Rn |
実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn) を全部あつめた集合、すなわち、「実数全体の集合R」
のそれ自身へのn回の直積 R×R×…×R={ (x1,x2,…,xn) | x1∈R かつ x2∈Rかつ…かつ xn∈R } のことを、Rnで表す。 ※Rnは、実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもあ る。 したがって、Rnにベクトルの加法とスカラー乗法を定義して、実n次元数ベクトル空間と できる。 |
[文献]・小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);・杉浦『解析入門I』p.33; ・松坂『集合・位相入門』4章§ 1A(pp.137-8); ・笠原『微分積分学』1.3(p.16)。 |
n次元空間 |
集合Rnのことを、n次元空間と
呼ぶ。 Cf. 平面R2 ※n次元空間Rnにベクトルの加法とスカラー乗法を定義したものが、実n次元数ベクトル空間。 ※Rnにベクトルの加法とスカラー乗法を定義せず、Rnを実n次元数ベクトル空間と して扱っていないときでも、 Rnをn次元「空間」と呼ぶことがある。 |
[文献]・小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);・杉浦『解析入門I』p.33. |
点 |
n次元空間Rnの要素、すなわち、(x1,x2,…,xn)∈Rnの
ことを、n次元空間Rnの点と
呼ぶ。 ※n次元空間Rnの 点は、実n次元数ベクトルでもあ る。 |
[文献]・小平『解析入門I』p.72;・杉浦『解析入門I』p.33. |
→[トピック一覧: 距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
・P,Q,R ∈Rnとして、 以下の4要件を満たす(ならば、どんな)非負実数値関数d: Rn×Rn→R+(で あれ、それ)を、 |
|
|
Rn上
の距離関数metric,distance、d(P,Q)を点P,Q間の距離と
呼ぶ。 (i) 正値性: 任意のP,Q∈Rnに対して、d(P,Q)≧0 (ii) 任意のP,Q∈Rnに対して、d(P,Q)= 0⇔P=Q つまり、P=Qのときd(P,Q)=0、 また、d(P,Q)=0になるのは、P=Qのときだけ。 (iii) 対称性: 任意のP,Q∈Rnに対して、d(P,Q)=d(Q,P) (iv) 三角不等式 triangle inequality: 任意のP,Q,R∈Rnに対して、d(P,R)≦d(P,Q)+d(Q,R) つまり、 Q経由でPからRまで測った値は直接PRを測った値以上。 距離dが定義された集合Rnを「距離空間」 とよび、 距離空間(Rn,d) と書く。 このことを、 「Rnに距 離distanceまたは計量metricがあたえられた」という。 |
[文献]・小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);・ 矢野『距離空間と位相構造』1.1.1例 1.3 (pp.3-5); ・志賀『位相への30講』第11講 (pp.78-80;82); ・松坂『集合・位相入門』4章§ 1A(p.138);6章§1A例1; ・斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』 第3章§4数空間Rn(pp.84-93);4.5.6(p.127); ・西村『経済数学早わかり』1.4 距離空間(p. 280); ・神谷浦井『経済学のための数学入門』pp.120-1;135; ・佐久間『集合・位相』3.3距離 空間と完備性(pp.56-8) ・彌永『集合と位相』pp.135-6;141; |
ベクトル
|
・Rnを、ベクトルの加法・スカラー乗法が定義された実n次元数ベクトル空間として扱っている
場合は、 次の手順で、Rnに距 離dを定義して、距離空間(Rn,d)を 構成するのが普通。 手順1:実n次元数ベクトル 空間Rnに内積〈 , 〉を定義して、計 量実ベクトル空間とする。 手順2:計 量実ベクトル空間Rnに内積により定まるノルム‖‖ を定義したノルム空間( Rn, ‖‖ )を構成。 手順3:任意の実n次元数ベクトルx,yに 対し、 xと「yの逆ベクトル」の和の内積により定まるノルム d(x,y)=‖x−y‖ は、Rnにおけるx,y間 の距離の定義を満たす。 そこで、このノ ルムから定めた距離dをRnに定義して、距 離空間(Rn,d)を構成する。 |
|
活用例 |
ε近傍の定義/有 界な集合/直径/点 列の極限の定義/関 数の極限の定義/関 数の連続性の定義 | |
Cf. |
距離空間のイントロダクション/距離空間一般/距離空間(R,d)/距離空間(R2,d)/位相空間 |
→[トピック一覧: 距離空間(Rn,d)] →総目次 |
n次元空間Rnの 元P(p1,p2,…,pn), Q(q1,q2,…,qn)にたいして、以下の距離 d(P,Q)の諸タイプをとると、 dは距離の公準を満たし、(Rn,d)は距離空間となる。 |
||||||||
