実数の10進小数展開 decimal expression　：トピック一覧　　

・「実数に随伴する数列/整数列」「実数の十進近似列」の定義
・「実数に随伴する数列/整数列」の性質　　
・実数の十進近似列が満たす性質　
・実数の小数展開 
※総目次

 
定義：実数に随伴する数列、実数に随伴する整数列、10進近似列


→ [定義1] / [定義1の別の表現]
→ [定義2]　
→ [定義1と定義2は同一]
→ [具体的な数値例を通して意味を探る]

→ 性質
→ 応用としての実数の小数展開　


[活用例]

　・実数指数の「べき」「累乗」定義




[文献]
　・杉浦『解析入門I』定理3.9 (pp.30-31):任意の実数aに 対して、存在することの証明
　・赤攝也『実数論講義』§8.4「10進小数」定義 8.4.2〜定義8.4.4(pp.238-9)　
　・加藤十吉『微分積分学原論』 3.3有理数の稠密性-命題3.8(p.30)
　・上野健爾『岩波講座 現代数学への入門7-8：代数入門1』§2.3(b)実数(p.58)(d)指数と対数(pp.69-71)。
　・『岩波 入門数学辞典』「近似分数approximate fraction」(p.166);

　・小平『解析入門I』§1.4-f (pp.34-5):　

[定義1] 実数に随伴する数列、実数に随伴する整数列、10進近似列

・実数rに随伴する数列とは、
　数列　
　　a1＝10（r−[r]）　　
　　a2＝10（a1−[a1]）　
　　a3＝10（a2−[a2]）
　　：
　　an ＝10（an-1−[an-1]）
　　an+1＝10（an −[an]　）
 　　：
　のこと。


[文献] 　

　・赤攝也『実数論講義』§8.4「10進小数」定義8.4.2〜定義8.4.4(pp.238-9)





・実数rに随伴する整数列とは、
　　　　実数rに随伴する数列　a1＝10(r−[r]), a2＝10(a1−[a1]), a3＝10(a2−[a2]), … , an＝10(an-1−[an-1]), an+1＝10(an −[an]),…
　　　　に対して、
　　d1＝[a1]＝[ 10（r−[r]）]　　
　　d2＝[a2]＝[ 10（a1−[a1]）]
　　d3＝[a3]＝[ 10（a2−[a2]）]　　　　　　
　　：
　　dn＝[an]＝[ 10（an-1−[an-1]）]
　　dn+1＝[an+1]＝[ 10（an −[an]　）]
 　　：
　　
　と定めた数列のこと。
　→具体的な数値例を通して定義の意味を探る
　→別の表現
　→別の定義　
※随伴数列/随伴整数列が満たす性質　
・実数rの10進近似列とは、
　　　　　　　実数rに随伴する整数列　　
　　　　　　　　　　d1＝[a1]＝[ 10（r−[r]）]　　
　　　　　　　　　　d2＝[a2]＝[ 10（a1−[a1]）]　
　　　　　　　　　　d3＝[a3]＝[ 10（a2−[a2]）]　
　　 　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　dn＝[an]＝[ 10（an-1−[an-1]）]
　　　　　　　　　　dn+1＝[an+1]＝[ 10（an −[an]　）]
　　 　　　　　　　　：　　
　　　　　　　を用いて、
r1＝ [r] ＋ d1/10　＝　[r]　＋　

1
 di /10i 
 

Σ

i=1




2



r2 ＝ r1 ＋ d2/100 ＝ [r] ＋ d1/10 ＋ d2/100　＝　[r] ＋　
 Σ
 di /10i



i=1





3  di /10i


r3 ＝ r2 ＋ d3/1000 ＝ [r] ＋ d1/10 ＋ d2/100 ＋ d3/1000　＝　[r] ＋　
Σ

 
i=1

　　：

 rn ＝ rn-1 ＋ dn/10n ＝ [r] ＋ d1/10 ＋ d2/100 ＋ d3/1000 ＋ … ＋ dn/10n ＝　[r] ＋　
 n  di /10i  
  

Σ


i=1


　　：
　と定義した数列のこと。

→具体的な数値例を通して定義の意味を探る
→別の定義
→実数rの10進近似列が満たす性質　

→「十進近似列」冒頭



[定義1の別の表現] 　実数に随伴する数列、実数に随伴する整数列、10進近似列


・上記の
　　実数rに随伴する数列a1,a2,a3,…　
　　実数rに随伴する整数列 d1,d2,d3,…
　　実数rの10進近似列 r1,r2,r3,…
　の定義は、以下の数式でも表現できる。
　　　　　　　* an+1をanのみで、dn+1を an+1のみで表した先述の定義が、an+1,dn+1をrnを用いた式で表現できる、という点がポイント。　　　　　
1 di /10i


a1＝10（r−[r]）,　d1＝ [10(r−[r])]　,　r1＝[r]＋d1/10 ＝　[r] ＋ 
Σ



i=1

　
2  di /10i


a2＝100(r−r1)　,　d2＝ [100(r−r1)]　,　r2＝r1＋d2/100 ＝　[r] ＋ 
Σ



i=1

　
3  di /10i


a3＝1000(r−r1)　,　d3＝ [1000(r−r2)]　,　r3＝r2＋d3/1000 ＝　[r] ＋ 
Σ



i=1

　　：　　　　　　　　　：　　　　　　　　　 ：　

 an＝10n(r−rn-1) ,　dn＝ [10n(r−rn-1)]　,　rn＝rn-1＋dn/10n ＝　[r] ＋ 
n  di /10i


Σ



i=1


an+1＝10n+1(r−rn) , dn+1＝ [10n+1(r−rn)]　, rn+1＝rn＋dn+1/10n+1 ＝　[r] ＋ 
n+1  di /10i


