2.解説：対応との関連/一意対応との関連/単射・全射との関連
3.写像の具体例の列挙・写像でない対応の具体例の列挙
[定義]
集合Aの各元ごとに、それに対応する「集合Bの元」を一つずつ定める規則
のことをいう。「 f:A→B 」と表す。
・「集合Aを定義域とする写像mapping」「集合Aで定義された写像mapping」とは、
集合Aの各元ごとに、その対応者を一つずつ定める規則
のことをいう。「f」などの記号で表す。[松坂『集合・位相入門』第1章§4.E(p.38)]
※上記2表現の違い→詳細
※「規則」という表現をとらない集合一元論的定義もある[→斉藤『数学の基礎』1.2.1(p.10)]
・特に、実数の集合R（の部分集合）から実数の集合Rへの写像は、
関数と呼ばれることが多い。（そうでなくても、写像を関数と呼ぶこともある。）
この件については、写像の具体例の列挙参照。
[文献―全般]
・『岩波数学辞典（第三版）』項目57B対応;項目58B関数;項目162C写像;[文献―集合論]
・松坂『集合・位相入門』第1章§3.E(pp.27-9);・佐久間『集合・位相―基礎から応用まで―』1.4(pp.16-22);
・中内『数学の基礎体力をつけるためのろんりの練習帳』定義3.2.1(p.150)
・志賀『集合への30講』12講(p.70)
・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義1.2.1(p.27)
・ブルバキ『数学原論・集合論・要約』§2-1(p.9)
******
・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』1.2.1(pp.10-11):集合一元論的定義
・竹内外史『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』(pp.105-9):集合一元論的定義
[文献―解析]
・ラング『ラング現代微積分学』0章§2(p.5)・松坂『解析入門1』2.1-A(pp.55-58)
・笠原皓司『微分積分学』1.4(p.22)
・黒田『微分積分学』3.1.2(p.85)
・高橋『経済学とファイナンスのための数学』2.1(pp.27-8)対応との対比
・神谷浦井『経済学のための数学入門』1.3.2(p.34)
・岡田『経済学・経営学のための数学』4.1(p.154)
・Fischer, Intermediate Real Analysis, Ⅱ.2.Def2.2 (pp.44-45):domain,range,image,
[文献―確率]
・佐藤『はじめての確率論』pp.166-167。[関連事項]
・対応の諸類型：分類基準/対応/一意対応/一対一対応/単射/全射/全単射→一覧表：対応の分類基準と6分類の定義
→ベン図：対応の6分類の包含関係
[定義]
・「集合Aで定義された写像f」と表現された写像において、写像fの定義域domainとは、
集合Aのこと。
※厳密には、集合Aは、fの始集合かつfの定義域となっている。
詳しくは「対応の定義域」を参照。
[→写像定義冒頭]
[定義]
集合B～すなわち《集合Aの各元に対して、写像fが割り当てた対応者》が属す集合～
のこと[松坂『解析入門1』]。
・「集合Aで定義された写像f」と表現される写像においては、
写像fの 終集合（《集合Aの各元に対して、写像fが割り当てた対応者》が属す集合）
は不特定[→詳細]。
・前者で表現された写像では、終集合が特定されているが、
後者で表現された写像では、終集合が不特定。
ここには、写像の終集合の取り扱いをめぐる立場の違いがある。[→詳細]
※斉藤『数学の基礎：集 合・数・位相』は、Bを値域と呼んでいるようだが、どうだろう？
[→写像定義冒頭]
[定義]
写像「f:A→B」によって「集合Aの元a」に対応付られた「集合Bの元」のこと。
・「集合Aで定義された写像f」において「fによるaの像」 f (a)とは、
写像fによって「集合Aの元a」に対応付られたもののこと。
（写像のこの表現では、fの像がどの集合に属すかは不特定）
・「『写像fによるaの像』が{b}である」は、
本来「f(a)＝{b}」と書くべきであるが、普通は「f(a)＝b」とだけ書く。
・以下は、「『写像fによるaの像』がbである f(a)＝b 」と同義。
・「aにおけるfの値はbである。」
・「fはaにbを対応させる」
・「fはaをbに写す」
[『岩波数学辞典（第三版）』項目162C]
[ 松坂『集合・位相入門』第1章§3.E(pp.27-8);]
[→写像定義冒頭]
[定義]
「『終集合Bの元』bの、写像fによる原像・逆像 inverse image」とは、
「写像fによって『終集合Bの元』bを割り当てられた『定義域Aの元』」
