絶対値：トピック一覧　　　　〜　　　数学についてのwebノート

　　・絶対値の定義、絶対値の性質
　　・絶対値関数の性質：連続性、微分可能性

※総目次

定義：絶対値　absolute value

はじめに
読むべき定義

任意の実数xの絶対値 |x| は、
　　(i ) x≧0　のとき、|x| = x　
　　(ii ) x≦0　のとき、|x| = −x　
と、定義される。　

→トピック一覧：絶対値
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[文献]
小平『解析入門I』§1.3(p.21).
杉浦『解析入門I』§1(p.4).
神谷浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67).
吹田新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3).
和達『微分積分』1-2(p.4)

順序概念を
前提とした
定義

任意の実数xの絶対値 |x| とは、
集合{ x, −x }の最大限
　　　max { x, −x }　
のこと。　　　
　→杉浦『解析入門I』§1(p.4).
　→吹田新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3)　

複素数
に関して

複素数の絶対値については、次を参照。
　・小平『解析入門I』§1.6(p.66)
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』3章§5I(p.90).　
　・永田『理系のための線型代数の基礎』1.1複素数(p.6)

活用例

R上の距離概念　

絶対値の性質

任意の実数xの絶対値|x|は、
次の性質にしたがう。

→トピック一覧：絶対値
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1.非負性

任意の実数xにたいして、
　・　|x|≧０
　・　|x|=０　⇔　x=０

[文献]　杉浦『解析入門I』§1命題1.2-1(p.4);和達『微分積分』1-2(p.4);
　　　　　神谷浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67)
※なぜ？→絶対値の定義からただちに。

2.

任意の実数xにたいして、
　　　|x|≧　x　

[文献]　　杉浦『解析入門I』§1(1.9)(p.4);
※なぜ？→証明　　　

3.

任意の実数xにたいして、
　　　|x|≧−x　

[文献]　杉浦『解析入門I』§1(1.9) (p.4);

5.積　

任意の実数xにたいして、
　　　|xy|=|x||y|　　

[文献]　　神谷浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67).
　　　　　　杉浦『解析入門I』§1命題1.2-2(p.4). 　　
※なぜ？→証明　

6.商　

任意の実数x,yにたいして、
　　　　 (ただしy≠0)
　　　|x / y|=|x| / |y|

7.　

任意の実数xにたいして、
　　　　|x|²= x²　　

※なぜ？→証明　　　

8-1.
三角不等式

任意の実数x,y にたいして、
　　|x＋y|≦|x|＋|y|　　

[文献]　小平『解析入門I』§1.3(p.21);杉浦『解析入門I』§1命題1.2-3(p.4).
　　　　神谷浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67).
※なぜ？→証明　
※活用例→d(x,y)=| x−y|は距離の公準3三角不等式を満たす。

8-2.　

任意の実数x,y にたいして、
　　||x|−|y||≦|x−y|　

[文献]　吹田新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3)
※なぜ？→証明　　
※活用例→積分の三角不等式　

8-3.

任意の実数x,y にたいして、
　　|x|−|y|≦|x＋y|　

[文献]　杉浦『解析入門I』§1命題1.2-4(p.4):証明付.
　　　　吹田新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3)　　

9.　

任意の実数x,y にたいして、
　　　　

[文献]
吉田-栗田-戸田『昭和62年文部省検定済:高等学校数学I』啓林館, 2章2実数(p.54):証明無.