Σ



i=1

　　：　　　　　　　　　 ：　　　　　　　　　 ：　

※なぜ？　　
　・a2＝10（a1−[a1]）＝10（a1−d1）　　∵　d1の定義
　　　　　　　　　　　＝ 10（10( r− [r])−d1）　∵　a1の定義
　　　　　　　　　　　＝ 100( r− [r])−10d1　＝ 100( r− [r]−d1/10　)＝ 100（r−([r]＋d1/10) ）
　　　　　　　　　　　　＝100(r−r1)　　∵　r1の定義
　　となるから、
　　d2＝[a2]　∵　d2の定義
　　　＝[ 100(r−r1) ]　∵上記のa2の表現より。

　・a3＝10（a2−[a2]）＝10（a2−d2）　　∵　d2の定義
　　　　　　　　　　　＝ 10（100(r−r1)−d2）　∵上記のa2の表現より。　　
　　　　　　　　　　　＝ 1000(r−r1)−10d2＝1000(r−r1−d2/100)＝ 1000（r−(r1＋d2/100) ）
　　　　　　　　　　　　＝1000(r−r2)　　∵　r1の定義　
　　d3＝[a3]　　∵d3の定義
　　　　＝[ 1000(r−r2) ]
　：　
　・an+1＝10（an−[an]）＝10（an−dn）　　∵　dnの定義
　　　　　　　　　　　　　＝ 10（10n(r−rn-1)−dn）　∵上記のanの表現(省略されている)より。　
　　　　　　　　　　　　　＝ 10n+1(r−rn-1)−10dn＝10n+1(r−rn-1−dn/10n)＝ 10n+1（r−(rn-1＋dn/10n) ）　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　＝10n+1(r−rn)　∵　rnの定義　
　：　　　
　　　　

→「十進近似列」定義1の別表現
→「十進近似列」冒頭


[定義2]10進近似列

 加藤十吉『微分積分学原論』(pp.30-31)は、
 実数rに随伴する整数列d1,d2,d3,…、実数rの10進近似列r1,r2,r3,…を、以下の手順で定義している。
step1-1:d1の定義
 　　　　d1を、「d1/10≦r−[r]＜(d1+1)/10」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
　　　　[詳細に述べると…]
　　　　　ガウス記号の性質「任意の実数aに対して、0≦a−[a]＜1」より、0≦r−[r]＜1。
　　　　　ということは、
　　　　　実数r−[r]は、区間[0,1)を十等分してできた10個の区間のどれか一つに属す。
　　　　　つまり、r−[r]は、
　　　　　　[case0]　 0/10≦r−[r]＜1/10　
　　　　　　[case1]　 1/10≦r−[r]＜2/10　
　　　　　　[case2]　 2/10≦r−[r]＜3/10　
　　　　　　[case3]　 3/10≦r−[r]＜4/10　
　　　　　　[case4]　 4/10≦r−[r]＜5/10　
　　　　　　[case5]　 5/10≦r−[r]＜6/10　
　　　　　　[case6]　 6/10≦r−[r]＜7/10　
　　　　　　[case7]　 7/10≦r−[r]＜8/10　
　　　　　　[case8]　 8/10≦r−[r]＜9/10　
　　　　　　[case9]　 9/10≦r−[r]＜10/10＝1
　　　　　　の、どれか一つのケースに〜たった一つのケースにだけ、しかし、必ず〜該当する。
　　　　　　r−[r]が、
　　　　　　　[case0]　 0/10≦r−[r]＜1/10　に該当するならば、d1＝0　　
　　　　　　　[case1]　 1/10≦r−[r]＜2/10　に該当するならば、d1＝1　　
　　　　　　　[case2]　 2/10≦r−[r]＜3/10　に該当するならば、d1＝2　　
　　　　　　　[case3]　 3/10≦r−[r]＜4/10　に該当するならば、d1＝3　　
　　　　　　　[case4]　 4/10≦r−[r]＜5/10　に該当するならば、d1＝4　　
　　　　　　　[case5]　 5/10≦r−[r]＜6/10　に該当するならば、d1＝5　　
　　　　　　　[case6]　 6/10≦r−[r]＜7/10　に該当するならば、d1＝6　　
　　　　　　　[case7]　 7/10≦r−[r]＜8/10　に該当するならば、d1＝7　　
　　　　　　　[case8]　 8/10≦r−[r]＜9/10　に該当するならば、d1＝8　　
　　　　　　　[case9]　 9/10≦r−[r]＜10/10　に該当するならば、d1＝9　　
　　　　　　と定める。
step1-2:r1の定義　
　　　　　r1＝[r]＋d1/10　　と定める。




[文献]
　・加藤十吉『微分積分学原論』3.3有理数の稠密性-命題3.8(p.30)の証明の中で唯一の十進近似列として示す。
　　　十進近似列を、その性質によって公理的に定義したうえで、それを満たす列は、唯一つしか存在しないとするが、
　　　その唯一つの十進近似列として彼があげているのは、これと同じ。