「写像fによる像が『終集合Bの元』bとなる『定義域Aの元』」
をあつめた集合
のこと。
{ a∈A | f(a)=b }
のこと。
・「集合Aで定義された写像f」において
「bの、写像fによる原像・逆像 inverse image」とは、
とは、
「写像fによってbを割り当てられた『定義域Aの元』」
「写像fによる像がbとなる『定義域Aの元』」
をあつめた集合
のこと。
・写像「f:A→B」における「『終集合Bの元』bの、写像fによる原像・逆像」
「集合Aで定義された写像f」における「bの、写像fによる原像・逆像」
を、記号 f－1(b) で表す。
・もちろん、
写像「f:A→B」における「『終集合Bの元』bの、写像fによる原像・逆像」
「集合Aで定義された写像f」における「bの、写像fによる原像・逆像」
は、集合Aの部分集合になっている。
f－1(b)＝{ a∈A | f(a)=b } ⊂ A
[→写像定義冒頭]
※
[写像の2表現―終集合の扱いによる違い]
・「集合Aから集合Bへの写像」f:A→Bという表現では、《集合Aの各元に対して、写像fが割り当てた対応者》が属す集合が特定されている(ここではB)が、
「集合Aを定義域とする写像」「集合Aで定義された写像」fという表現では、
《集合Aの各元に対して、写像fが割り当てた対応者》が属す集合が特定されていない。
このような終集合の取り扱いをめぐる2表現間の違いは、写像の同一性の扱いの違いを生じさせる。
・「集合Aから集合Bへの写像」f:A→Bの対応規則
～すなわち、集合Aの各元ごとに、それに対応する「集合Bの元」を一つずつ定める規則～
は、そのまま、集合Aの各元ごとに、それに対応する「集合Bを含む集合B'の元」を一つずつ定める規則ともみなせる。
しかし、「集合Aから集合Bへの写像」f:A→Bと表現された写像fでは、
《集合Aの各元に対して、写像fが割り当てた対応者》が属す集合は、集合Bでなければならないから、
写像fを「集合Aの各元ごとに、それに対応する『集合Bを含む集合B'の元』を一つずつ定める規則」とみなした途端、
fとは別の写像として扱って、「集合Aから集合B'への写像」g:A→B'などと表さなければならない。
・ところが、
「集合Aで定義された写像」fと表現された写像fでは、
《集合Aの各元に対して、写像fが割り当てた対応者》が属す集合は、
「《集合Aの各元に対して、写像fが割り当てた対応者》を全て集めた集合」（すなわち「値域」）を含む集合
であるかぎり、どれでもよい。
だから、《集合Aの各元に対して、写像fが割り当てた対応者》が属す集合を集合Bにみようが、
《集合Aの各元に対して、写像fが割り当てた対応者》が属す集合を、集合Bを含む集合B'にみようが、写像fは写像fである。
[→松坂『集合・位相入門』第1章§4.E(p.37);]
[→写像定義冒頭]
※
「写像の終集合（の異同）を重視する立場」「写像の終集合（の異同）を重視しない立場」
・写像「f:A→B」にたいして、以下の3条件を満たす写像gをつくることができる。[条件1] 「f:A→B」と同一の対応規則を有す。
[条件2] 「f:A→B」と同一の定義域を有す。
[条件3] 「f:A→B」の値域f(A)を含む集合S（≠B）を終集合とする。
つまり、写像「f:A→B」にたいして、
「(∀x∈A) (g(x)=f(x)) かつ S⊃ f(A) かつ S≠B 」を満たす写像「g:A→S」
をつくることができる。
写像「f:A→B」と写像「g:A→S」は、対応規則も定義域も値域も同一だが、終集合だけ異なる写像である。
・この、終集合だけ異なる写像「f:A→B」「g:A→S」をどう取り扱うかについては、
「写像の終集合（の異同）を重視する立場」と「写像の終集合（の異同）を重視しない立場」に分かれる。
・「写像の終集合を重視する立場」は、
対応規則も定義域も値域も同一とはいえ、終集合が異なる以上、写像「f:A→B」「g:A→S」を異なった写像として扱う
とする立場である。
実際、ある側面においては、写像「f:A→B」と「g:A→S」とは、異なった性質を帯びることがある。
たとえば、全射ではない写像「f:A→B」にたいして、
対応規則も定義域も値域も同一だが、終集合だけ集合Bから値域f(A)に変えた写像「g:A→ f(A)」をつくると
写像「f:A→B」は全射でないのに、写像「g:A→ f(A)」は全射となる、
といったように。
・「写像の終集合を重視しない立場」は、写像「f:A→B」「g:A→S」を同一の写像として扱う立場である。
この立場は、個々の写像・関数の本性を、定義域の各元へ像を対応させる規則に見ている。
だから、対応規則も定義域も同一の（したがって値域も同一の）「f:A→B」「g:A→S」は、同一の本性を有す写像であって、
《どの「値域を含む集合」を終集合としているか》という、本性から外れた《うわべ》だけの違いは、無視してかまわないのであって、