(type1) |
※n次元ユークリッド空間が距離の公準を満たすことの証明→志賀『位相への30講』第11講(pp.79-80); 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.2 (pp.85-6); |
|||||||
|
※Rnにベクトルの加法・スカラー乗法・自然な内積(標準内積)・ユークリッドノルム‖‖が定義されており、 Rnを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、 任意の実n次元数ベクトルx,y∈Rnのユークリッド距離d(x,y)は、 xと「yの逆ベクトル」の和のユークリッドノルム ‖x−y‖ と簡潔に表せる。 [→笠原『微分積分学』1.3(p.16)。] |
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(type2) |
「マンハッタン距離」「変分ノルムから導かれる距離」 d1(P,Q)=|p1−q1|+|p2−q2|+…+|pn−qn| |
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(type3) |
d(P,Q)=sup{|p1−q1|,|p2−q2|,…,|pn−qn|} [→矢野『距離空間と位相構造』] | |||||||
(type4) |
d∞(P,Q)=max{|p1−q1|,|p2−q2|,…,|pn−qn|} [→松坂『集合・位相入門』;志賀『位相への30講』] | |||||||
(type5) |
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cf. R2における距離の例/ |
→[トピック一覧: 距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
・n次元ユークリッド空間とは、 距 離をユークリッド距 離で定義した距離空間 (Rn,d)のこと。 |
[文献]・志賀『位相への30講』第11講(p.79);[関連項目] ・具体化:2次元ユークリッド空間 |
ベクトル表現 |
・Rnをベクトルの加法・スカラー乗法が定義された実n次元数ベクトル空間として扱っている場合、 n次元ユークリッド空間は、 実n次元数ベクトル空間Rnに、 次のように、内積、ノルム、距離を定めた距離空間 (Rn,d)として 定義される。 手順1:実n次元数ベクトル空間Rnに自然な内積(標準内積)を定義して、計量実ベクトル空間とする。 手順2:計量実ベクトル空間Rnに、ユークリッドノルム‖‖を定義したノルム空間( Rn, ‖‖ ) を設定。 手順3:任意の実n次元数ベクトルx,yに対し、 xと「yの逆ベクトル」の和のユークリッドノルム d(x,y)=‖x−y‖ は、Rnにおけるx,y間の距離の定義を満たす。 そこで、このユークリッドノルムから定めた距離dをRnに定義して、 距離空間 (Rn,d)を設定する。 このユークリッドノルムから定めた距離dをユー クリッド距離と呼び、 この距離空間 (Rn,d)をn次元ユークリッド空間と呼ぶ。 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
・Rnにおける点Pのε近傍とは、 点Pか らの距離がε以下となる「Rn上の点」をす べてあつめた集合。 すなわち、Uε(P)={ Q∈Rn | d(P,Q)<ε } ※半径εは正ならばどんなに小さくてもよい。 |
[文献]小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);笠原『微分積分学』1.3(p.17). 杉浦『解析入門I』p.50. 黒田『微分積分学』8.1.4(p.271); 矢野『距離空間と位相構造』1.3.1(pp.37-9;40); 志賀『位相への30講』第11講(pp.80-81); 松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.140);6章§1B(p.237); 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.3 (p.86);4.5.2(p.125) ; 佐久間『集合・位相』3.4開集合と閉集合(p.61); 西村『経済数学早わかり』2.2 (p.281); 神谷浦井『経済学のための数学入門』p. 136;143; |
|||||
|
・ε近傍は、距離をどう定義するかによって、かたちが変容する。 [彌永『集合と位相』p.141; 志賀『位相への30講』p.15;矢野『距離空間と位相構造』例1.34(pp.38-9)] |
||||||
類型1 |
ユークリッド距離を距離とした場合(つ
まりユークリッド空間において)、 点P=(p1,p2,…,pn)のε近傍Uε(P)は、 点P中 心、半径正数εの球体の内部の点全体からなる集合となる。 つまり、点P=(p1,p2,…,pn)とすると、