　　　　（ただし、作り方が違う。ガウス記号を使わない。随伴数列を使わない。）







【関連リンク】

→具体例を通した定義の意味を探る


→十進近似列の別の定義

→実数rの10進近似列が満たす性質






step1-3:r−r1の性質　
　　　　　r−r1は、「0≦r−r1＜1/10」という性質を満たす。
　　　　　なぜなら、
　　　　　　・　r−r1＝r−（[r]＋d1/10）　∵step1-2での「r1の定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　＝（r−[r]）−d1/10
　　　　　　　　　　　　＜(d1+1)/10−d1/10　∵step1-1で「r−[r]＜(d1+1)/10」を満たすようにd1を決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/10
　　　　　　　　すなわち、r−r1＜1/10
　　　　　　・　r−r1＝r−（[r]＋d1/10）　∵step1-2での「r1の定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　＝（r−[r]）−d1/10
　　　　　　　　　　　　≧d1/10−d1/10　　∵step1-1で「d1/10≦r−[r]」を満たすようにd1を決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　＝０
　　　　　　　　すなわち、0≦r−r1　　
step2-1:d2の定義
 　　　　d2を、「d2/100≦r−r1＜(d2+1)/100」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
　　　　[詳細に述べると…]
　　　　　step1-3「r−r1の性質」より、0≦r−r1＜1/10。
　　　　　ということは、実数r−r1は、区間[ 0, 1/10 )を十等分してできた10個の区間のどれか一つに属す。
　　　　　つまり、r−r1は、
　　　　　　[case0]　 0/100≦r−r1＜1/100　
　　　　　　[case1]　 1/100≦r−r1＜2/100　
　　　　　　[case2]　 2/100≦r−r1＜3/100　
　　　　　　[case3]　 3/100≦r−r1＜4/100　
　　　　　　[case4]　 4/100≦r−r1＜5/100　
　　　　　　[case5]　 5/100≦r−r1＜6/100　
　　　　　　[case6]　 6/100≦r−r1＜7/100　
　　　　　　[case7]　 7/100≦r−r1＜8/100　
　　　　　　[case8]　 8/100≦r−r1＜9/100　
　　　　　　[case9]　 9/100≦r−r1＜10/100=1/10　
　　　　　　の、どれか一つのケースに〜たった一つのケースにだけ、しかし、必ず〜該当する。
　　　　　　r−r1が、
　　　　　　　[case0]　 0/100≦r−r1＜1/100　に該当するならば、d2＝0　　
　　　　　　　[case1]　 1/100≦r−r1＜2/100　に該当するならば、d2＝1　　
　　　　　　　[case2]　 2/100≦r−r1＜3/100　に該当するならば、d2＝2　　
　　　　　　　[case3]　 3/100≦r−r1＜4/100　に該当するならば、d2＝3　　
　　　　　　　[case4]　 4/100≦r−r1＜5/100　に該当するならば、d2＝4　　
　　　　　　　[case5]　 5/100≦r−r1＜6/100　に該当するならば、d2＝5　　
　　　　　　　[case6]　 6/100≦r−r1＜7/100　に該当するならば、d2＝6　　
　　　　　　　[case7]　 7/100≦r−r1＜8/100　に該当するならば、d2＝7　　
　　　　　　　[case8]　 8/100≦r−r1＜9/100　に該当するならば、d2＝8　　
　　　　　　　[case9]　 9/100≦r−r1＜10/100　に該当するならば、d2＝9　　
　　　　　　と定める。

step2-2:r2の定義
　　　　　r2＝[r]＋d1/10＋d2/100　　と定める。

step2-3:r−r2の性質　
　　　　　r−r2は、「0≦r−r2＜1/100」という性質を満たす。
　　　　　なぜなら、
　　　　　　・　r−r2＝r−（[r]＋d1/10＋d2/100）　∵step2-2での「r2の定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　　＝r−（[r]＋d1/10）−d2/100
　　　　　　　　　　　　＝r−r1−d2/100　　　　　　　　∵step1-2での「r1の定義」をそのまま代入
　　　　　　　　　　　　　＜(d2+1)/100−d2/100　∵step2-1で「r−r1＜(d2+1)/100」を満たすようにd2を決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/100
　　　　　　　　すなわち、r−r2＜1/100
　　　　　　・　r−r2＝r−（[r]＋d1/10＋d2/100）　∵step2-2での「r2の定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　　＝r−（[r]＋d1/10）−d2/100
　　　　　　　　　　　　＝r−r1−d2/100　　　　　　　　∵step1-2での「r1の定義」をそのまま代入
　　　　　　　　　　　　≧d2/100−d2/100　　∵step2-1で「d2/100≦r−r1」を満たすようにd2を決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　＝０
　　　　　　　　すなわち、0≦r−r2
　
step3-1:d3の定義　　
　　　　d3を、「d3/103≦r−r2＜(d3+1)/103」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
　　　　[詳細に述べると…]
　　　　　step2-3「r−r2の性質」より、0≦r−r2＜1/100。
　　　　　ということは、実数r−r2は、区間[ 0, 1/102 )を十等分してできた10個の区間のどれか一つに属す。
　　　　　つまり、r−r2は、
　　　　　　[case0]　 0/103≦r−r2＜1/103　
　　　　　　[case1]　 1/103≦r−r2＜2/103　
　　　　　　[case2]　 2/103≦r−r2＜3/103　
　　　　　　[case3]　 3/103≦r−r2＜4/103　
　　　　　　[case4]　 4/103≦r−r2＜5/103　
　　　　　　[case5]　 5/103≦r−r2＜6/103　
　　　　　　[case6]　 6/103≦r−r2＜7/103　
　　　　　　[case7]　 7/103≦r−r2＜8/103　
　　　　　　[case8]　 8/103≦r−r2＜9/103　
　　　　　　[case9]　 9/103≦r−r2＜10/103=1/100　
　　　　　　の、どれか一つのケースに〜たった一つのケースにだけ、しかし、必ず〜該当する。
　　　　　　r−r2が、
　　　　　　　[case0]　 0/103≦r−r2＜1/103　に該当するならば、d3＝0　　
　　　　　　　[case1]　 1/103≦r−r2＜2/103　に該当するならば、d3＝1　　
　　　　　　　[case2]　 2/103≦r−r2＜3/103　に該当するならば、d3＝2　　
　　　　　　　[case3]　 3/103≦r−r2＜4/103　に該当するならば、d3＝3　　
　　　　　　　[case4]　 4/103≦r−r2＜5/103　に該当するならば、d3＝4　　
　　　　　　　[case5]　 5/103≦r−r2＜6/103　に該当するならば、d3＝5　　
　　　　　　　[case6]　 6/103≦r−r2＜7/103　に該当するならば、d3＝6　　
　　　　　　　[case7]　 7/103≦r−r2＜8/103　に該当するならば、d3＝7　　
　　　　　　　[case8]　 8/103≦r−r2＜9/103　に該当するならば、d3＝8　　
　　　　　　　[case9]　 9/103≦r−r2＜10/103　に該当するならば、d3＝9　　
　　　　　　と定める。