同一の本性を有す「f:A→B」「g:A→S」は、同一の写像として扱ってよい、
ということになる。
・「写像の終集合を重視しない立場」は、そもそも終集合に興味がないのだから、
終集合を明示した「f:A→B」「g:A→S」といったスタイルで写像を表現する必要もない、
定義域と規則を表す記号だけを明記すればよい。
だから、「Aを定義域とする写像f」「Aで定義された写像f」という表現が、この立場には適当である。
そして、この立場では、
上記の《対応規則も定義域も値域も同一だが、終集合だけ異なる写像》「f:A→B」「g:A→S」は、どちらも、一緒ごたにされて、
「Aを定義域とする写像f」「Aで定義された写像f」と呼ばれることになるだろう。
[→松坂『集合・位相入門』第1章§4.E(p.37);]
[→写像定義冒頭]
[解説]
[対応との関連]
・対応との関連で述べると、集合Aから集合Bへの写像とは、
「集合Aから集合Bへの対応」の特別なもの。
・対応「f:A→B」は、
同一の「始集合Aに属す元」に対して割り当てる「終集合Bに属す元」の個数が、
→ベン図：対応の6分類の包含関係
でも、
[ケース1]1個
でも
[ケース2]複数個
でも、かまわなかった。
つまり、
対応「f:A→B」では、
[ケース0]同一の「始集合Aに属す元」に対する
「終集合Bに属す元」0個の割り当て
つまり、f(a)＝φ
（1対0の割り当て）
も、
[ケース1]同一の「始集合Aに属す元」に対する
「終集合Bに属す元」一個の割り当て
（1対1の割り当て）
つまり、f(a)＝一元集合。たとえば、f(a)＝{b}
も、
[ケース2]同一の「始集合Aに属す元」に対する
複数個の「終集合Bに属す元」の割り当て
（1対多の割り当て）
たとえば、f(a)＝{b1,b3}, f(a)＝{b1,b2,b3}
も、すべてありえた。
・これらの「始集合Aに属す元」に対する割り当てかたのうち、
[ケース1]同一の「始集合Aに属す元」に対する
「終集合Bに属す元」一個の割り当て
のみからなる対応「f:A→B」が、写像または関数である。
・すなわち、集合Aから集合Bへの写像・関数とは、
対応f：A→B
のなかで、
任意のa∈Aに対して、f(a)＝一元集合
すなわち、(∀a∈A) (∃b∈B) ( f(a)＝{b} )
を満たすもの
に他ならない。
・「写像ではない対応」「関数ではない対応」とは、
・[ケース0]同一の「始集合Aに属す元」に対する
「終集合Bに属す元」0個の割り当て
つまり、f(a)＝φ
（1対0の割り当て）
または
・[ケース2]同一の「始集合Aに属す元」に対する
複数個の「終集合Bに属す元」の割り当て
（1対多の割り当て）
たとえば、f(a)＝{b1,b3}, f(a)＝{b1,b2,b3}
が、一回でも為されている対応のこと。
・すなわち、
「対応『f：A→B』が写像ではない」
「対応『f：A→B』が関数ではない」
とは、
対応『f：A→B』が
(∃a∈A)(f(a)≠一元集合)
⇔(∃a∈A)(f(a)＝φまたはf(a)＝「複数個の元が属す集合」)
を満たすことをいう。
・対応の用語である「対応の定義域」「一意対応」を使って、
以上を述べなおすと、
写像・関数とは、
下記2条件を同時に満たす対応のことだ、ということになる。
(条件1) 始集合全体が定義域
(条件2) 一意対応である
→[写像冒頭]
[ケース2の例]
[一意対応との関連]
・一意対応との関連で述べると、
集合Aから集合Bへの写像とは、
「集合Aから集合Bへの一意対応」の特別なもの。
・一意対応「f:A→B」は、
「始集合Aに属す元」に対して割り当てる「終集合Bに属す元」の個数が、
[ケース0] 0個
でも、
[ケース1] 1個
でも、かまわなかった。
つまり、
一意対応「f:A→B」では、
[ケース0]「始集合Aに属す元」に対する
「終集合Bに属す元」0個の割り当て
つまり、f(a)＝φ
（1対0の割り当て）
も、
[ケース1]「始集合Aに属す元」に対する
「終集合Bに属す元」一個の割り当て
（1対1の割り当て）
たとえば、f(a)＝{b}
も、ありえた。
・この二通りの「始集合Aに属す元」に対する割り当てかたのうち、
[ケース1]「始集合Aに属す元」に対する
「終集合Bに属す元」一個の割り当て
のみからなる一意対応「f:A→B」が、写像または関数である。
・つまり、
「一意対応『f:A→B』が、写像または関数である」とは、
一意対応『f:A→B』が、
任意のa∈Aに対して、f(a)＝一元集合
すなわち、(∀a∈A) (∃b∈B) ( f(a)＝{b} )
を満たすことを言う。
・「写像ではない一意対応」「関数ではない一意対応」とは、
[ケース0]同一の「始集合Aに属す元」に対する