絶対値の性質の証明　

証明：
2.|x|≧x

(i)　x≧0の場合
　　　　|x|＝　x　　　∵ x≧0に注意して絶対値の定義を適用　
(ii)　x＜0の場合
　　　|x|＝−x　　　∵ x＜0に注意して絶対値の定義を適用　　　　
　　　x＜0なので、　
　　　−x＞0＞x　　
　　　よって、|x|＝−x＞x　　

→戻る　

証明：
5.|xy|=|x||y|

(i)　x≧0かつy≧0の場合
　・左辺について。
　　　　　xy≧0
　　　∴　|xy|= x・y 　　∵ xy≧0に注意して絶対値の定義を適用　
　・右辺について　
　　　　|x |= x 　　　　∵ x≧0　に注意して絶対値の定義を適用
　　　　|y|=y 　　　　　∵y≧0　に注意して絶対値の定義を適用
　　∴　|x||y|= xy　　
　　∴|xy|= xy＝|x||y|

(ii)　x＜0かつy＜0の場合　　
　・左辺について。
　　　　　xy≧0　　
　　∴　|xy|= xy 　　　∵ xy≧0に注意して絶対値の定義を適用
　・右辺について　
　　　　|x |= −x 　∵ x＜0　に注意して絶対値の定義を適用
　　　　|y|= −y 　∵y＜0　に注意して絶対値の定義を適用
　　∴　|x||y|= xy　　　　　　　

　　∴|xy|= xy＝|x||y|　　　

(iii)　x＜0かつy≧0の場合
　・左辺について。
　　　　xy≦0
　　∴　|xy|= −xy 　　∵ xy≦0に注意して絶対値の定義を適用
　・右辺について
　　　　|x |= −x 　　　　∵ x＜0　に注意して絶対値の定義を適用
　　　　|y|= 　y 　　　　　∵y≧0　に注意して絶対値の定義を適用
　　∴　|x||y|= −xy　
　　∴|xy|= −xy＝|x||y|

(iv)　x≧0かつy＜0の場合
　・左辺について。
　　　　　xy≦0　　∵ xy≦0に注意して絶対値の定義を適用
　　∴　|xy|= −xy 　
　・右辺について
　　　　|x |= 　x 　　　　∵ x≧0　に注意して絶対値の定義を適用
　　　　|y|= −y 　　　　　∵y＜0　に注意して絶対値の定義を適用
　　∴　|x||y|= −xy　
　　∴|xy|= −xy＝|x||y|　　

→戻る　　

証明：
7.|x|²= x²　

(i)　x≧0の場合　　
　　左辺について。
　　　　|x|=x　(　∵x≧0　に注意して絶対値の定義を適用　)　　
　　　∴　|x|²= x²　
(ii)　x＜0の場合　　
　　左辺について。　
　　　　|x|=−x　(　∵x＜0　に注意して絶対値の定義を適用　)　　
　　　∴　|x|²= (−x) ²　= x²　　　

→戻る　　

証明：
8-1.
三角不等式
|x＋y|
　≦|x|＋|y|　

[左辺の２乗について]　
　　|x＋y|²＝(x+y) ²　　∵　絶対値の性質：|x|²= x²　
　　　　　　＝x²＋2xy＋y²　　
[右辺の２乗について]　
　　(　|x|＋|y|　) ²＝|x|²＋2|x||y|＋|y|²　
　　　　　　　　　＝x²＋2|x||y|＋y²　　∵　絶対値の性質：|x|²= x², |y|²= y²　
　　　　　　　　　＝x²＋2|xy|＋y²　　　∵　絶対値の性質：|x・y|=|x|・|y|　
[左辺２乗と右辺２乗の比較作業]　
　　つねに、xy≦|xy|　　　　∵　絶対値の性質：|x|≧x　
　　正確には、xy≧0なら、xy=|xy|　
　　　　　　　xy＜0なら、xy＜|xy|　
　よって、
　（左辺２乗）≦（右辺２乗）
　正確には、xy≧0なら、（左辺２乗）＝（右辺２乗）
　　　　　　xy＜0なら、（左辺２乗）＜（右辺２乗）
[結論]　
　左辺：|x＋y|≧０、右辺：|x|＋|y|≧０で、　　　
　（左辺２乗）≦（右辺２乗）であるので、、
　左辺：|x＋y|≦|x|＋|y|：右辺
　　　　正確には、
　　　　xy≧0、つまり、xyの符号がそろっているなら、
　　　　　　　　　|x＋y|＝|x|＋|y|　　　　　　
　　　　xy＜0、つまり、xyの符号がそろっていないなら、
　　　　　　　　　|x＋y|＜|x|＋|y|　　　　

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[文献]

吉田-栗田-戸田『昭和62年文部省検定済:高等学校数学I』啓林館,4章3.(p.104.)

