にならない。（単射にならないから)。

[図解:正負の偶数ベキのベキ関数　―　R−{0}で定義すると全単射にならないが、(０,＋∞)で定義すると(０, ＋∞)の上への全単射]



y=x のグラフ

(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義された整数指数のべ き関数

べき関数のグラフ（指数を整数に限定）

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整数指数の冪関数（累乗関数）の逆関数

性質

 ・「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された「べき関数」y=f (x)=xa  （aは整数）は、
　　・aが奇数ならば、存在する。
　　・aが偶数ならば、存在しない。
　※なぜ？
　　　　aが奇数ならば、単射となって、逆関数の存在が保証される（∵）。
・(０,＋∞)で定義された「べき関数」y=f (x)=xa（aは整数）の逆関数は、
　a≠0ならば、aが奇数でも偶数でも、存在する。
　※なぜ？
　　 (０,＋∞)で狭義単調だから、単射になって逆関数の存在が保証される（∵）。

[文献：自然数を指数とするべき関数に関して]

　・小平『解析入門I』§2.3-a) (p.89);「巾関数」
　・ 松坂『解析入門1』3.2E-例(p.113)：n乗根関数（n乗根の定義）も。
　・赤攝也『実数論講義』§6.5定義6.5.3(p.197):。
　・黒田『微分積分学』3.3.4-例3.18(p.107);
　・『基礎解析』p.40.
　・『岩波数学入門辞典』べき根(p.546)



※1変数関数の「逆関数（の存在）」定義
※1変数関数の具体例の「逆関数（の存在）」について：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

定義


→[トピック一覧:べき関数]
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正負の分数を指数とする累乗の定義、「『冪関数による像』の冪関数による逆像」としての「整数乗の自然数乗根」

定義

 ・正の実数a,整数z,自然数nに対して、
　　「aの(z/n)乗」az/n　とは、「『aのz乗』のn乗根」のことを指す。
　　すなわち、
　　　　az/n=  az
　＝　(az)1/n　

・上記の定義を具体的に展開すると、以下のようになる。

　正の実数a,自然数m,自然数nに対して、

　　　　　am/n=  am
　＝　(am)1/n　[→正の分数を指数とする累乗の定義]

　　　　　a0/n=  a0
　＝　(a0)1/n ＝ 11/n　＝1 (∵)　　

　　　　　a-m/n＝  a-m
＝ 1/am　
 　　

　　　　　　　 　＝(a-m)1/n　＝　(1/am)1/n　　

・az/nの性質：約分に対して不変 /az/n＝(az)1/n＝(a1/n)z 　

[文献]

　・赤攝也『実数論講義』§7.1定理7.1.1-2;補題(pp.204-5):証明つき。
　・吉田栗田戸田『昭和63年3/31文部省検定済　高等学校基礎解析』啓林館、2章1指数の拡張(p.42);.
　・小平『解析入門I』§2.3-a) (p.89):有理数指数での表現。
　・ 松坂『解析入門1』3.2E(p.113)。

　
※正の分数を指数とする累乗の定義　
※有理数指数の指数法則　

解説

 ・そもそも、「az/n」(a:正の実数,z:整数,n:自然数)が表す
　　「『aのz乗』のn乗根」 az 
　とは、どういった事態を指しているのだろうか？

・整数zが自然数（つまり正の整数）であるケースについては、
　正の分数を指数とする累乗の定義を参照。

・以下では、
　整数zが負の整数であるケースについて、
　　　つまり、　a-m/n＝  a-m
　(a:正の実数、m,n:自然数)　について、　
　これが、いかなる事態を指しているのか、
　n乗根の定義まで遡って、捉えかえしてみる・・・

[step0:設定]

「『aの-m乗』のn乗根」 a-m 
　は、　　　
　二つの1変数関数
　　　・[0,∞)で定義された冪関数y=f(x)=x-m (mは自然数)のグラフ
　　　・[0,∞)で定義された冪関数y=g(x)=xn (nは自然数)のグラフ 
　を設置した下記平面のなかで、考えることができる。