step3-2:r3の定義　　　
　　　　　r3＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103　　と定める。
step3-3:r−r3の性質　　
　　　　　r−r3は、「0≦r−r3＜1/103」という性質を満たす。
　　　　　なぜなら、
　　　　　　・　r−r3＝r−（[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103）　∵step3-2での「r3の定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　　＝r−（[r]＋d1/1＋d2/100）−d3/103
　　　　　　　　　　　　＝r−r2−d3/103　　　　　　　　∵step2-2での「r2の定義」をそのまま代入
　　　　　　　　　　　　　＜(d3+1)/103−d3/103　∵step3-1で「r−r2＜(d3+1)/103」を満たすようにd2を決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/103　　　　
　　　　　　　　すなわち、r−r3＜1/103
　　　　　・　r−r3＝r−（[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103）　∵step3-2での「r3の定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　　＝r−（[r]＋d1/1＋d2/100）−d3/103
　　　　　　　　　　　　＝r−r2−d3/103　　　　　　　　∵step2-2での「r2の定義」をそのまま代入
　　　　　　　　　　　　≧d3/103−d3/103　　∵step3-1で「d3/103≦r−r2」を満たすようにd3を決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　＝０
　　　　　　　　すなわち、0≦r−r3
　　：
　　：　
step n-1:dnの定義　　
　　　　dnを、「dn/10n≦r−rn-1＜(dn+1)/10n」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
　　　　[詳細に述べると…]
　　　　　step(n-1)-3「r−rn-1の性質」より、0≦r−rn-1＜10n-1。
　　　　　ということは、実数r−rn-1は、区間[ 0, 1/10n-1 )を十等分してできた10個の区間のどれか一つに属す。
　　　　　つまり、r−rn-1は、
　　　　　　[case0]　 0/10n≦r−rn-1＜1/10n　
　　　　　　[case1]　 1/10n≦r−rn-1＜2/10n　
　　　　　　[case2]　 2/10n≦r−rn-1＜3/10n　
　　　　　　[case3]　 3/10n≦r−rn-1＜4/10n　
　　　　　　[case4]　 4/10n≦r−rn-1＜5/10n　
　　　　　　[case5]　 5/10n≦r−rn-1＜6/10n　
　　　　　　[case6]　 6/10n≦r−rn-1＜7/10n　
　　　　　　[case7]　 7/10n≦r−rn-1＜8/10n　
　　　　　　[case8]　 8/10n≦r−rn-1＜9/10n　
　　　　　　[case9]　 9/10n≦r−rn-1＜10/10n=1/10n-1　
　　　　　　の、どれか一つのケースに〜たった一つのケースにだけ、しかし、必ず〜該当する。
　　　　　　r−rn-1が、
　　　　　　　[case0]　 0/10n≦r−rn-1＜1/10n　に該当するならば、dn＝0　　
　　　　　　　[case1]　 1/10n≦r−rn-1＜2/10n　に該当するならば、dn＝1　　
　　　　　　　[case2]　 2/10n≦r−rn-1＜3/10n　に該当するならば、dn＝2　　
　　　　　　　[case3]　 3/10n≦r−rn-1＜4/10n　に該当するならば、dn＝3　　
　　　　　　　[case4]　 4/10n≦r−rn-1＜5/10n　に該当するならば、dn＝4　　
　　　　　　　[case5]　 5/10n≦r−rn-1＜6/10n　に該当するならば、dn＝5　　
　　　　　　　[case6]　 6/10n≦r−rn-1＜7/10n　に該当するならば、dn＝6　　
　　　　　　　[case7]　 7/10n≦r−rn-1＜8/10n　に該当するならば、dn＝7　　
　　　　　　　[case8]　 8/10n≦r−rn-1＜9/10n　に該当するならば、dn＝8　　
　　　　　　　[case9]　 9/10n≦r−rn-1＜10/10n　に該当するならば、dn＝9　　
　　　　　　と定める。
step n-2:rnの定義　　
　　　　　rn＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋…＋dn/10n　と定める。　
step n-3:r−rnの性質　　
　　　　　r−rnは、「0≦r−rn＜1/10n」という性質を満たす。
　　　　　なぜなら、
　　　　　　・　r−rn＝r−（[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋…＋dn/10n）　∵stepn-2での「rnの定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　　＝r−（[r]＋d1/1＋d2/100＋d3/103＋…＋dn-1/10n-1）−dn/10n
　　　　　　　　　　　　＝r−rn-1−−dn/10n　　　　　　　　∵step(n-1)-2での「rn-1の定義」をそのまま代入
　　　　　　　　　　　　　＜(dn+1)/10n−dn/10n　∵stepn-1で「r−rn-1＜(dn+1)/10n」を満たすようにdnを決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/10n　　　　
　　　　　　　　すなわち、r−rn＜1/10n　
　　　　　　・　r−rn＝r−（[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋…＋dn/10n）　∵stepn-2での「rnの定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　　＝r−（[r]＋d1/1＋d2/100＋d3/103＋…＋dn-1/10n-1）−dn/10n
　　　　　　　　　　　　＝r−rn-1−dn/10n　　　　　　　　∵step(n-1)-2での「rn-1の定義」をそのまま代入
　　　　　　　　　　　　≧dn/10n−dn/10n　　∵stepn-1で「dn/10n≦r−rn-1」を満たすようにdnを決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　＝０
　　　　　　　　すなわち、0≦r−rn
　　：
　　：　
step(n+1)-1:dn+1の定義　
　　　　dn+1を、「dn+1/10n+1≦r−rn＜(dn+1+1)/10n+1」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
　　　　[詳細に述べると…]
　　　　　step n-3 「r−rnの性質」より、0≦r−rn＜10n。
　　　　　ということは、実数r−rnは、区間[ 0, 1/10n )を十等分してできた10個の区間のどれか一つに属す。
　　　　　つまり、r−rnは、
　　　　　　[case0]　 0/10n+1≦r−rn＜1/10n+1　
　　　　　　[case1]　 1/10n+1≦r−rn＜2/10n+1　
　　　　　　[case2]　 2/10n+1≦r−rn＜3/10n+1　
　　　　　　[case3]　 3/10n+1≦r−rn＜4/10n+1　
　　　　　　[case4]　 4/10n+1≦r−rn＜5/10n+1　
　　　　　　[case5]　 5/10n+1≦r−rn＜6/10n+1　
　　　　　　[case6]　 6/10n+1≦r−rn＜7/10n+1　
　　　　　　[case7]　 7/10n+1≦r−rn＜8/10n+1　
　　　　　　[case8]　 8/10n+1≦r−rn＜9/10n+1　
　　　　　　[case9]　 9/10n+1≦r−rn＜10/10n+1=1/10n　
　　　　　　の、どれか一つのケースに〜たった一つのケースにだけ、しかし、必ず〜該当する。
　　　　　　r−rnが、
　　　　　　　[case0]　 0/10n+1≦r−rn＜1/10n+1　に該当するならば、dn＝0　　
　　　　　　　[case1]　 1/10n+1≦r−rn＜2/10n+1　に該当するならば、dn＝1　　
　　　　　　　[case2]　 2/10n+1≦r−rn＜3/10n+1　に該当するならば、dn＝2　　
　　　　　　　[case3]　 3/10n+1≦r−rn＜4/10n+1　に該当するならば、dn＝3　　
　　　　　　　[case4]　 4/10n+1≦r−rn＜5/10n+1　に該当するならば、dn＝4　　
　　　　　　　[case5]　 5/10n+1≦r−rn＜6/10n+1　に該当するならば、dn＝5　　
　　　　　　　[case6]　 6/10n+1≦r−rn＜7/10n+1　に該当するならば、dn＝6　　
　　　　　　　[case7]　 7/10n+1≦r−rn＜8/10n+1　に該当するならば、dn＝7　　
　　　　　　　[case8]　 8/10n+1≦r−rn＜9/10n+1　に該当するならば、dn＝8　　
　　　　　　　[case9]　 9/10n+1≦r−rn＜10/10n+1　に該当するならば、dn＝9　　
　　　　　　と定める。

