| 比例関係を表す関数y=axの諸属性 ：トピック一覧 |
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・グラフ/増減/値域/単射/全射/全単射/逆関数/極限/連続/ 凹凸/ |
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※1変数関数の具体例：y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x → 自然数指数の冪関数/整数指数のべき関数/有理数指数のべき関数/実数指数のべき関数 定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数 指数関数/対数関数 絶対値関数/三角関数 /ガンマ関数 ※1変数関数に関する諸概念の定義：1変数関数一般の定義/極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分 ※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般 ※総目次 |
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| 比例関係を表す関数 y=f(x)= ax |
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グラフ |
・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f(x)=ax（a≠0）のグラフは、「R2上の直線」であって、 ・原点(0,0)で、x軸,y軸と交差し、 ・「xの増分1に対して、yの増分a」という一定不変の「傾き」をもつ。 | |
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| y= f(x)=ax の増減 | ||
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| ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= ax（a≠0）は、 ・a＞0ならば、(－∞,＋∞)で狭義単調増加関数 ・a＜0ならば、(－∞,＋∞)で狭義単調減少関数 （以上二点をまとめると、a≠0ならば、(－∞,＋∞)で狭義単調関数） ・a＝0ならば、(－∞,＋∞)でy=f (x)は、bのまま一定不変である（→定数値関数） |
[文献] |
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| y= f(x)=ax の値域 | ||
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| ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= ax（a≠0）の値域は、R＝(－∞,∞） |
[文献]・ |
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| y=f(x)= axは非有界 | ||
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| ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= ax（a≠0）は、上にも下にも有界でない。 |
[文献]・ |
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| y=f(x)= ax と全単射 | ||
|---|---|---|
| ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= ax（a≠0）は、 a≠0ならば 単射((－∞,＋∞)で狭義単調だから)。 a＝0ならば 単射にならない(f (x)=bを満たすxが複数個あるから)。 ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= axは、 a≠0ならば Rの上への全射（値域がR＝(－∞,∞）だから）。 a＝0ならば Rの上への全射ではない（値域が{b}だから）。 ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= axは、 a≠0ならば Rの上への全単射となる。 |
[文献]・笠原皓司『微分積分学』1.4例1(p.23):一次関数について。・『解析演習ハンドブック1変数関数編』ex1.1.12-(i)(p.11):一次関数について。 |
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| y=f(x)= ax の逆関数 | ||
|---|---|---|
| ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= axの逆関数は、a≠0ならば存在する。 ※なぜ？a≠0ならば、y=f (x)= axは、R＝(－∞,∞）で狭義単調関数であるから（∵）、 「f :R→R」は全単射となって、 逆関数の存在が保証される（∵）。 ・a≠0のとき、R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= axの逆関数は、 y=g(x)= x/a ※なぜ？ step1: y= axを逆に解いて、x= y/a （詳しく言うと、両辺をaで割って、左辺右辺入替る） ここで、関係としてみると、x=f-1(y)=y/a となっている step2:慣例にしたがって、「x=y/a」のxとyを入れ替えると、 y= x/a。 これを、y=f (x)= axの逆関数 y=g(x)として、提示すればよい。 ・a＝0のとき、R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= axの逆関数は存在しない。 →定数値関数の逆関数 |
[文献：一次関数一般に関して]・和達『微分積分』2-1例題2.1(p.18) ・高橋『経済学とファイナンスのための数学』2.1-Ⅴ(p37) [文献：一次関数の具体例に関して]・『解析演習ハンドブック1変数関数編』ex1.1.12-(i)(p.11):f(x)=5x-2・小林昭七『微分積分読本:1変数』2章3.(pp.54-55;pp.56-8):f(x)=2x-1 ・啓林館『昭和62年3/31検定済 高等学校 数学I 新訂版』5章6(pp.142-3):f(x)=-2x+30,f(x)=-3x+12, ・笠原皓司『微分積分学』1.4例1例7(p.24):f(x)=2x-3 ※1変数関数の「逆関数（の存在）」定義 ※1変数関数の具体例の「逆関数（の存在）」について： 定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数 指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数 |
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| y= f(x)=ax（a≠0） の極限 | ||
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| ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= ax（a≠0）は、 どんな実数x0に対しても、 f(x)→ax0 (x→x0) ※なぜ？ ・y=g(x)=xの極限の性質より、 y=g(x)= xは、 どんな実数x0に対しても、 g(x)→x0 (x→x0)。 ・「関数の定数倍」の極限は、「関数の極限」の定数倍となるという定理と、 上記で得られた「g(x)の極限値」より、 ag(x)→ax0 (x→x0) ・したがって、f (x)=ag (x)= axは、 どんな実数x0に対しても、 f(x)→ax0 (x→x0) 。 |
[文献]・赤攝也『実数論講義』§6.3例4(p.176):連続性を、直接「ε-δ論法」から証明したもののなかで。 ・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.1.5(p.109）: ・多項式関数一般に関して。 ・定数関数の極限、f(x)=xの極限と、関数の極限の和積による証明つき。 ・黒田『微分積分学』3.3.2-例3.16(p.102):「任意の多項式はRで連続」。 ・証明として、 定数関数とf(x)=xがRで連続だから、連続関数の和差積・定数倍も連続関数より。 ※1変数関数の極限定義 ※1変数関数の具体例の極限： 定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数 指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数 |
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| 一次関数y= f(x)=ax（a≠0） の連続性 | ||
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| ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= ax（a≠0）は、 R＝(－∞,∞）上の連続関数。 ※なぜ？―証明1 以下、三点から。 ・y=f (x)= axという定義より、どんな実数x0に対しても、f(x0)= ax0 ・y=f(x)=axの極限の性質より、どんな実数x0に対しても、f(x)→ax0 (x→x0) ・以上二点より、どんな実数x0に対しても、f(x)→ax0 (x→x0) つまり、R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= ax（a≠0）は、 どんな実数x0においても、連続性の定義を満たす。 したがって、 R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= ax（a≠0）は、 R＝(－∞,∞）上の連続関数。 ※なぜ？―証明2 以下、三点から。 ・定数値関数の連続性より、y=g (x)= aは、R＝(－∞,∞）上の連続関数。 ・y=f(x)=xの連続性より、y=h(x)= xは、R＝(－∞,∞）上の連続関数。 ・連続関数の積も連続関数となるから、 上記二点より、g (x)h(x)=f (x)= axも、R＝(－∞,∞）上の連続関数。 |
[文献]・赤攝也『実数論講義』§6.3例4(p.176):直接「ε-δ論法」で証明している。・黒田『微分積分学』3.3.2-例3.16(p.102):「任意の多項式はRで連続」。 →証明：定数値関数の連続性・y=f(x)=xの連続性、連続関数の和積定数倍も連続 ・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.2.7(p.115）:多項式一般。 ・証明：多項式関数の極限の性質より。 ・小林昭七『微分積分読本:1変数』第2章-1(p.38):多項式一般。証明: →証明：定数値関数の連続性・y=f(x)=xの連続性、連続関数の和積も連続 ※1変数連続関数の定義 ※1変数関数の具体例の連続性： 定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数 指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数 |
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| y=f(x)= ax の導関数 | ||
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