　　　 ｎ乗の-m乗根の意味step0

[step1:設定]
　　　
「『aの-m乗』のn乗根」 a-m  　における「正の実数a」とは、　　　
　この平面上、下記の「x軸上の点」で表される実数としよう。
　（下図では、aの例を1<aの範囲にとっているが、0<a<1にとっても理屈は同じ。）　

n乗のm乗根の意味step1　

[step2: amが指すこと]

　すると「『aの-m乗』のn乗根」 a-m  　における  a-m＝1/am は、
　 冪関数f によるaの像 f(a)であるから、
　下図のように、y軸上にプロットできる。

m乗のn乗根の意味step2

[step3: amのn乗根が指すこと]


・「実数yのn乗根」 y 
　(nは自然数)　とは、　　　
　　　　　正の実数yの『[0,∞)で定義された累乗関数y=g (x)=xn 』による逆像に唯一つ属す『正の実数』
　を指す記号だった。

・すると「『aの-m乗』のn乗根」 a-m  　(n,mは自然数)　とは、　　　
　　　　　正の実数 a-m＝1/am の『[0,∞)で定義された累乗関数y=g (x)=xn 』による逆像に唯一つ属す『正の実数』
　を指す記号だ、ということになる。

・ところが、step2で見たように、
　　 a-m＝1/am は、冪関数f によるaの像 f(a)として、平面上にその位置を与えられたのだった。

・このことも加味すると、
　「『aの-m乗』のn乗根」 a-m  　(n,mは自然数)　とは、　　　
　　　『[0,∞)で定義された冪関数y=f(x)=x-m によるaの像』の『[0,∞)で定義された冪関数y=g (x)=xn 』による逆像
　　　　　　g-1( f(a) ) 
　　　　に唯一属す『正の実数』に他ならない。

・したがって、
　「『aの-m乗』のn乗根」 a-m  　(n,mは自然数)　は、　　　
　　下図のように、g-1( f(a) ) に唯一属す『正の実数』として、x軸上にプロットできる。

・これが、「a-m/n」が表す「『aの-m乗』のn乗根」 a-m 
　の正確な事態である。　
　

m乗のn乗根の意味step3

→[トピック一覧:べき関数]
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「整数乗の自然数乗根」「正負の分数を指数とする累乗」の性質
　 累乗根の以下の性質は、有理数指数の累乗、有理数指数の指数法則を基礎付ける。

1.

 ・任意の正の実数a,任意の自然数n,任意の整数z,任意の自然数tに対して、
　　　　  az
　＝　
nt  azt

・分数を指数とする累乗を用いて言い直すと、
　　任意の正の実数a,任意の自然数n,任意の整数z,任意の自然数tに対して、
　　　　　　az/n = a (zt)/(nt) 　
・つまり、
　　分数を指数とする累乗は、
　　指数として使われている分数の約分に関して不変。

※なぜ？→証明　

[文献]

　・赤攝也『実数論講義』§7.1定理7.1.1(pp.204-5):証明つき。

2.

 ・任意の正の実数a,任意の自然数n,n'、任意の整数z,z' に 対して、
　　　z/n＝z'/n' ならば、　 az
　＝　
 n' az' 

・分数を指数とする累乗を用いて言い直すと、
　　任意の正の実数a、任意の自然数n,n'、任意の整数z,z' に 対して、
　　　　z/n＝z'/n' ならば、 　az/n = az'/n' 　
・つまり、
　　有理数指数の累乗は、
　　有理数の分数としての表し方によらず、一意。
※なぜ？　
　・1.より、任意の正の実数a,任意の自然数n,n'、任意の整数z,z' に 対して、
　　　　　　　 az
 　＝　
 nn' azn'

　　　　　　　 n'
 az'
　＝　
 n'n az'n 

　・任意の自然数n,n'、任意の整数z,z'に 対して、z/n＝z'/n' ならば、zn'=z'n.　
　・上記2点より、
　　任意の正の実数a、任意の自然数n,n'、任意の整数z,z' に 対して、　　　
　　　z/n＝z'/n' ならば、　 az
 ＝
nn' azn'
 ＝
n'n
az'n
 ＝
n' az' 

→[n乗のm乗根の性質冒頭へ戻る]　

[文献]

　・赤攝也『実数論講義』§7.1定理7.1.2:1より証明。
　・吉田栗田戸田『昭和63年3/31文部省検定済　高等学校基礎解析』啓林館、2章1指数の拡張(p.42):一例で説明。6.を使う
　・小平『解析入門I』§2.3-a) (p.89):有理数指数での表現。指数法則を利用

3.

