1変数関数y=f(x)=x の性質　：トピック一覧　　　
・グラフ/増減/値域/逆像/単射/全射/全単射/逆関数/極限/連続/有界性/最大最小/極大極小/凹凸　　　　
※1変数関数の具体例： y=x2/ y=x3 / y=1/x  → 自然数指数の冪関数/整数指数のべき関数/有理数指数のべき関数/実数指数のべき関数
　　　　　　　　　　 定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　
　　　　　　　　　　　指数関数/対数関数　
　　　　　　　　　　　絶対値関数/三角関数　/ガンマ関数
※1変数関数に関する諸概念の定義：1変数関数一般の定義/極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分
※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般
※総目次

  y=f(x)= x　

・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)=xは、Rにおける恒等写像になっている。

グラフ

 ・y=xのグラフは、
　・原点(0,0)で、x軸,y軸と交差する
　・x軸,y軸にたいして、45°の角度をなす
　・R2上の直線
　である。　　




[文献]



 　・赤攝也『実数論講義』§6.1(p.162)
　


y=xのグラフ


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  y=f(x)= xの増減
　 ・y=f (x)= xは、 (−∞,＋∞)で狭義単調増加関数。
y=xのグラフ

　 y=f(x)= xの値域
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xの値域は、 R＝(−∞,∞） 。
　　　y=xのグラフ
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y=f(x)= xによる逆像
　
[図]R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xによる　y= の逆像　f-1(　　)
　y=xによる逆像
　




・左図からわかるように、
 　


　　どのように、実数yを選んでも、
　　　実数yのfによる逆像 f−1(y)は、「1個の実数」からなる。

・つまり、
　「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x」は、
　　単射である。

・このことを根拠として、
　　「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x」
　　には逆関数が存在するといえる。








y=f(x)= xは非有界
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xは、上にも下にも有界でない。y=xのグラフ

y=f(x)= xの最大値・最小値
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xのR＝(−∞,∞）における最大値は、
　　存在しない。
・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xのR＝(−∞,∞）における最小値は、
　　存在しない。
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  y=f(x)= x　と全単射
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xは、単射であり、かつ、Rの上への全射。
　したがって、R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xは、Rの上への全単射。
※R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xが単射だといえるのは、なぜ？
　→下図をいじるとわかるように、
　　どのように、実数yを選んでも、
　　　　　　実数yのfによる逆像 f−1(y)が「1個の実数」からなる
　　から。
　




・このことを根拠として、 　


　「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x」
　には逆関数が存在するといえる。







[図]

　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xによる　y= の逆像　f-1(　　)
　y=xによる逆像

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y=f(x)=x の極限

・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xは、
　　　　どんな実数aに対しても、　f(x)→a (x→a)　



※なぜ？

・y=f (x)= xの定義より、(∀x∈R)(x=f(x))だから、
　　どんな実数aに対しても、
　　　　∀x∈R　( |x−a|＝|f(x)―a|　)

・したがって、
　どんな実数aに対しても、
　　∀ε>0　∀x∈R ( 0<|x−a|＜ε⇒|f(x)―a|<ε)
　が満たされる。

　よって、
　どんな実数aに対しても、
　　∀ε>0と、δ＝εとに対して、
　　　　∀x∈R ( 0<|x−a|＜δ⇒|f(x)―a|<ε)
　が満たされることになる。　　　　

・つまり、
　どんな実数aに対しても、
　　f(x)→a(x→a)の定義
　　「∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈R ( 0<|x−a|＜δ⇒|f(x)―a|<ε)」
　は満たされる。









【関連項目】
　・1変数関数の極限定義
　・1変数関数の具体例の極限：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数
【文献】
　・黒田『微分積分学』3.2.1-例3.5(p.93):証明つき。
　・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.1.5(p.109）:証明つき。

　・赤攝也『実数論講義』§6.1例4(p.165):ε-δ論法による証明付。
　

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  y=f(x)=x の連続性

　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xは、

　　　　　R＝(−∞,∞）上の連続関数。
　　



※なぜ？

・y=f (x)= xという定義より、
　　　どんな実数aに対しても、f(a)= a
・y=f(x)=xの極限の性質より、　
　　　どんな実数aに対しても、　f(x)→a (x→a)
・以上二点より、
　どんな実数aに対しても、　f(x)→f(a) (x→a)　
　つまり、
　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xは、
　　　どんな実数aにおいても、連続性の定義を満たす。
　したがって、
　　　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xは、
　　　　　R＝(−∞,∞）上の連続関数。　　
　









【関連項目】
　・1 変数連続関数の定義
　・1変数関数の具体例の連続性：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反 比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶 対値関数/三角関数/ガンマ関数
【文献】
　・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデル タ+積分』例3.2.7(2)(p.115）:
　　　　　　　　　証明は、y=f(x)=xの極限の性質より。
　・小平『解析入門I』§2.2-a (p.81)：「明らかに」として証明なし
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』第2章 -1(p.38)：証明なし「明らかに連続」

　・赤攝也『実数論講義』§6.3例3(p.176): 証明付。


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　y=f(x)=x の逆関数
　 R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xには、逆関数が存在する。
　※なぜ？
　　どのように、実数yを選んでも、実数yのfによる逆像 f−1(y)は「1個の実数」からなる[→下図]。
　




【関連項目】 　


　・1変数関数の「逆関数（の存在）」定義
　・1変数関数の具体例の「逆関数（の存在）」について：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数









[図]

　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xによる　y= の逆像　f-1(　　)
　y=xによる逆像

　　だから、
　　実数yに対して、その「fによる逆像f-1(y)」を返す「対応規則」
　　　　　x　=　f-1(y)　　
　　は、R＝(−∞,∞）で定義された関数の定義を満たす。　


・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xの逆関数は、
　　　　x ＝ f -1 (y)＝y
  慣例に従って、x,yを入れ替えて、独立変数をx,従属変数をyで表すと、
　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= xの逆関数は、
　　　　y=g(x)= x