※Rnに、ベクトルの加法・スカラー乗法・自然な内積(標準内積)・ユークリッドノルム‖‖が定義されており、 Rnを、実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として、扱える場合、 ユークリッド空間におけるPのε近傍は、 ユークリッドノルム‖‖を用いて、 Uε(P)={ Q∈Rn | ‖Q−P‖<ε } とも表せる。 ただし、P,Qは、Rn上の点―すなわち実n次元数ベクトル―を表すとする。 |
||||||
類型2 |
点P(p1,p2,…,pn), 点Q(q1,q2,…,qn)にたいして、 d1(P,Q)=|p1−q1|+|p2−q2|+…+|pn−qn| を距離と 定義した場合、 点P(p1,p2,…,pn)のε近傍Uε(P)は Uε(P)={ (q1,q2,…,qn) | |q1−p1|+|q2−p2|+…+|qn−pn|<ε } |
||||||
類型3 |
点P(p1,p2,…,pn), 点Q(q1,q2,…,qn)にたいして、 d∞(P,Q)=max{|p1−q1|,|p2−q2|,…,|pn−qn|} を距離と定義した場合、 点P(p1,p2,…,pn)のε近傍Uε(P)は、 Uε(P)={ (q1,q2,…,qn) | max{|p1−q1|,|p2−q2|,…,|pn−qn|} <ε } |
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活用例 |
内点・境界点・開集合の定義。集積点の定義。 点列の極限の定義。関数の極限の定義。関数の連続性の定義。 |
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cf. |
距離空間一般におけるε近傍定義、Rにおけるε近傍、R2における ε近傍 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
点Pのε近傍から、点Pを除外したもの。 U*ε(P)={ Q∈Rn |0<d(P,Q)<ε } ※半径εは正ならばどんなに小さくてもよい。 |
[文献]・杉浦『解析入門I』§4(p.113); |
活用例 |
関数の極限の定義 | |
cf. |
距離空間一般における除外ε近傍定義/Rにおける除外ε近傍/R2における除外ε近傍 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
「Rnにおける点集合」とは、Rn上の点の集合のこと。 つまり、「Rnにおける点集合」は、Rnの部分集合である。(点集合S⊂Rn) |
|
関連 |
数直線Rにおける点集合についての諸概念、平面R2における点集合についての諸概念 距離空間一般における点集合についての諸概念 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
・εの値を加減して、
様々な大きさの「点Pのε近傍Uε(P)」をつくる。 そのなかに、 点集合Eにすっぽり含まれるよ うなUε(P)が、「ひとつでも」つくれれば、 点Pは点集合Eの内点であるという。 すなわち、 点Pが点集合Eの 内点⇔「あ る」Uε(P)に対して、Uε(P)⊂E ⇔「ある」ε>0に対して、Uε(P)⊂E |
[文献]・小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);・松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141); ・杉浦『解析入門I』p.66; ・黒田『微分積分学』8.1.4(p.271); |
関連 |
Rに おける内点/R2における内点/距離空間一般における内点 | |
活用例 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
εの値を加減して、様々な大きさの点Pのε近傍Uε(P)をつくる。 そのなかに、点集合Eと共有点を持たないUε(P)が「ひとつでも」つくれれば、 点Pは点集合Eの外点であるという。 すなわち、 点Pが点集合Eの外点⇔「ある」Uε(P)に対して、Uε(P)∩E=φ ⇔「ある」ε>0に対して、Uε(P)∩E=φ |
|
関連 |
Rにおける外点、R2における外点、距離空間一般における外点
|
|
活用例 |
外部の定義 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
点集合Eの内点でも外点でもない点を「点集合Eの境界点」という。 点Pが「点集合Eの境界点」であるための必要十分条件は、 どんな風にεをとっても、点Pの「すべての」ε近傍Uε(P)が、 Eに属す点もEに属さない点も含むこと。 すなわち、 点Pが点集合Eの境界点 ⇔点Pの「任意」のUε(P)に対して、 Uε(P) ![]() ⇔点Pの「任意」のUε(P)に対して、 Uε(P)∩E≠φかつUε(P)∩Ec≠φ |
[文献]小平『解析入門I』§1.6-g(p.72);松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141); 黒田『微分積分学』8.1.4(p.271); |
関連 |
Rにおける境界点、R2における境界点、距離空間一般における境界点 | |
活用例 |