 ・任意の正の実数a、任意の自然数n、任意の整数zに対して、
　　　
 az
＝ (
 a )
 z
・分数を指数とする累乗を用いて言い直すと、
　任意の正の実数a、任意の自然数n、任意の整数zに対して、
　　　az/n ＝ (az)1/n ＝ (a1/n)z
・つまり、
　任意の正の実数a、任意の自然数n、任意の整数zに対して、
　　　分数を指数とする累乗az/n は、  az のみならず (
 a )
 z も表している。

※なぜ？→証明　

→[n乗のm乗根の性質冒頭へ戻る]　

[文献]

　・赤攝也『実数論講義』§7.1補題(iv)(p.205):証明つき。
　・吉田栗田戸田『昭和63年3/31文部省検定済　高等学校基礎解析』啓林館、2章1指数の拡張(p.41):証明なし。いきなり「累乗根について次のことが成り立つ」

→[n乗のm乗根の性質冒頭へ戻る]　

性質1の証明

証明したい命題の確認
・任意の正の実数a,任意の自然数n,任意の整数z,任意の自然数tに対して、
　　　　  az
　＝　
nt  azt

　分数を指数とする累乗を用いて言い直すと、
　　任意の正の実数a,任意の自然数n,任意の整数z,任意の自然数tに対して、
　　　　　　az/n = a (zt)/(nt) 　

・上記の命題を具体的に展開すると、以下のようになる。
　任意の正の実数a,任意の自然数m,n,任意の自然数tに対して、
　　　　　(i)　  am
 		　＝　
nt  amt
　　　　　　　　　すなわち、　am/n = a (mt)/(nt)

　　　　　(ii)　  a0
　＝　
nt  a0t  
　　　　　　　　　すなわち、　a0/n = a (0t)/(nt) 　

　　　　　(iii)　  a-m
　＝　
nt  a-mt  
　　　　　　　　　すなわち、　a-m/n = a (-mt)/(nt) 　

　このうち、

　　(i)は、正の分数を指数とする累乗の性質1で証明されている。
　　(ii)は、両辺ともに1であるから(∵ a0=1、1の累乗根=1)、成立する。

　そこで、以下では、(iii)について、説明する。

step0 : 設定の把握

　左辺　 a-m　
　(a:正の実数,m,n:自然数)　は、　
　a, a-m に対して、
　下図のように、関係づけられた(→「『aの-m乗』のn乗根」の説明)。

[文献]

　・赤攝也『実数論講義』§7.1定理7.1.1:証明つき(p.204)。

m乗のn乗根の意味step3




step1:

　ここで、  a-m  (a:正の実数,m,n:自然数)　を、bで表すことにする。　

　つまり、b =   a-m
　(a:正の実数,m,n:自然数)…(1)



ｍ乗のn乗根の公式1

step2:
　すると、n乗根の定義より、
　(1)のもとで、a-m=bn　(a:正の実数,m,n:自然数) が成立する…(2)

「m乗のn乗根」公式1

step3:
　・a-m=bn　ならば、任意の自然数tに対して、　a-mt=bnt　。（∵指数法則2'）
　・したがって、step2より、
　　(1)のもとで、a-mt=bnt　(a:正の実数,m,n,t:自然数) が成立することになる。…(3)




step4:
　・累乗根の定義により、
　　　　a-mt=bnt　ならば、  　b　＝　
nt  a-mt

　・したがって、step3より、
　　　　 (1)のもとで、  　b　＝　
nt  a-mt 　　が成立することになる。…(4)







step5:
　
　(4)より、b =   a-m
のもとで、b＝ nt　
 a-mt が成立するというのだから、
　
　b =   a-m
　のもとで、
　
　　　　b =   a-m
= nt　
 a-mt

