n変数関数の偏微分可能・偏微分係数・偏導関数の定義　　

　・定義：n変数関数の偏微分可能・偏微分係数の定義/偏導関数の定義
　・定義：n変数関数の連続微分可能・C1級の定義/偏微分する　

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定義：y=f (x1, x2, …,xn)は 点A=(a1, a2, …,an)においてxiについて偏微分可能 partially differentiable
　　　　　　　　点A=(a1, a2, …,an)におけるxiに関する偏微分係数 partially differential coefficient 　　


定義


(1)
・「 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn ) が
　　　　　点(a1, a2, …,an)においてx1に関して偏微分可能partially differentiable」
　とは、
　x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数関数としたf (x1, a2, …,an)が、
　x1=a1において、x1について微分可能であること、
　　すなわち、
　　　　　
　　　　　が有限値に収束すること
　　　　　ないし、
　　　　　
　　　　　が有限値に収束すること　
　をいう。
　　　　*　ここで、
　　　　　　
　　　　　の右極限＝右微分係数と左極限＝左微分係数が
　　　　　ともに存在して
　　　　　一致することが含意されていることに注意。
・「点(a1, a2, …,an)における n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )の
　　　　　x1に関する偏微分係数partially differential coefficient・第1偏微係数」
　　　　
　とは、
　x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数関数としたf (x1, a2, …,an)の、
　x1=a1における微分係数
　　　すなわち、　
　　　　　
　　　ないし、
　　　　　
　のことをいう。


[文献-数学]
黒田『微分積分学』8.3.1偏導関数の定義(p.282);
杉浦『解析入門』Ⅱ§3 (p.108):ベクトル値関数.
小平『解析入門II』§6.4 (p.310).

[文献-数理経済学]
岡田『経済学・経営学のための数学』1.6(p.47)
西村『経済数学早わかり』3章§3 (p.118);
神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.1 (p. 223)
Chiang,Fundamental Methods of Mathematical Economics 7.4 (p.174)
cf.1変数関数の微分係数/2変数関数の偏微分/
　　ベクトル値関数の偏微分
　

(2)
・「 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )が
　　　　　点(a1, a2, a3, …,an)においてx2に関して偏微分可能partially differentiable」
　とは、
　x1,x3,…,xnをそれぞれa1, a3, …,anに固定して、x2だけの1変数関数としたf (a1, x2 , a3, …,an)が、
　x2=a2において、x2について微分可能であること、
　　すなわち、
　　　　　
　　　　　が有限値に収束すること
　　　　　ないし、
　　　　　
　　　　　が有限値に収束すること　
　をいう。
　　　　*ここで、
　　　　　
　　　　の右極限＝右微分係数と左極限＝左微分係数が
　　　　ともに存在して
　　　　一致することが含意されていることに注意。
・「点(a1, a2, a3, …,an)における n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )の
　　　　　　　x2に関する偏微分係数partially differential coefficient・第2偏微係数」
　　　
　とは、
　x1,x3,…,xnをそれぞれa1, a3, …,anに固定して、x2だけの1変数関数としたf (a1, x2 , a2, …,an)の、
　x2=a2における微分係数
　　　すなわち、　
　　　　　
　　　ないし、
　　　　　
　のことをいう。
　

：
：
：
(n)
・「 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …, an－1, an)においてxnに関して偏微分可能partially differentiable」
　とは、
　x1,x2,…,xn－1をそれぞれa1, a2, …, an－1に固定して、xnだけの1変数関数としたf (a1, a2, …, an－1, xn)が、
　xn=anにおいて、xnについて微分可能であること、
　　すなわち、
　　　　　
　　　　　が有限値に収束すること
　　　　　ないし、
　　　　　
　　　　　が有限値に収束すること　
　をいう。
　　　　*ここで、
　　　　　
　　　　の右極限＝右微分係数と左極限＝左微分係数が
　　　　ともに存在して
　　　　一致することが含意されていることに注意。
・「点(a1, a2, …, an－1, an)における n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )の
　　　　　　　xnに関する偏微分係数partially differential coefficient・第n偏微係数」
　　　　
　とは、
　x1,x2,…,xn－1をそれぞれa1, a2, …, an－1に固定して、xnだけの1変数関数としたf (a1, a2, …, an－1, xn)の、
　xn=anにおける微分係数
　　　すなわち、　
　　　　　
　　　ないし、
　　　　　
　のことをいう。
　 　
　

→[ トピック一覧：n変数関数の偏微分]
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定義：偏導関数 partial derivative


定義


(1)「 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )のx1に関する偏導関数partially derivative」とは？
　y=f (x1,x2,…,xn )が各点で、x1に関して偏微分可能であるとき、
　定点(a1, a2, …,an)におけるx1に関する偏微分係数
　　　　
　の値は、定点(a1, a2, …,an)のとりかたによって変わってくるから、
　定点(a1, a2, …,an)の n変数関数。
　定点(a1, a2, …,an)を動点(x1, x2, …,xn)として書き改めた n変数関数
　　　
　を、 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )のx1に関する偏導関数・第1偏導関数と呼ぶ。

(2)「 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )のx2に関する偏導関数partially derivative」とは？
　y=f ( x1,x2, x3,…,xn )が各点で、x2に関して偏微分可能であるとき、
　定点(a1, a2, a3, …,an)におけるx2に関する偏微分係数
　　　
　の値は、定点(a1, a2, a3, …,an)のとりかたによって変わってくるから、
　定点(a1, a2, a3, …,an)の n変数関数。
　定点(a1, a2, …,an)を動点(x1, x2, …,xn)として書き改めた n変数関数
　　　
　を、 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )のx2に関する偏導関数・第2偏導関数と呼ぶ。