境界の定義、閉包の定義、閉集合の定義、開集合の定義。 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
|
定義 |
点集合Eの内点全体からなる集合をEの内部と呼ぶ。 記号:Int E,Eint,E0 |
[文献] 松坂『集合・位相入門』4章§1B(p.141); ;杉浦『解析入門I』p.66; 黒田『微分積分学』8.1.4(p.272); |
関連 |
Rに
おける内部、R2における内部、距離空間一般における内部 位相空間一般における開核 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
||
関連 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
||
関連 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
||
関連 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
どんな風にεをとっ
ても、点Pの
「すべての」ε近傍Uε(P)が、 |
[文献] |
関連 |
||
活用例 |
|
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
[文献] |
|
関連 |
||
活用例 |
|
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
はじめに読むべき定義 |
点集合Eの境界点はどれも点集合Eに属さず、 |
[文献] 松坂『集合・位相入門』4章§1D(p.144);第6章B(p.237) ; 黒田『微分積分学』定義8.3(p.272); 矢野『距離空間と位相構造』1.3.2(p.40); 志賀『位相への30講』第13講(pp.95-6); 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.8(p.87);4.5.3(p.126) ; 西村『経済数学早わかり』2.2 (p.281) 佐久間『集合・位相』3.4開集合と閉集合(p.61); 神谷浦井『経済学のための数学入門』142-4; 杉浦『解析入門I』p.66; 能代『極限論と集合論』7章3開集合と閉集合(pp.130-139):Rn上。非常に詳しい。; 加古『自然科学の基礎としての微積分』6.1a(p.90); |
厳密な定義 |
(Rn,d)を距離空間、E をRnの部分集合と
する。 |
|
例 |
開集合の例: |
|
関連 |
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性質 |
||
|
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
はじめに |
[文献] 志賀『位相への30講』第13講(pp.95-6); 松坂『集合・位相入門』4章§1D(p.144); 杉浦『解析入門I』p.66; 黒田『微分積分学』定義8.4(p.273); 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.11(p.88); 佐久間『集合・位相』3.4開集合と閉集合(p.62) 西村『経済数学早わかり』2.3(p.286); 神谷浦井『経済学のための数学入門』145; 能代『極限論と集合論』7章3開集合と閉集合(pp.130-139):Rn上。非常に詳しい。 |
|
厳密な |
||
例 |
閉集合の例: |
|
関連 |
||
性質 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
R上
の区間 I1 , I2
,…, Inの直積 I1×I2×…×In ={ ( x1,x2,…,xn
) | x1∈I1か
つx2∈I2か
つ…か
つxn∈ In
}を、 |
||
関連 |
|||
下位概念 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
I1 , I2
,…, InをR上
の開区間(a1,b1),
(a2,b2),…, (an,bn)とする。 |
[文献] 松坂『集合・位相入門』第4章§1D(p.144) 黒田『微分積分学』例8.4(p.274); |
関連 |
||
性質 |
||
上位概念 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
I1 , I2
,…, InをR上
の閉区間 [a1,b1],
[a2,b2],…, [an,bn]とする。 I1 , I2 ,…, Inの直積 I1×I2×…×In={ ( x1,x2,…,xn ) | x1∈I1か つx2∈I2か つ…か つxn∈In } ={ ( x1,x2,…,xn ) | a1≦x1≦b1か つ a2≦x2≦b2 か つ…か つ an≦xn≦bn } を、 Rn上の閉 区間という。 |
[文献] 松坂『集合・位相入門』第4章§1D(p.144); 黒田『微分積分学』例8.4(p.274); LangUndergraduate Analysis468 |