「終集合Bに属す元」0個の割り当て
つまり、f(a)＝φ （1対0の割り当て）
が、一回でも為されている一意対応のこと。
・すなわち、
「一意対応『f：A→B』が写像ではない」
「一意対応『f：A→B』が関数ではない」
とは、
一意対応『f：A→B』が
(∃a∈A) (f(a)＝φ)
を満たすことをいう。
・対応の定義域の概念を使って、以上を述べなおすと、
写像・関数とは、
始集合全体が定義域 となっている一意対応である
となる。
→[写像冒頭]
→ベン図：対応の6分類の包含関係
[ケース0の例]
[ケース1の例]
[単射/全射との関連]
・写像・関数の下位類型に、単射、全射、全単射がある。
・写像・関数の定義は、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」について、
「1個」と限定しているものの、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」については、
一切問題にしていない。
したがって、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」が
何個であろうが、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」が
いつでも「1個」
でありさえすれば、写像・関数と呼んで差し支えない。
・これに対して、単射、全射、全単射の各概念の定義は、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数は1個だけ」
という写像・関数の定義を満たすばかりか、
「同一の《終集合の元》を割り当てられ《定義域の元》の個数」
についての限定条件を満たすことまで要求する。
・単射の定義は、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」を
1個に限定することに加え、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」を、
0個または1個（右図ケース0,1）に限定する。
つまり、
・どの《定義域の元》についてであれ、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」が
いつも1個
かつ
・どの《終集合の元》についてであれ、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」が、
0個ないし1個（右図ケース0,1）のいずれか）
である対応は、単射と呼んでよいが、
・どの《定義域の元》についてであれ、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」が
いつも1個
であっても、
・《終集合の元》によっては、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」が、
2個以上になる割り当て（右図ケース2）が存在する
ような対応は、
単射と呼んではならない。
・全射の定義は、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」を
1個に限定することに加え、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」を、
1個以上（右図ケース1,2）に限定する。
（だから、全射では、
割り当てられずに売れ残る《終集合の元》が出るような割り当てかた
は、排除される→右図ケース0）
つまり、
・どの《定義域の元》についてであれ、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」が
いつも1個
かつ
・どの《終集合の元》についてであれ、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」が、
いつも、1個以上
である対応は、全射と呼んでよいが、
・どの《定義域の元》についてであれ、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」が
いつも1個
であっても、
・割り当てられずに売れ残る《終集合の元》が出る（右図ケース0)
ような対応は、
全射と呼んではならない。
・全単射の定義は、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」を
1個に限定することに加え、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」を、
1個に限定する(右図ケース1)。
つまり、