step(n+1)-2:rn+1の定義　
　　　　　rn+1＝[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋…＋dn/10n＋dn+1/10n+1　　と定める。　
step(n+1)-3:r−rn+1の性質　
　　　　　r−rn+1は、「0≦r−rn+1＜1/10n+1」という性質を満たす。
　　　　　なぜなら、
　　　　　　・　r−rn+1＝r−（[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋…＋dn/10n＋dn+1/10n+1　）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵step(n+1)-2での「rn+1の定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　　＝r−（[r]＋d1/1＋d2/100＋d3/103＋…＋dn/10n）−dn+1/10n+1　
　　　　　　　　　　　　＝r−rn−dn+1/10n+1　　　　　　　　∵step n-2での「rnの定義」をそのまま代入
　　　　　　　　　　　　　＜(dn+1+1)/10n+1−dn+1/10n+1　
　　　　　　　　　　　　　　　　∵step(n+1)-1で「r−rn＜(dn+1+1)/10n+1」を満たすようにdn+1を決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　＝1/10n+1　　　　
　　　　　　　　すなわち、r−rn＜1/10n+1　
　　　　　　・　r−rn+1＝r−（[r]＋d1/10＋d2/100＋d3/103＋…＋dn/10n＋dn+1/10n+1　）　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵step(n+1)-2での「rn+1の定義」をそのまま代入　
　　　　　　　　　　　＝r−（[r]＋d1/1＋d2/100＋d3/103＋…＋dn/10n）−dn+1/10n+1　
　　　　　　　　　　　　＝r−rn−dn+1/10n+1　　　　　　　∵step n-2での「rnの定義」をそのまま代入
　　　　　　　　　　　　≧dn+1/10n+1−−dn+1/10n+1　
　　　　　　　　　　　　　　　　∵step(n+1)-1で「dn+1/10n+1≦r−rn」を満たすようにdn+1を決めたから。
　　　　　　　　　　　　　　　＝０
　　　　　　　　すなわち、0≦r−rn+1

　　：
　　：　


→「十進近似列」定義2
→「十進近似列」冒頭


[10進近似列　―　定義1と定義2は同一]