　である。
　つまり、正の実数a,自然数m,n,tに対して、
　　　　  a-m　＝　
nt  a-mt




→[n乗のm乗根の性質冒頭へ戻る]　

性質3の証明

※なぜ？
・任意の正の実数a、任意の自然数n、任意の整数zに対して、
　　　
 az ＝ (
 a )
 z
　分数を指数とする累乗を用いて言い直すと、
　任意の正の実数a、任意の自然数n、任意の整数zに対して、
　　　az/n ＝ (az)1/n ＝ (a1/n)z

・整数zの範囲で場合分けすると、
　上記の命題は、以下の三命題に展開される。

　(i) zが正の整数である場合

　　　　任意の正の実数a,任意の自然数m,nに対して、

　　　　　　　
 am ＝ (
 a )
 m

　　　　すなわち、am/n ＝ (am)1/n ＝ (a1/n)m

　(ii) zが0である場合

　　　　任意の正の実数a,任意の自然数nに対して、
　　　　　　　　
　　　　　　
 a0 ＝ (
 a )
 0

　　　　すなわち、　a0/n ＝ (a0)1/n ＝ (a1/n)0
　　　　
　(iii) zが負の整数である場合

　　　　任意の正の実数a,任意の自然数m,nに対して、

　　　　　　　
 a-m ＝ (
 a )
 -m
　
　　　　すなわち、a-m/n ＝ (a-m)1/n ＝ (a1/n)-m

　このうち、
　　(i)は、正の分数を指数とする累乗の性質3の証明を参照。
　　(ii)は、両辺ともに1であるから(∵a0=1,1の累乗根=1)、成立する。

　そこで、以下では、(iii)について、説明する。








[step0:累乗関数と累乗根の性質の確認]

　・任意の自然数n に対して、
　　『[0,∞)で定義された累乗関数y=f(x)=xn 』は、
　　　　　　　単射であって、[0,∞)を値域とする。…(0-1)
　・任意の正の実数y,任意の自然数n に対して、
　　yは「『[0,∞)で定義されたy=f(x)=xn』の値域」[0,∞)に属しているから、
　　(0-1)より、
　　yの『[0,∞)で定義されたy=f(x)=xn』による逆像 f-1(y)＝{x∈[0,∞)|y＝f (x)}は、
　　　　(0,∞)上に存在する1個の実数　
y
だけからなる。

　　つまり、
　　任意の正の実数y,任意の自然数n に対して、
　　　　　　　　　　 y   　∈(0,∞)であって、

　　　　　　　　　　　f−1(y)  ＝　  {
y   } 　…(0-2)　

　・このことは、
　　　(0,∞)上に存在する1個の実数　
y
のほかに、
　　　　　　　　　　　　　f−1(y) に属す実数が、存在しない
　　　ことを意味している。　　　　　　　　　　　　　　…(0-3)　




[step1:累乗関数と累乗根の性質からamの累乗根について言えること]

　・任意の正の実数a,任意の自然数mに対して、
　　　　　a-m＝1/am＝1/(aa…a) >0　…(1-1)
　　　　　∵ a＞0であって、a-m＝1/am＝1/(aa…a) だから、
　　　　　　　実数 の積の正負の性質,逆数の正負より。
　・(0-2)と(1-1)より、
　　　任意の正の実数a、任意の自然数nに対して、
　　　　　「a-mの『[0,∞)で定義されたy=f(x)=xn』による逆像」
　　　　　f−1( a-m )＝{x∈[0,∞)| a-m=f(x)}
　　　　は、
　　　　(0,∞)上に存在する1個の実数　
a-m  だけからなる。

　　　　　つまり、　 a-m　 　∈　(0,∞)　であって、

　　　　　　　　　f−1(　a-m　)  ＝　  {
a-m　  } 　　…(1-2)　　

