実数における乗法の性質　：　トピック一覧　

・定義：逆数/商 　
・性質：結合則/可換則/１との積/逆数との積/自らによる商　
※実数関連ページ：実数体･実数の定義/デデキントの連続性公理/実数体上の順序概念　
※実数の性質関連ページ：加法/乗法/加法･乗法の関係/不等式/不等式と加法･乗法の関係　　
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定義：逆数

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　
　x-1： x∈R−{0}に対する乗法の逆元。

【定義】


　「０を除く実数」xの逆数、
　　すなわち、　x∈R−{0}の逆数とは、
　　　　「０を除く実数」x∈R−{0}に対する乗法の逆元x-1　のこと。




[文献]


　・赤『実数論講義』定義2.2.3(p.41)　　　　　　　　　　　　　　　




※実数体の定義‐条件A-3より、加法の単位元0を除く全ての実数に対して（すなわち、任意のx∈R−{0}に対して）x-1は存在する。




　 　

定義：実数体における「商」　　

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　
　x-1： x∈R−{0}に対する逆数。

【定義】


　　bを実数、aを0以外の実数とする。
　　bのaによる商
　　　b／a （ただしb∈R, a∈R−{0}）
　　とは、
　　「実数b」と「実数aに対する乗法の逆元：a-1」との乗法　
　　　　ba-1　
　　のことをいう。
　　　




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2.1四則演算(p.24)
　・杉浦『解析入門I』1章§1実数(p.2)　　　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』定義2.2.4(p.41)　　　　　　　　　　　　　　　　　　




※　左記から、1／a = 1a-1 =a-1 　∵1との積





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実数における乗法の結合則

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】


　どんなふうに、実数x,y,zを選んでも、 ( xy ) z = x ( yz ) が成り立つ。
　つまり、　 ∀x,y,z∈R にたいして、  ( xy ) z = x ( yz )
 

【なぜ？】


　実数体の定義-A-2-1より、
　　・( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )を満たす代数系Xを、
　　　　実数体Rとよび　
　　・実数体Rの元を実数と呼ぶ
　のだから、
　( ∀x,y,z∈R ) ( ( xy )z = x ( yz ) )は必ず成り立つ。
　成り立たなければ、それらは実数ではない。　
　　　




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』第2章　　　　　　　　　　　　　　　　　

実数における乗法の可換則

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】


　　どんなふうに、実数x,yを選んでも、 xy = yx が成り立つ。
　　つまり、　 ∀x,y∈R にたいして、  xy = yx
 

【なぜ？】


　　実数体の定義-A-2-2より、
　　　・∀x,y∈Xに対して、 xy = yxを満たす代数系Xを、
　　　　実数体Rとよび　
　　　・実数体Rの元を実数と呼ぶ
　　のだから、
　　∀x,y∈Rに対して、xy = yxは必ず成り立つ。
　　成り立たなければ、それらは実数ではない。
　　　




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』第2章　　　　　　　　　　　　　　　　　


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1との積の性質

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】


　　どんなふうに、実数xを選んでも、 1x=x が成り立つ。

　　つまり、　 ∀x∈R にたいして、 1x=x

【なぜ？】


　　実数体の定義A-2より、
　　　・「単位元1：　(∀x∈X) ( 1x = x かつ x1 = x )を満たす1∈X」
　　　　が存在する代数系Xを、
　　　　実数体Rとよび　
　　　・実数体Rの元を実数と呼ぶ
　　のだから、
　　( ∀x∈R ) ( 1x=x )は必ず成り立つ。
　　成り立たなければ、それらは実数ではない。 　




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』第2章　　　　　　　　　　　　　　　　　

自らの逆数との積の性質

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】


　　どんなふうに、0以外の実数を選んでも、 その逆数との積は1。

　　つまり、　  ∀x∈R−{0} にたいして、x-1x =xx-1=1

【なぜ？】


　　実数xの逆数x-1、すなわち、実数xに対する乗法の逆元x-1の定義より、
　　x-1はx-1x =xx-1=1を満たす。




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』第2章　　　　　　　　　　　　　　　　　


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商の性質

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】


　　どんなふうに、0以外の実数を選んでも、 それ自身との商は1。

　　つまり、 ∀x∈R−{0} にたいして、 x／x= 1

【なぜ？】


　　商の定義より、 x／x=xx-1。逆数の性質より、xx-1=1 。




[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』第2章　　　　　　　　　　　　　　　　　


reference

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp.417-418), 168.順序 (pp.440-441). 項目183数:E.実数 (p.475).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§5定義2.5.13(p.58)

【解析学テキストのなかで】

小平邦彦『解析入門I』(軽装版)岩波書店、2003年、§1.5-a上限下限(pp.36-7.)。
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、§3.数の集合・上限・下限(pp.1-5.)
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、§1実数(pp.1-9).
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.1実数(pp.1-7).。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.3-5.
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)。
赤攝也『実数論講義』SEG出版、1996年。
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。

【数理経済学テキストのなかで。】

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64

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