　・実数rに随伴する整数列d1,d2,d3,…、実数rの10進近似列r1,r2,r3,…についての定義1
　・実数rに随伴する整数列d1,d2,d3,…、実数rの10進近似列r1,r2,r3,…についての定義2
は、表現がことなるだけで、実は同一。
以下、手順を一つずつ追って、見ていく。

step1-1:d1の定義　
  [定義2]　実数rに随伴する整数列第1項d1を、「d1/10≦r−[r]＜(d1+1)/10」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
　[定義1]　実数rに随伴する整数列第1項d1を、d1＝[a1]＝[ 10（r−[r]）]　と定める。　
　[比較]　　「d1/10≦r−[r]＜(d1+1)/10」⇔「d1≦10(r−[r])＜d1+1」だから、
　　　　　　　「d1/10≦r−[r]＜(d1+1)/10」を満たす整数d1　
　　　　　　　　　　＝「d1≦10(r−[r])＜d1+1」を満たす整数d1　
　　　　　　　　　　　＝[10(r−[r])]　∵ガウス記号の定義　　　
　　　　　　　　ここで、ガウス記号の性質より、任意の実数rに対して、０≦r−[r]＜1 だから、０≦10(r−[r])＜10 　
　　　　　　　　したがって、[10(r−[r])]は、必ず、「0から9までの整数」となる。
　　　　　　　以上から、[定義2]のいう「d1/10≦r−[r]＜(d1+1)/10」を満たす「0から9までの整数」d1と
　　　　　　　　　　　　[定義1]のいうrに随伴する整数列第1項d1＝[ 10（r−[r]）]とは
　　　　　　　　　　　　同一だとわかる。　　　　　

step1-2:r1の定義　
　　[定義1]でも、[定義2]でも、実数rの10進近似列第1項r1は、r1＝[r]＋d1/10 で定義されるから、
　　step1-1より、同一になる。

step2-1:d2の定義
  [定義2]　実数rに随伴する整数列第2項d2を、「d2/100≦r−r1＜(d2+1)/100」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
　[定義1]　実数rに随伴する整数列第2項d2を、
　　　　　　　　d2＝[ 10（a1−[a1]）]　∵定義1
　　　　　　　　　＝[100(r−r1)]　∵定義1の別表現　　　
　　　　　と定める。
　[比較]　「d2/100≦r−r1＜(d2+1)/100」⇔「d2≦100(r−r1)＜d2+1」だから、
　　　　　　「d2/100≦r−r1＜(d2+1)/100」を満たす整数d2　
　　　　　　＝「d2≦100(r−r1)＜d2+1」を満たす整数d2　
　　　　　　＝[100(r−r1)]　∵ガウス記号の定義　　　
　　　　　　　　ここで、 [定義2]のstep1-3より、任意の実数rに対して、0≦r−r1＜1/10 だから、０≦100(r−r1)＜10 　
　　　　　　　　したがって、[100(r−r1)]は、必ず、「0から9までの整数」となる。
　　　　　　　以上から、[定義2]のいう「d2/100≦r−r1＜(d2+1)/100」を満たす整数d2と
　　　　　　　　　　　　[定義1]のいうrに随伴する整数列の第2項d2＝[ 10（a1−[a1]）]　＝[ 10（a1−d1）]　とは
　　　　　　　　　　　　同一だとわかる。　　　

step3-1:d3の定義
  [定義2]　実数rに随伴する整数列第3項d3を、「d3/103≦r−r2＜(d3+1)/103」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
　[定義1]　実数rに随伴する整数列第3項d3を、
　　　　　　　　d3＝[ 10（a2−[a2]）]　∵定義1
　　　　　　　　　＝[1000(r−r2)]　∵定義1の別表現　　　
　　　　　　と定める。
　[比較]　「d3/103≦r−r2＜(d3+1)/103」⇔「d3≦103(r−r2)＜d3+1」だから、
　　　　　　「d3/103≦r−r2＜(d3+1)/103」を満たす整数d3　
　　　　　　＝「d3≦103(r−r2)＜d3+1」を満たす整数d3　
　　　　　　＝[103(r−r2)]　∵ガウス記号の定義　　　
　　　　　　　　ここで、 [定義2]のstep2-3より、任意の実数rに対して、0≦r−r2＜1/100 だから、０≦1000(r−r2)＜10 　
　　　　　　　　したがって、[103(r−r2)]は、必ず、「0から9までの整数」となる。
　　　　　　　以上から、[定義2]のいう「d3/103≦r−r2＜(d3+1)/103」を満たす整数d3と
　　　　　　　　　　　　[定義1]のいうrに随伴する整数列の第3項d3＝[a3]＝[ 10（a2−[a2]）]＝[1000(r−r2)]　とは
　　　　　　　　　　　　同一だとわかる。　　　　　

step(n+1)-1:dn+1の定義
  [定義2] 実数rに随伴する整数列第(n+1)項dn+1を、「dn+1/10n+1≦r−rn＜(dn+1+1)/10n+1」を満たす「0から9までの整数」に、定める。
　[定義1] 実数rに随伴する整数列第(n+1)項dn+1を、
　　　　　　　dn+1＝[ 10（an −[an]　）]　∵定義1
　　　　　　　　　＝[10n+1(r−rn)]　∵定義1の別表現　　　
　　　　　とも書ける。
　[比較]　「dn+1/10n+1≦r−rn＜(dn+1+1)/10n+1」⇔「dn+1≦10n+1(r−rn)＜dn+1+1」だから、
　　　　　　「dn+1/10n+1≦r−rn＜(dn+1+1)/10n+1」を満たす整数dn+1　
　　　　　　＝「dn+1≦10n+1(r−rn)＜dn+1+1」を満たす整数dn+1　
　　　　　　＝[10n+1(r−rn)]　∵ガウス記号の定義　　　
　　　　　　　　ここで、 [定義2]step n-3より、任意の実数rに対して、0≦r−rn＜1/10n だから、０≦10n+1(r−rn)＜10 　
　　　　　　　　したがって、[10n+1(r−rn)]は、必ず、「0から9までの整数」となる。
　　　　　　　以上から、[定義2]のいう「dn+1/10n+1≦r−rn＜(dn+1+1)/10n+1」を満たす整数dn+1と
　　　　　　　　　　　　[定義1]のいうrに随伴する整数列の第(n+1)項dn+1＝[an+1]＝[ 10（an −[an]　）]＝[10n+1(r−rn)]　とは
　　　　　　　　　　　　同一だとわかる。　