関連 |
R上 の閉区間、R2上の閉区 間 | |
性質 |
Rn上の閉区間は、閉集合で ある。 | |
上位概念 |
Rn上の区間 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
[文献] 『岩波数学辞典(第三版)』項目92距離空間B(p.254) |
|
関連 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
・距離空間(Rn,d)の部分集合Eの直径が上に有界であるとき、 |
[文献] 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.8(p.87); 西村『経済数学早わかり』3.3 (p.301); 『岩波数学辞典(第三版)』92距離空間(pp.253-256) 加古『自然科学の基礎としての微積分』6.1a(p.90); |
関連 |
||
活用例 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
|
・「Rnにおける開集合Uが連結connectedである」とは、 Rnにおける開集合Uが 2つの「空でない開集合」 の直和として表せないことをいう。 つまり、 「Rnにおける開集合Uが連結connectedである」とは、 Rnにおける開集合Uが 「共通点をもたない二つの空でな い開集合の合併集合」 とならないこと、 すなわち、U=V∪W、V∩W=φ (V,W:空でな い開集合) とならないこと、 をいう。 ・「Rnにおける閉集合Uが連結connectedである」とは、 Rnにおける閉集合Uが 2つの「空でない閉集合」 の直和として表せないことをいう。 つまり、 「Rnにおける閉集合Uが連結connectedである」とは、 Rnにおける閉集合Uが 「共通点をもたない二つの空でな い閉集合の合併集合」 とならないこと、 すなわち、U=V∪W、V∩W=φ (V,W:空でな い閉集合) とならないこと、 をいう。 |
[文献] 小平『解析入門I』§6.1(pp.255-6); 杉浦『解析入門I』定義2(pp..75-76); 吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161. |
性質 |
開集合についてならば、弧状連結と同 値。 | |
活用 |
領域の定義 | |
下位類型 |
凸集合 | |
関連 |
R2における連結 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
はじめに読むべき定義 |
「点集合Sが弧状連結である」とは、 |
[文献] 杉浦『解析入門I』定義2(p.76); 吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161. 黒田『微分積分学』定義8.4(p.272) 笠原『微分積分学』5.1(p.153); |
厳密な定義 |
杉浦『解析入門I』定義2(p.76)を参照。 |
|
性質 |
||
活用 |
||
下位類型 |
||
関連 |
||
|
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
|
次の三つの命題は同値。 |
[文献] 杉浦 『解析入門I』定理8.2(p.77); 小平『解析入門II』§6.1(pp.256-7) 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』5.3.17-21(pp.165-6) |
証明 |
・ 杉浦『解析入門I』定理8.2(p.77)参照。 |
|
関連 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
|
[文献] 布川谷野中山『線形代数と凸解析』定義6.9(p.125) 杉浦『解析入門I』pp..75-76; 高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.67; 奥野鈴村『ミクロ経済学』pp.265-266. |
|
性質 |
||
関連 |
||
|
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
[文献] 小平『解析入門II』pp.257; 杉浦『解析入門I』I§8定義1(p.76); 黒田『微分積分学』定義8.4(p.273) 吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161. 笠原『微分積分学』5.1(p.153); |
|
※ |
「内部の点だけを含
む領域を開領域という」 |
|
関連 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |
定義 |
閉領域とは、領域の閉包のこと。
|
[文献] 小平『解析入門II』p.257; 吹田・新保『理工系の微分積分学』p.161. 和達『微分積分』p. 113 |
|||
性質 |
閉領域は閉集合。 |
||||
関連 |
→[トピック一覧:
距離空間(Rn,d)] →総目次 |