| 距離空間のあいだの連続写像とコンパクト性・連結性：トピック一覧 |
|
・定理：連続写像のコンパクト不変性/コンパクト空間上の連続写像の一様連続性 ・定理：連続写像の連結不変性 |
|
※ 距離空間の間の写像の諸概念：写像の定義/極限の定義/連続性の定義/※距離空間のあいだの連続写像の性質の具体例：1変数連続関数の性質/ 2変数連続関数の性質/ n変数連続関数の性質/ 実数値連続関数一般の性質/ベクトル値連続関数の性質 ※距離空間のあいだの連続写像の性質の一般化：位相空間のあいだの写像 →総目次 |
| 定理：距離空間のあいだの連続写像のコンパクト不変性 | |||
|
要旨 |
コンパクト空間を 連続写像によって写した像はコンパクト。 |
||
|
設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台の上で成り立つ。 ・集合X ・集合Y Step2：「集合X」から「集合Y」への写像 f を用意。 つまり、「 f：X→Y 」 Step3：集合Xに距離dX を定めて、 集合X上に距離空間( X , dX )を設定。 Step4：集合Yに距離dY を定めて、 集合Y上に距離空間( Y , dY )を設定。 |
[ 具体例]1変数関数/2変数関数/ n変数関数/実数値関数/ベクトル値関数[一般化]位相空間のあいだの写像のケース [ 文献]矢野『距離空間と位相構造』定理4.7(p.131) ルディン『現代解析学』4.14(p.87)距離空間一般上。 斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』3.4.19 (p.90):ベクトル値関数で;5.2.10 (p.144):位相空間間の写像で; |
|
|
定理 |
命題 P「写像『f：X→Y』がX上連続」かつ 命題Q「Xがコンパクト」 ならば、 命題R「写像『f：X→Y』によるXの像 f (X) はコンパクト」 |
||
|
[トピック一覧：連続･コンパクト・連結] →総目次 |
|
|||
|
コンパクト距離空間上の連続写像は一様連続 |
||||
|
舞台設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台の上で成り立つ。 ・集合X ・集合Y Step2：「集合X」から「集合Y」への写像 f を用意。 つまり、「 f：X→Y 」 Step3：集合Xに距離dX を定めて、 集合X上に距離空間( X , dX )を設定。 Step4：集合Yに距離dY を定めて、 集合Y上に距離空間( Y , dY )を設定。 |
[ 具体例]・1変数関数/2変数関数/ n変数関数/実数値関数/ベクトル値関数 [ 文献]矢野『距離空間と位相構造』定理4.6(p.131) 松坂『集合・位相入門』6章§3-A定理6(p.254) 神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.6.6(p.159)。 ルディン『現代解析学』4.19(p.88):証明付。 斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』5.4.2 (p.168); |
||
|
定理 |
命題 P「写像『f：X→Y』がX上連続」かつ 命題Q「Xがコンパクト」 ならば、 命題R「写像『f：X→Y』がX上一様連続」 |
|||
|
→ [トピック一覧：連続･コンパクト・連結]→総目次 |
| 定理：距離空間のあいだの連続写像の連結不変性 | |||
|
要旨 |
連結な距離空間を 連続写像によって写した像は連結。 |
||
|
設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台の上で成り立つ。 ・集合X ・集合Y Step2：「集合X」から「集合Y」への写像 f を用意。 つまり、「 f：X→Y 」 Step3：集合Xに距離dX を定めて、 集合X上に距離空間( X , dX )を設定。 Step4：集合Yに距離dY を定めて、 集合Y上に距離空間( Y , dY )を設定。 |
[ 具体例]1変数関数の中間値定理/2変数関数の中間値定理/ n変数関数の中間値定理/ベクトル値関数の連結不変性 [一般化]位相空間のあいだの写像のケース [ 文献]ルディン『現代解析学』4.22(p.91):証明付。 矢野『距離空間と位相構造』定理5.5(p.168):位相空間間の写像で。 松坂『集合・位相入門』5章§1定理1(p.196):位相空間間の写像で。 斉藤『数学の基礎：集合･数･位相』5.3.4 (p.161):位相空間間の写像で; |
|
|
定理 |
命題 P「写像『f：X→Y』がX上連続」かつ 命題Q「Xが連結」 ならば、 命題R「写像『f：X→Y』によるXの像 f (X) は連結」 |
||
|
→ [トピック一覧：連続･コンパクト・連結]→総目次 |
|