→「十進近似列」定義1と定義2は同一
→「十進近似列」冒頭


実数の十進近似列の具体例

「随伴する整数列」「十進近似列」は、
　実数の小数表示の理論付け・定義づけのための準備として、しつらえられている。

しかし、何をやっているのか、これだけでは、わかりづらい。

そこで、順序はあべこべになるけれども、
　実数を小数として表示できることを前提してしまったとき、
　　「随伴する整数列」「十進近似列」は、何を意味するのか？
具体的な数値例を通して、みてみよう。

　　　[具体例]
　　　　・「有限桁の小数で表せる正の有理数」の十進近似列（定義1/定義2）　
　　　　・「有限桁の小数で表せる負の有理数」の十進近似列 （定義1/定義2）
　　　　・「循環小数で表せる正の有理数」の十進近似列（定義1/定義2）　
　　　　・「循環小数で表せる負の有理数」の十進近似列（定義1/定義2）
　　　　・「循環しない無限桁の小数でしか表せない正の無理数」の十進近似列（定義1/定義2）
　　　　・「循環しない無限桁の小数でしか表せない負の無理数」の十進近似列（定義1/定義2）


[文献]
　・上野健爾『代数入門1』§2.3(b)実数(p.58)(d)指数と対数(pp.69-71)。　

　・『岩波入門数学辞典』「近似分数approximate fraction」(p.166);





以上、あらかじめ、実数を小数表示できることがわかっているとすると、
・「正の実数」aに随伴する整数列の各項は、実数aの小数点以下の各桁の数を表していること
　「正の実数」aの十進近似列の第n項は、実数aの小数点以下第n位まで残し、小数点以下第(n+1)位以下を切り捨てたものを表していること
・「負の実数」aに随伴する整数列の各項は、「負の実数」aを、「aを超えない最大の整数」＋0.xxx…　とあらわすときの、小数0.xxx…の小数点以下の各桁の数を表していること
　「負の実数」aの十進近似列の第n項は、「負の実数」aを、「aを超えない最大の整数」＋0.xxx…と表すときの、小数0.xxx…の小数点以下第n位までを残し、小数点以下第(n+1)位以下を切り捨てたものを表していること
がわかった。
しかし、実数に随伴する整数列の定義を見直すとわかるように、
　実数に随伴する整数列は、小数の概念を利用しないで、定義されている。
したがって、
　実数の小数表示ができることがわかっていないとき、
　実数の小数表示が定義されていないときでも、
　実数の随伴整数列は定義され、
　さらに、実数の随伴整数列の概念から、実数の小数表示を理論付け、定義することが可能となる。

→[トピック一覧:十進小数展開]
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性質：随伴する数列,随伴する整数列

性質

 ・実数rに随伴する数列　a1,a2,a3,…　のすべての項は、
　　0≦a1＜10
　　0≦a2＜10
　　0≦a3＜10
　　　 ：
　を満たす。
　つまり、(∀n∈N) (0≦an＜10)

・したがって、・実数rに随伴する整数列　d1,d2,d3,…　のすべての項は、
　0から9までの整数（つまり、いつでも1桁）。




[文献] 　

　・赤攝也『実数論講義』§8.4「10進小数」定理8.4.1(pp.239-240);定理8.4.4の後(p.243)



性質

 ・実数rに随伴する数列　a1,a2,a3,…　の第n項anについて、
　　　　[an]　＝9　
　が成立するならば、
　第n項an と 第(n＋1)項an+1 は、　　
　　　 10−an＝(10−an+1)/10　
　を満たす。




[文献] 　

　・赤攝也『実数論講義』§8.4「10進小数」定理8.4.2(p.240):証明付;定理8.4.4の後(p.243)



性質

 ・実数rに随伴する整数列　d1,d2,d3,…　の無限に多くの項は、8以下。

　つまり、無限に多くのn∈Nに対して、 dn≦8




[文献] 　

　・赤攝也『実数論講義』§8.4「10進小数」定理8.4.3(pp.240-1):証明付




→[トピック一覧:十進小数展開]
→総目次


実数の十進近似列が満たす性質

要旨


 ・以下に示す性質は、
　実数rの十進近似列は、単調に増加してrに収束する有理数列になること
　を示している。

性質0

 ・実数rの十進近似列のあらゆる項は、有理数。

性質1

 ・実数rの十進近似列　r1, r2, r3, … は、単調増加列。
　　すなわち、任意の自然数nに対して、rn≦rn＋1　
　※なぜ？
　・実数rに随伴する整数列の性質より、
　　実数rに随伴する整数列　d1,d2,d3,…　のすべての項は、
　　0から9までの整数。
　　だから、任意の自然数nに対して、dn+1≧0 。
　　したがって、　任意の自然数nに対して、dn+1/10n+1≧0 。
　・実数rの十進近似列の定義より、
　　　　任意の自然数nに対して、　 rn+1＝rn＋dn+1/10n+1 。
　　　だから、任意の自然数nに対して、　 rn+1−rn＝dn+1/10n+1
　・上記二点より、
　　　　　任意の自然数nに対して、rn+1−rn≧0
　　　すなわち、任意の自然数nに対して、rn≦rn＋1　　　　　　




[文献]
　・加藤十吉『微分積分学原論』3.3有理数の稠密性(p.30)
　・上野健爾『代数入門1』§2.3(b)実数(p.58):証明なし;(d)指数と対数(pp.69-71):証明なし。
　・『岩波入門数学辞典』「近似分数approximate fraction」(p.166);　