　・このことは、
　　　(0,∞)上に存在する1個の実数　
a-m　
 のほかに、
　　　　　　　　　　　　　f−1(　a-m　) に属す実数が、存在しない
　　　ことを意味している。　　　　　　　　　　　　　　…(1-3)　

[step2:指数法則から言えること]


　・任意の正の実数a,任意の自然数m,nに対して、

　　　　　  ((
 a  )
 -m ) n
   

　　　　　　＝ (
n a )
 -mn
  
 ∵指数法則2

　　　　　　＝ ((
n a )
 n ) -m
  		∵指数法則2 　
　　　　 　　＝a-m　　　　　　　　∵累乗根の性質0

　・要するに、  ((
 a  )
 -m ) n
  ＝a-m …(2-1)

　・このことは、
　　任意の正の実数a,任意の自然数m,nに対して、
　  (
 a  )
 -m  の『[0,∞)で定義されたy=f(x)=xn』による像がa-mであること 

　　　　　　　　　　　　　　　  f(
 (
 a  )
 -m )  ＝a-m　　　　　…(2-2) 
　　を意味する。

[step3]

　・一般に、
　　任意の正の実数b,任意の自然数mに対して、b-m＞0。　…(3-0)　
　　　　∵　b-m＝1/bm＝1/(bb…b) だから、実数 の積の正負の性質,逆数の正負より。

　・任意の正の実数a、任意の自然数n に対して　

　　　　　　　(0-2)より、  a  　＞0
 　　…(3-1)　

　・(3-0),(3-1)より、
　　任意の正の実数a,任意の自然数m,nに対して、  (
 a  )
 -m  ＞0　…(3-2)

　・このことは、
　　任意の正の実数a,任意の自然数m,nに対して、  (
 a  )
 -m  が(0,∞)に存在する…(3-3)
　　ということを意味する。



[step4:結論]

　・任意の正の実数a、任意の自然数m,nに対して、 (
 a  )
 -m  は、(0,∞)に存在して、[∵(3-2),(3-3)]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「a-mの『[0,∞)で定義されたy=f(x)=xn』による逆像」f−1(a-m) に属す[∵(2-2)]

　・つまり、任意の正の実数a、任意の自然数m,nに対して、
　　　　　　　　　　　 (
 a  )
 -m  ∈  (0,∞)であって、

　　　　　　　　　　　 (
 a  )
 -m  ∈  f−1(a-m)　　　　　…(3)
 
　・ところが、(1-2)(1-3)で明らかにされたように、　
　　　　任意の正の実数a、任意の自然数m,nに対して、 f−1(a-m) ＝  {
a-m   }

　　つまり、任意の正の実数a、任意の自然数m,nに対して、
　　「a-mの『[0,∞)で定義されたy=f(x)=xn』による逆像」f−1(a-m) に属すのは、
　　　(0,∞)上に存在する1個の実数　
a-m  だけであって、

　　　(0,∞)上に存在する1個の実数　
a-m  のほかには、
　　　「a-mの『[0,∞)で定義されたy=f (x)=xn』による逆像」f−1(a-m) に属す実数
　は存在しない。

・したがって、　(1-2)(1-3)で明らかになったこの事実と、(3)から、
　　　任意の正の実数a、任意の自然数m,n に対して、　 a-m ＝ (
 a )
 -m
　となることがわかる。

→[n乗のm乗根の性質冒頭]　

→[トピック一覧:べき関数]
→総目次


整数指数の冪関数（累乗関数）の極限
　 ・「R＝(−∞,∞）から0を除いた範囲」R−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)
　　で定義された「べき関数」y=f (x)=xa  （aは整数）は、

→[トピック一覧:べき関数]
→総目次

整数指数の冪関数（累乗関数）の連続性
　


→[トピック一覧:べき関数]
→総目次


（reference）

高木貞治『解析概論改訂第3版』岩波書店、1983年、pp.105-108;
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.20-21。
青本和彦『岩波講座現代数学への入門：微分と積分1』岩波書店、1995年、p.84:高階導関数、p.93:凸性、p.110:原始関数。
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、pp.171-173。
住友洸『大学一年生の微積分学』現代数学社、1987年、p.122.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.115-6.