1変数関数の極大・極小　：　トピック一覧

　・定義：極小点・極小値/極大点・極大値/極点・極値/停留点・停留値・臨界値/inflection point
　　　　最大値/最小値 　
　・定理：極大・極小の1階の必要条件/極大・極小の2階の必要条件/極大・極小の2階の十分条件
　　　　　Nth-Derivative test for relative extremum 　
※極値問題関連ページ：2変数関数の極大極小
※1変数関数の微分関連ページ：微分の定義/微分公式/ロルの定理・平均値の定理/テイラーの定理/テイラー展開・マクローリン展開/高階導関数　　
※多変数関数の微分関連ページ：2変数関数の偏微分/2変数関数の全微分

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定義：極小点、極小値　relative minimum or local minimum　※　(pl.)minima　

　関数 f (x) が定義域内の一点aとその近くの任意のxに対して
　　　f (a) < f (x)　　( x≠a )
　であるとき、
　「 f (x) はaで極小になる」といい、f (a) を極小値という。

　すなわち、
　a∈R が　
　　　∃ε>0　∀x∈Uε(a)  （　f (x) ≧ f (a)　）　 　　
　を満たすなら、「f (x)はaで極小になる」といい、f(a)を極小値という。

定義：極大点、極大値　relative maximum , local maximum　※(pl.) maxima　

　関数 f (x) が定義域内の一点aとその近くの任意のxに対して
　　　f (a) > f (x)　　(x≠a)
　であるとき、
　「f(x)はaで極大になる」といい、f (a)を極大値という。
　すなわち、
　 a∈Rが　
　　　∃ε>0　∀x∈Uε(a) （　f (x) ≦f (a)　） 　　
　を満たすなら、「f (x)はaで極大になる」といい、f (a) を極大値という。

定義：極点turning point・極値extreme value ; relative extremum or local extremum　※(pl.)extrema　

　極大点と極小点を総称して極点という。
　極大値と極小値を総称して極値という。

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定義：停留点 stationary point・停留値 stationary value ・臨界値 ctitical value 　

　　f ' ( a ) = 0　となる点aを、関数fの停留点stationary point、
　　f ( a )なる値を停留値stationary value、
　　値aを臨界値ctitical value という。　[杉浦『解析入門』150. Chiang236.]　

　※停留点が極小点・極大点となるかは分からない。inflection pointに過ぎないかもしれない。→極値の判定
　例：　　f(x)=x3　　における　点(0,0)。　

定義： inflection point

　　f ' (a) が極値となるが、f ( a )は、極値とはならない点aを、関数 f のinflection pointとよぶ。 [Chiang236-7.]　

定義：最大値・最小値　absolute maximum/minimum , global maximum/minimum

【設定】
　・f　：Dで定義された1変数関数　
　・I　：fの定義域Dに含まれる区間　
　・c　：区間Iに属す実数　　　

【はじめに読む定義】


・「『区間Iに属す実数』cは、関数 f (x)の区間Iにおける最大点である」
　「『区間Iに属す実数』cにおける f の値 f (c)は、
　　　　　　　　　　　関数 f (x) の区間Iにおける最大値である」
　とは、

　cが　
　「区間Iに属すすべての実数xにたいして、 f (x)≦f (c)」　　∀x∈I　f (x)≦f (c)　
　を満たすということ。

・「『区間Iに属す実数』cは、関数 f (x) の区間Iにおける最小点である」
　「『区間Iに属す実数』cにおける f の値 f (c)は、関数 f (x) の区間Iにおける最小値である」とは、
　cが　
　「区間Iに属すすべての実数xにたいして、 f (x)≧f (c)」　　∀x∈I　f (x)≧f (c)　　　
　を満たすということ。


[文献−定義A]
　・松坂『解析入門1』4.2-A(p.130)
　・青本『微分と積分1』§1.4(j)定理1.77(p.51)

[文献−定義B] 　
　・赤『実数論講義』§9.2定義 9.21(p.258)
　・松坂『解析入門1』3.2-F定理3(p.114)