性質2

 ・実数rの十進近似列の各項　　　
1  di /10i


r1＝[r] ＋ d1/10　＝　[r] ＋ 
Σ



i=1




2  di /10i


r2＝[r] ＋ d1/10 ＋ d2/100　＝　[r] ＋ 
Σ



i=1




3  di /10i


r3 ＝ [r] ＋ d1/10 ＋ d2/100 ＋ d3/1000　＝　[r] ＋ 
Σ



i=1

　　：

 rn＝ [r] ＋ d1/10 ＋ d2/100 ＋ d3/1000 ＋ … ＋ dn/10n　＝　[r] ＋ 
n  di /10i


Σ



i=1

　　：
　は、
　　0≦r-r1＜1/10　　
　　0≦r-r2＜1/100
　　0≦r-r3＜1/1000
　　　　：
　　0≦r-rn＜1/10n　　
　　　　：
　を満たす。
　※なぜ？→証明　




[文献]
　・赤攝也『実数論講義』§8.4「10進小数」定理8.4.4(pp.242-243)
　・加藤十吉『微分積分学原論』3.3有理数の稠密性(p.30)：
　・杉浦『解析入門I』定理3.9 (pp.30-31):任意の実数に対して、存在することの証明　







性質3

 ・実数rの十進近似列　r1, r2, r3, …は、上に有界。
　　※なぜ？
　　　性質2より、任意の自然数nに対して、　0≦r-rn
　　　したがって、任意の自然数nに対して、rn≦r　 　　　
・実数rの十進近似列　r1, r2, r3, …は、下に有界。
　　※なぜ？
　　　性質1より、任意の自然数nに対して、 r1≦rn
・上記二点より、
　実数rの十進近似列　r1, r2, r3, …は、有界。

性質4

 ・実数rの十進近似列　r1, r2, r3, …は、rに収束する。
　　　　このとき、無限級数d1/10＋d2/100＋d3/1000＋…は収束する。
　つまり、
n  di /10i


rn＝ [r] ＋ 
Σ
  → r 　（n→∞）　


i=1


　無限級数の収束・和の記号を用いて書き直すと、
∞  di /10i


[r] ＋ 
Σ
  ＝r


i=1


　※なぜ？
　　・性質1,3より、
　　　実数rの十進近似列　r1, r2, r3, …は、有界な単調増加列だから、
　　　定理より、実数rの十進近似列　r1, r2, r3, …は収束する。　　　　
　　・性質2より、任意の自然数nに対して、　0≦r-rn＜1/10n　
　　　だから、｜r-rn｜＜1/10n　…(1)
　　・1/10n→0　（n→∞）(証明略)。
　　　これを、数列の収束の厳密な定義で書き下すと、
　　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒| 1/10n −0|＜ε) 　
　　　　つまり、
　　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒| 1/10n |＜ε)
　　　　0＜1/10n だから、
　　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ 1/10n ＜ε)　…(2)
　　　　となる。
　　・(1)と(2)をあわせて考えると、
　　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ ｜r-rn｜＜1/10n ＜ε)　
　　　要するに、
　　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ ｜r-rn｜ ＜ε)　
　　　これは、「rn→r （n→∞）」の厳密な定義に他ならない。　　　　
　




[文献]
　・赤攝也『実数論講義』§8.4「10進小数」定理8.4.4(pp.242-243)
　　　　　　この証明の最後の部分(p.243)が、無限級数d1/10＋d2/100＋d3/1000＋…の収束の証明にあてられている。
　・加藤十吉『微分積分学原論』3.3有理数の稠密性(p.30)：
　・杉浦『解析入門I』定理3.9 (pp.30-31):任意の実数に対して、存在することの証明　





→[トピック一覧:十進小数展開]
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実数の十進小数展開 decimal expression

定義

 ・「実数rの十進小数展開」「実数rの小数展開」「実数rの小数表示」とは、
　　　実数rに随伴する整数列　d1,d2,d3,…　を用いて、
　　　実数rを
　　　　　　[r].d1　d2 d3　…
　　　というかたちで表すことをいう。
・「実数rの十進小数」「実数rの小数」とは、
　　　実数rに随伴する整数列　d1,d2,d3,…　を用いて、
　　　実数rを
　　　　　　[r].d1　d2 d3　…
　　　と表す表現のことをいう。

・実数rが　「　[r] . d1　d2 d3　…　」と十進小数展開されるということは、
n  di /10i


rn＝[r] ＋ 
Σ
 → r 　（n→∞）　


i=1

　が成り立つということ、
　無限級数の収束・和の記号を用いると、
∞  di /10i


[r] ＋ 
Σ
  ＝ r


i=1

　が成り立つということ
　を意味している（→十進近似列の性質3）
　


[文献]
　・赤攝也『実数論講義』§8.4「10進小数」定理8.4.4(pp.242-243)
　・加藤十吉『微分積分学原論』3.3有理数の稠密性(p.30)
　・『岩波入門数学辞典』「近似分数approximate fraction」(p.166);「小数展開decimal expression」(p.278)
　・上野健爾『岩波講座現代数学への入門7-8：代数入門1』§2.3(b)実数(p.58)(d)指数と対数(pp.69-71)。：
　・杉浦『解析入門I』定理3.9 (pp.30-31):任意の実数に対して、存在することの証明
　・吉田栗田戸田『高等学校 微分積分』1章4無限小数(pp.22-23)　

　・小平『解析入門I』§1.1(pp.3-9);§1.2-c(pp.14-16);§1.4-f (pp.34-5):　









→[トピック一覧:十進小数展開]
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性質

 ・任意の整数と、＊＊を満たす整数列に対して、
　それを整数部分、随伴整数列とする実数が存在する。




[文献] 　

　・赤攝也『実数論講義』§8.4「10進小数」定理8.4.5;定理8.4.6(pp.244-245)
　

→[トピック一覧:十進小数展開]
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