・どの《定義域の元》についてであれ、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」が
いつも1個
かつ
・どの《終集合の元》についてであれ、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」が、
いつも1個
である対応は、全単射と呼んでよいが、
・どの《定義域の元》についてであれ、
「同一の《定義域の元》に対して割り当てる《終集合の元》の個数」が
いつも1個
であっても、
・《終集合の元》によっては、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」が、
2個以上になる割り当て(右図ケース2)が存在したり、
・割り当てられずに売れ残る《終集合の元》(右図ケース0)が出る
ような対応は、
全単射と呼んではならない。
→[写像冒頭]
→一覧表：対応の分類基準と6分類の定義
→ベン図：対応の6分類の包含関係
[図解]「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」に関する
対応の割り当てかたの三ケース
・ケース0:「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」＝0個
・ケース1「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」＝1個
・ケース2「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」＝複数
例
・写像の例 :1/2/3/4
・写像でない例:1/2/3
[写像の例1]
・右図の対応「f:A→B」は、「fによるa1の像」 f(a1)＝{b1}、「fによるa2の像」f(a2)＝{b2} 、
「fによるa3の像」 f(a3)＝{b3} 、「fによるa4の像」f(a4)＝{b4}
となっていて、
どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、
『終集合Bに属す元』一個を割り当ててている。
・したがって、右図の対応は、写像・関数である。
・なお、この写像・関数では、
「fによるb1の逆像」f－1(b1)＝{a1}、「fによるb2の逆像」f－1(b2)＝{a2} 、
「fによるb3の逆像」f－1(b3)＝{a3} 、「fによるb4の逆像」f－1(b4)＝{a4}
だから、全単射にもなっている。
→[写像冒頭]
[写像の例2]
・右図の対応「f:A→B」は、「fによるa1の像」f(a1)＝{b1}、「fによるa2の像」f(a2)＝{b2} 、
「fによるa3の像」f(a3)＝{b3} 、「fによるa4の像」f(a4)＝{b2}
となっていて、
どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、
『終集合Bに属す元』一個を割り当ててている。
・したがって、右図の対応は、写像・関数である。
・なお、この写像・関数では、
「fによるb1の逆像」f－1(b1)＝{a1}、「fによるb2の逆像」f－1(b2)＝{a2,a4} 、
「fによるb3の逆像」f－1(b3)＝{a3}
となっていて、
写像・関数の定義は、「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」を問題にしていない。
だから、「どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、『終集合Bに属す元』一個を割り当ててている」この対応を、
写像・関数と呼んでも差し支えない。
・この写像・関数は、
「同一の《終集合Bの元》b2を割り当てられた《定義域の元》」が複数存在するので、単射ではないが、
「割り当てられずに売れ残る《終集合Bの元》」は皆無だから、全射にはなっている。
→[写像冒頭]
[写像の例3]
・右下図の対応「f:A→B」は、「fによるa1の像」f(a1)＝{b1}、「fによるa2の像」f(a2)＝{b2} 、「fによるa3の像」f(a3)＝{b3}
となっていて、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、『終集合Bに属す元』一個を割り当ててている。
・したがって、右下図の対応は、写像・関数である。
・なお、この写像・関数では、
「fによるb1の逆像」f－1(b1)＝{a1}、「fによるb2の逆像」f－1(b2)＝{a2} 、「fによるb3の逆像」f－1(b3)＝{a3} 、「fによるb4の逆像」f－1(b4)＝ φ
となっていて、《終集合Bの元》b4が「割り当てられずに売れ残る」。
・写像・関数の定義は、「割り当てられずに売れ残る《終集合Bの元》」が出るかどうかを問題にしていない。
