順列･組みあわせ･二項定理　：　トピック一覧　

定義：順列　permutation

【定義】

・_nC_r　は、
　自然数n,r ( ただし、n≧r≧1 ) にたいして、
　　_nP_r ／r !　
として、定義される。

・すなわち、
　　n,r∈N (ただし、 n≧r≧1 ) にたいして、
　　　_nC_r　＝　_nP_r ／r !　＝ n!／{ r! (n−r)! } 

※なお、n＝rの場合r!(n−r)!=０!となるが、これは、階乗の定義により、１となる。　

※活用例：ライプニッツの公式、2変数関数の高階全微分・テイラーの定理

　・薩摩『確率・統計』1-2(p.10)
　・柴田『確率・統計』1-3(pp.13-4).
　・吉田-栗田-戸田『平成元年3/31文部省検定済：高等学校確率統計』1章3(pp.16-21)

【拡張】

・自然数nとr=０にたいして、_nC_r＝_nC₀　＝１　と定義する。
　→『高等学校確率統計』1章3(p.17)

※階乗の定義における「０!=1」を押さえておきさえすれば、上記の定義_nC_r＝ n!／{ r! (n−r)! } に、r=０を代入すれば、そうなる。
　実際、_nC₀＝ n!／{ ０! (n−０) ! } ＝ n!／(1・n! )＝n!／n!＝1　　

【解釈】

・異なるn個のものからなる集合があるとき、そのうちのr個を取り出し、（順序にかまわず）それをただ一組としたら、その組み合わせが何通りあるか?
　これを表すのが、_nC_r=_nP_r ／r !　
　この文脈で、_nC_rは「n個のものからr個とった組み合わせ」と呼ばれる。
・_nP_rは、r個の同一要素を異なった順序に並べかえたものを、（　たとえば、{a,b,c}{a,c,b}{b,a,c}{b,c,a}{c,a,b}{c,b,a}　）別のものとしてカウントしている。
　これらをまとめて一つとしてカウントするようにすれば、_nC_rになる。
・r個の同一要素を異なった順序に並べかえ方は、r !だから、　　_nC_r　＝　_nP_r ／r !　＝ n!／{ r! (n−r)! }

【読み】

「 _nC_r 」を音読する場合は、

　「こんびねーしょんエヌあ〜る」

　「すィーのエヌあ〜る」

と発音されるとのこと。

　　→薩摩『確率・統計』p.10

(1)　　  _nC_r　＝　_nC_n−r

　【文献】

　　・薩摩『確率・統計』1-2(p.10)
　　・吉田-栗田-戸田『平成元年3/31文部省検定済：高等学校確率統計』1章3(p.17)　　　　　　　　　　　

【証明】
　組合せの定義式でrが(n−r)になっても、r!が(n−r) !に、(n−r) !がr!に入れ替わるだけ。全体としては変わらない。
　左辺＝n!／{r! (n−r)!}　　∵組合せの定義
　右辺＝n!／[(n−r) ! {n−(n−r)}!]　　　　　　∵組合せの定義でrのところを n−rとおけばよい
　　　＝n!／{(n−r) ! r!}
　　　＝_nC_r　＝左辺　∵組合せの定義

(2) 　　n個の場合と(n−1)個の場合を関係付ける漸化式　
　　　　　　　　_nC_r　＝　_n−1C _r　＋　_n−1C _r−1

　　　※　これを図式化したのが「パスカルの三角形」

　【文献】

　・薩摩『確率・統計』1-2-例5(p.10)
　・柴田『確率・統計』1-5(p.18).
　・吉田-栗田-戸田『平成元年3/31文部省検定済：高等学校確率統計』1章3(p.21)

【証明】
　_n−1C_r ＝( n−1 ) !／[ r! {( n−1 )−r}! ] 　∵組合せの定義
　　　　　=( n−1 ) !／{ r! ( n−r−1 ) ! }
　　　　　　=( n−1 ) !／{ r! ( n−r ) !／( n−r ) }　　　　∵( n−r−1 ) !＝( n−r ) !／( n−r )
　　　　　　={ (n−1) ! (n−r) }／{ r! (n−r) ! }　

　 _n−1C_r−1＝(n−1 ) !／[ (r−1 ) ! { (n−1 )−(r−1 ) }! ] 　∵組合せの定義
　　　　　　　=( n−1 ) !／{ (r−1 ) ! (n−r ) ! }
　　　　　　　　=( n−1 ) !／{ r ! (n−r ) !／r }　　　　∵(r−1 ) !＝r !／r
　　　　　　　　　={ (n−1 ) ! r }／{ r ! (n−r ) ! }
　ゆえに、
　　右辺＝{ (n−1 ) ! (n−r ) }／{ r ! (n−r ) ! } ＋ { (n−1 ) ! r }／{ r ! (n−r ) ! }
　　　　　＝{ (n−r ) + r  }・(n−1 ) ! ／{ r ! (n−r ) ! }　　　　　∵単なる分配則。(n−1) !／{ r ! (n−r) !}で括る。
　　　　　　＝n・(n−1 ) !／{ r ! (n−r ) ! }
　　　　　　　　＝ n !／{ r ! (n−r) ! }　∵n (n−1 ) !＝n !
　　　　　　　　　＝左辺