：
：
：

(n) 「 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )のxnに関する偏導関数partially derivative」とは？
　y=f ( x1,x2,…, xn－1,xn )が各点で、xnに関して偏微分可能であるとき、
　定点(a1, a2, …, an－1, an)におけるxnに関する偏微分係数
　　　
　の値は、定点(a1, a2, …, an－1, an)のとりかたによって変わってくるから、
　定点(a1, a2, …, an－1, an)の n変数関数。
　定点(a1, a2, …, an－1, an)を動点(x1, x2, …,xn－1,xn)として書き改めた n変数関数
　　
　を、 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )のxnに関する偏導関数・第n偏導関数と呼ぶ。


[文献-数学]
・黒田『微分積分学』8.3.1 (p.282);
・杉浦『解析入門』Ⅱ§3 (p.108);
・小平『解析入門II』§6.4 (p.310) ;
・高木『解析概論』21偏微分(p. 54) ;
・和達『微分積分』5-2 (pp.117-118) ;
・小形『多変数の微分積分』p.22:2変数
[文献-数理経済学]
・岡田『経済学・経営学のための数学』1.6(p.47)
・西村『経済数学早わかり』3章§3 (p.119);
・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.1 (p. 224) ;
・入谷久我『数理経済学入門』定義7.1(p.163)。
・Chiang,Fundamental Methods of Mathematical Economics 7.4 (p.174)
cf.1変数関数の微分係数/2変数関数の偏微分
cf.　

記法

(1) n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )のx1に関する偏導関数は、
　　　　　
　　　∂f /∂x1　　∂y /∂x1　
　　　fx1 (x1,x2,…,xn)　　Dx1 f (x1,x2,…,xn )　　D1f (x1,x2,…,xn )　
　　等の記号で表される。　　　

(2) n変数関数y=f ( x1,x2, x3,…,xn )のx2に関する偏導関数は、
　　　　　
　　　∂f /∂x2　　∂y /∂x2　
　　　fx2 (x1,x2,…,xn)　　Dx2f (x1,x2,…,xn )　　D2f (x1,x2,…,xn )　
　　等の記号で表される。

：
：
：

(n) n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )のxnに関する偏導関数は、
　　　　　
　　　∂f /∂xn　　∂y /∂xn　
　　　fxn (x1,x2,…,xn)　　Dxnf (x1,x2,…,xn )　　Dnf (x1,x2,…,xn )　
　　等の記号で表される。

* 記号の読み方
・∂は、「丸いd」「ラウンドデルタ」等と呼ばれる。　
・∂f /∂x1は、「デルf デルx1 」等と読む。
　　　[小形『多変数の微分積分』p.22]
　　　[入谷久我『数理経済学入門』定義7.1(p.163)]

活用

・勾配ベクトル（ナブラ）： n変数関数 y=f (x1,x2,…,xn )のn個の偏導関数を並べたもの。

※

偏微分可能から連続性は出てこない。　　　　
→ 1変数関数の微分可能性と連続性
→ n変数関数の全微分可能性
→ n変数関数の連続性　

 　
　 　

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定義：連続微分可能・C1級


定義


「y=f (x1,x2,…,xn )が連続微分可能」「y=f (x1,x2,…,xn )がC1級」とは、
・y=f (x1,x2,…,xn )が各点でx1,x2,…,xnの各々に関して偏微分可能で
　x1,x2,…,xnの各々に関する偏導関数
　　∂f /∂x1 (x1,x2,…,xn) , ∂f /∂x2(x1,x2,…,xn), … , ∂f /∂xn(x1,x2,…,xn)
　がすべて存在し、　
かつ、
・x1,x2,…,xnの各々に関するy=f (x1,x2,…,xn )の偏導関数
　　∂f /∂x1 (x1,x2,…,xn), ∂f /∂x2 (x1,x2,…,xn), … ,∂f /∂xn (x1,x2,…,xn)
　がすべて連続関数であるということ
をいう。


[文献]
・岡田『経済学・経営学のための数学』1.6(p.47)
・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.1 (p. 224)
・杉浦『解析入門』Ⅱ§3 (p.108).
・小平『解析入門II』§6.4 (p.310).

類概念

1変数関数の連続微分可能性、1変数関数のCn級、
2変数関数のCn級

 　
　 　

定義：偏微分する


定義


n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )の偏導関数を求めることを
偏微分するという。

[文献]
神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.1 (p. 224)
杉浦『解析入門』Ⅱ§3 (p.108).
小平『解析入門II』§6.4 (p.310).
Chiang,Fundamental Methods of Mathematical Economics 7.4 (p.174)

※

1変数関数の導関数の公式　をそのまま適用して良い

 　
　 　

→[トピック一覧：n変数関数の偏微分]
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（reference）

黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、8.3.1偏導関数の定義(p.282)。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、3章§3多変数関数の微分(p.118)。

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、6.3.1偏微分(pp. 233-5)
入谷純・久我清『数理経済学入門』有斐閣、1999年。
杉浦光夫『解析入門』東京大学出版会、1980年、Ⅱ§3方向微分と偏微分(pp.107-112). 　
小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年、§6.4 (p.310)
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、5.2-Ⅲ方向微分(p.149)。
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、5-2偏微分(pp.117-118).
高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、2章21偏微分(p. 54).

　

　

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年。

矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、pp.91-3.