　




※ maximum,minimumの複数形は、maxima,minima
　


※区間Iで定義された関数 f (x) に、
　区間Iに おける最大点（値）・最小点（値）が存在するとは限らない。
　最大点（値）・最小点（値）が存在する関数もあれば、
　最大点（値）・最小点（値）が存在しない関数もある。
　また、複数の最大点・最小点が存在する関数もある

【存在する関数のタイプ】　最 大値最小値定理　

【関数一般への拡張】　2変数関数の最大値･最大点･最小値･最小点/n変数関数の最大値･最大点･最小値･最小点/実数値関数一般の最大値･最大点･最小値･最小点
　　　　　　　　　　　数列の最大値・最小値　　　　　





・「関数 f (x) には区間Iにおける最大点(値)が存在する」とは、
　「区間Iに属すすべての実数xにたいして、 f (x)≦f (c)」を満たす実数cが区間Iに存在する
　　　　∃c∈I　∀x∈I　f (x)≦f (c)　　　
　ということ。

・「関数 f (x) には区間Iにおける最小点(値)が存在する」
　とは、
　「区間Iに属すすべての実数xにたいして、 f (x)≧f (c)」を満たす実数cが区間Iに存在する
　　　　∃c∈I　∀x∈I　f (x)≧f (c)　
　ということ。

【簡潔な定義〜最大元・最小元をもちいて】


・「関数 f (x) の区間Iにおける最大値」とは、
　「 区間Iのfによる像」の(実数の集合としての)最大元 max f (I) のこと。

・「関数 f (x) の区間Iにおける最小値」とは、
　「 区間Iのfによる像」の(実数の集合としての)最小元 min f (I) のこと。


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極大・極小　：　１階必要条件　 first-order condition

 　関数 f が、x=aの近くで微分可能であるとする。
　 　x = a で極大値か極小値をとるならば、　f ' ( a ) = 0　　　
　しかし、逆は成り立たない。（　f ' ( a ) = 0だとしても、x = a で極値をとるとは限らない。）

極大・極小　：　2階必要条件　second-order necessary condition　

　C2級関数fが、
　x = a で極大値をとるならば、　f '' ( a ) ≦ 0　　　
　x = a で極小値をとるならば、　f '' ( a ) ≧ 0　　　
　（しかし、逆は成り立たない）　　

極大・極小　：　2階十分条件　second-order sufficient condition

　C2級関数fが、
　　f ' ( a ) = 0　かつ　f '' ( a ) ＜ 0　なら、　x = aで極大値をとる。　　
　　f ' ( a ) = 0　かつ　f '' ( a ) ＞ 0　なら、　x = aで極小値をとる。　　
　　f ' ( a ) = 0　かつ　f '' ( a ) = 0　なら、判断できない。

定理：Nth-Derivative test for relative extremum of a function of one variable

　[吹田・新保『理工系の微分積分学』.55-56;. 高橋『経済学とファイナンスのための数学』64-67. Chiang266.]
　f (x) はx=aの近傍でCn級で、　
　f ' ( a ) = f '' ( a ) =…= f (n−1) ( a ) =0かつ f ( n ) ( a ) ≠0　とする。　
　このとき、　
　(i) nが偶数であれば、f ( x )は x = a で極値をとり、　
　　f ( n ) ( a ) ＞0　ならば極小、　　
　　f ( n ) ( a ) ＜0　ならば極大。　

 　(ii) nが奇数であれば、f ( x ) は x = a で極値をとらず、inflection pointとなる。
　
　【証明】

　　　テイラーの定理を用いる。　　[吹田・新保『理工系の微分積分学』56; Chiang266]
　
　　
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（reference）

矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、pp.75-81.
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.54-57.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.55-56.
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.253-269.
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、p.92;149-161.詳しいが難解。ほかのテキストに眼を通し終えてから読むとよい。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.64-67.
小林道正『Mathematicaによる微積分』朝倉書店、1995年、pp.169-176.
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984,pp.231-267.