だから、「どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、『終集合Bに属す元』一個を割り当ててている」この対応を、
・この写像・関数は、
「割り当てられずに売れ残る《終集合Bの元》」b4が出ているから、
全射ではないが、
どの《終集合の元》についてであれ、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」が、
0個ないし1個のいずれか
であって、
「同一の《終集合の元》を割り当てられた《定義域の元》の個数」が、
2個以上になる割り当て
はなされていないから、
この写像・関数は、単射にはなっている。
→[写像冒頭]
[写像の例4]
・右図の対応「f:A→B」は、
「fによるa1の像」f(a1)＝{b1}、「fによるa2の像」f(a2)＝{b2} 、
「fによるa3の像」f(a3)＝{b1} 、「fによるa4の像」f(a4)＝{b2}
となっていて、
どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、
『終集合Bに属す元』一個を割り当ててている。
・したがって、右図の対応は、写像・関数である。
・なお、この写像・関数では、
となっていて、
・この対応は、全射でも単射でもないが、写像の定義は満たしている。
→[写像冒頭]
[写像ではない対応の例1]
・右下図の対応「f:A→B」は、一対一対応ではあるものの、写像ではない。・右下図の対応は、
「fによるa1の像」f(a1)＝{b1}、「fによるa2の像」f(a2)＝{b2} 、「fによるa3の像」f(a3)＝{b3}
となっており、
始集合Aの元a1,a2,a3に対しては、それぞれ、『終集合Bに属す元』を一個ずつ割り当てていっている。
・しかし、「fによるa4の像」f(a4)＝φ。
つまり、始集合Aには、『終集合Bに属す元』を一個も割り当てない元a4が存在する。
・だから、「f:A→B」は、写像の定義から逸脱している。
・しかし、対応の定義域の定義にしたがえば、
始集合Aは定義域ではなくて、
「始集合Aからa4を除いた集合」A―{a4}＝{a1,a2,a3}が対応fの定義域。
すると、「f:A→B」は、
始集合Aの各元aにたいして、
『終集合Bに属す元』を一個ずつあてがってないものの、
定義域 A―{a4}＝{a1,a2,a3}の各元にたいしては、
一個ずつ「終集合の元」をあてがっていることになる。
・そこで、A'＝A―{a4}＝{a1,a2,a3}として、
f ':A'→B
としたら、f 'は、写像となる。
f 'を、fのA'への制限という[斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』1.2.5(p.11)]
→[写像冒頭]
[写像ではない対応の例2]
・右図の対応「f:A→B」は、写像でも、一対一対応でもないが、一意対応ではある。・右図の対応は、
f(a1)＝{b1}、f(a2)＝φ 、f(a3)＝{b1} 、f(a4)＝{b1}
となっていて、
元a2に対して、《終集合Bの元》を割り当てていないことが、
写像の定義から逸脱している。
・しかし、
どの『fの始集合に属す元』に対しても、終集合Bの元を二個以上割り当てていない
ので、一意対応の定義は満たしている。
→[写像冒頭]
[写像ではない対応の例3]
・右図の対応「f:A→B」は、写像でも、一対一対応でも、一意対応でもない。・ 右図の対応「f:A→B」は、
f(a1)＝{b1,b3}、f(a2)＝φ 、f(a3)＝{b1,b3} 、f(a4)＝{b2}
となっていて、
(1) 元a1に対して、二元{b1,b3}を割り当てていること
(2) 元a3に対して、二元{b1,b3}を割り当てていること
(3) 元a2に対して、《終集合Bの元》を割り当てていないこと
が、 写像の定義から逸脱している。
また、(1)(2)は、 一意対応の定義からも逸脱している。
→[写像冒頭]
[]
・写像「f : A→B」について、
・集合BをRとしたもの ―「実数値関数」
[文献]
・松坂『解析入門1』2.1-A(p.58)写像・関数といえば、集合Aの各元に対して定義するが、
集合Aの(各元ではなくて)各部分集合に対して定義した関数もつくることができる。
集合Aの各部分集合に対して定義した関数を集合関数と呼ぶ。
（定義域が集合系、定義域の各元が集合となる写像・関数を、集合関数と呼ぶ。）
これに対して、集合Aの各元に対して定義した普通の写像・関数を点関数と呼ぶ。
（集合関数も入れる。定義域が集合系である写像を、特に、集合関数と呼ぶ。）
具体例：2項演算、実数値関数、ベクトル値関数、
集合関数、1変数関数（円は、1変数関数ではない）グラフを使った説明