証明：
8-2.
||x|−|y||
　≦|x−y|

(i)　x,y≧0のとき
絶対値の定義より、|x|= x、|y|= yだから
左辺: ||x|−|y||=|x−y|　=右辺
(ii)　x,y≦0のとき
左辺: ||x|−|y||=|−x＋y|　
　　　　　　　　　∵x,y≦0のとき、絶対値の定義より、|x|= −x、|y|=− y
　　　　　　　　=|(−1)(x−y)|=|−1|・|x−y|　∵|x・y|=|x|・|y|
　　　　　　　　=|x−y|　　　∵|−1|=1
　　　　　　　　=右辺
(iii)　x≧0,y≦0のとき
左辺: ||x|−|y||=|x＋y|
　　　　　　　　　　∵x≧0,y≦0では絶対値の定義より、|x|= x、|y|=− y
　　　　　　　　≦|x|＋|y|　∵|x＋y|≦|x|＋|y|　
　　　　　　　　= x− y　
　　　　　　　　　　∵x≧0,y≦0では絶対値の定義より、|x|= x、|y|=− y
　　　　　　　　≦| x− y |　　∵|a|≧a
　　　つまり、||x|−|y||≦|x−y|
(iv)　x≦0,y≧0のとき
左辺: ||x|−|y||=|−x−y|　
　　　　　　　　　　∵x≦0,y≧0では絶対値の定義より、|x|=− x、|y|= y
　　　　　　　　=|(−1)・(x+y)|=|−1|・|x+y|　∵|x・y|=|x|・|y|
　　　　　　　　=|x+y|　　∵|−1|=1
　　　　　　　　≦|x|＋|y|　∵|x＋y|≦|x|＋|y|　
　　　　　　　　　= −x＋ y　
　　　　　　　　　　　∵ x≦0,y≧0では絶対値の定義より、|x|=− x、|y|= y
　　　　　　　　　　≦|−x＋ y |　　∵|a|≧a
　　　　　　　　　　　　=|(−1)(x−y)|=|−1|・|x−y|　∵|x・y|=|x|・|y|
　　　　　　　　　　　　=|x−y|　　　∵|−1|=1　　
　　　つまり、||x|−|y||≦|x−y|　　

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絶対関数の性質

絶対値関数y=f(x)=|x|　は
次の性質にしたがう。

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1.連続性

y=f(x)=|x|　は、x =０でも連続である。　　
　なぜなら、　　
　(1)絶対値の定義より、
　　　　　f (０)は定義されており、f (０)=０.
　(2)(3) 絶対値の定義より、
　　　x→+０でもx→−０でも、f(x)→０

[文献]
和達『微分積分』3-2例2(p.46);
吹田新保『理工系の微分積分学』2章§1例1(p.37)
吉田-栗田-戸田『平成元年3/31文部省検定済:高等学校微分積分』ｐ.47

2.微分可能性

y=f(x)=|x|　は、x =０で微分可能ではない。

(証明)
右微分係数　　をみると。
　これが、x₀=0で、
　　　　
　　
　　
　　　∵絶対値の定義より、x≧0なら|x|=x
　　　　　　
　　＝１　　
左微分係数　
　これが、x₀=0で、　
　　
　　
　　
　　　∵絶対値の定義より、x≦0なら|x|=−x
　　＝−１
よって、微分係数には、
x₀=0における有限極限値が存在しないので、
f(x)は、x = x₀で微分可能ではない。

[文献]　
吹田新保『理工系の微分積分学』2章§1例1(p.37)
※活用例：絶対値の対数の微分

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