1変数関数の諸属性と諸類型　：トピック一覧　　　

・定義：1変数関数/グラフ　
・1変数関数を組み立てている概念：　定義域/像･値/逆像･原像　　
・1変数関数の属性の定義：　　　　　値域/最大値･最大点･最小値･最小点/極大値･極大点･極小値･極小点/有界
・1変数関数から組み立てられる関係：制限/延長/分枝　/　合成関数/逆対応/逆関数　　　　　
・1変数関数の類型の定義：　　　　　一価関数/多価関数/n価関数　/　1対1(単射)/全射/全単射　/　陰関数/陽関数/
　　　　　　　　　　　　　　　　　広義単調増加関数 /狭義単調増加関数/広義単調減少関数/狭義単調減少関数/単調関数/狭義単調関数  　
　　　　　　　　　　　　　　　　　偶関数/奇関数/有界関数/単関数　
※1変数関数の具体例：y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  → 自然数指数の冪関数/整数指数のべき関数/有理数指数のべき関数/実数指数のべき関数
　　　　　　　　　　 定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　
　　　　　　　　　　　指数関数/対数関数　
　　　　　　　　　　　絶対値関数/三角関数　/ガンマ関数
※1変数関数に関する諸概念の定義：極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分
※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般　
※総目次


定義：1変数関数　real-valued functions of a real variable

　




【はじめに読む定義】

Dで定義された関数y=f(x)=「xの 式」とは、
　《実数の集合》Dに属す個々の実数xに対して、1個の実数y=f(x)を対応づける規則。

　* もっと詳しく　→　1変数関数のビギナー向け定義　　








【例】(−∞,∞)で定義された関数y=f(x)=x2とは、(−∞,∞)に属す個々の実数xに対して、1個の実数y=f(x)=x2を対応づける規則。 　

【ほかの例】 ・y=x/y=x2/y=x3/反比例 →べき関数
　　　　　　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数 →多項式関数　
　　　　　　・指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　










「ビギナー向け関数定義」最大のポイントは、「…に対し て、1個の実数を 対応づける…」の「1個」にある。
これを外してしまうと、《関数にならない対応》と区別がつかない。

　* どういうこと？　→　関数と対応：　「関数ではない対応」と「関数である対応」との 違い





・1変数関数は、厳密には、「写像」の一類型として、定義される。
・しかし、定義のなされかたは、一様ではなく、以下の2タイプが見られる。




【写像の概念を用いた厳密な定義―タイプA】

・Dで定義された1変数実数値関数とは、

　　　f:D→R　（D⊂R）

　のこと。

　* もっと詳しく　→　1変数関数の厳密な定義　










【写像の概念を用いた厳密な定義―タイプB】

・Dで定義された1変数実数値関数とは、
　　　　　f:D→S　（D⊂R、S⊂R）
　のこと。

・このとき、Sを終集合と呼ぶ。

　* もっと詳しく　→　1変数関数の厳密な定義　　





　 　* どういうこと？　どう違うの？
　　　　→ 定義間の差異
　　　　→ タイプBの定義を採用した場合に起こること〜終集合の設定範囲に幅〜同一規則だが別の関数
　　　　→ タイプAの定義を採用した場合に起こること

　 　* 重要な相違？
　　　　→〈タイプAの定義〉〈タイプBの定義〉の違いがもたらす影響―全射の判定   
　　　　→〈タイプAの定義〉〈タイプBの定義〉の違いがもたらす影響―《逆関数の定義》と《逆写像の定義》との関係 

【一般化】 2変数関数/n変数関数/実数値関数/ベクトル値関数/写像　

【具体化】 ・y=x/y=x2/y=x3/反 比例 →べき関数　　　　　　　　　　　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数 →多項式関数　
　　　　　　・指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　 　・単関数


1変数関数を組み立てているパーツの定義　〜　定義域 / 値 / 値域 / 逆像

定 義：1変数関数の定義域domain　
　




・1変数関数「f:D→R（D⊂R）」の定義域
　および、
　1変数関数「f:D→S（D⊂R、S⊂R）」 の定義域
　とは、

　「Rの部分集合」D
　　　　つまり、f によって、実数値f (a)を対応付けられている「実数a」を集めた集合
　　　　　　　　{a∈R　| f(a) ≠φ }　
　のこと。

・Dで定義された1変数関数とは、その関数の定義域がD であることをいう。










【例】y=1/xの 定義域　　　

【一般化】・2 変数関数の定義域/n変 数関数の定義域/実数関数一般の 定義域
　　　　　・ベクトル 値関数の定義域
　　　　　・写像の定義域/対応の定義域　

*　「fが関数であるならば、fの始集合D全体がそのままfの定義域となる」というのが正確な事情。
　　詳しくは、「対応の定義域」「写像の定義域」を参照。

*　定義域の操作：制限/延長　








【定義域の操作】・関数fの定義域を絞った関数を「fの制限」と呼ぶ。[→関数の制限の定義]
　　　　　　　　・関数fの定義域を広げた関数を「fの延長」と呼ぶ。[→関数の延長の定義]





定義：1変数関数の像・値　
　




【各点における値/各点の像】

「実数aにおける1変数関数f の値」「1変数関数f による実数aの像」
　　f (a)
　とは、
  f によって実数aに対応付けられた実数のこと。




　




【集合の像】

・「1変数関数fによる『定義域の部分集合A』の像」　f (A)　とは、
　　『定義域の部分集合A』に属す実数のf による像を、全部集めて出来る集合のこと。

・つまり、f:R⊃D→R　、A⊂D⊂Rにたいして、f (A)={ f (a)∈R | a∈A⊂D⊂R }　
　　　　　f:D→S（D⊂R、S⊂R）、A⊂D⊂Rにたいして、f (A)={ f (a)∈S⊂R | a∈A⊂D⊂R }　












1変数実数値関数の定義により、
　fが1変数実数値関数である ならば、
　aが「定義域Dに属すい かなる実数」であろうとも、
　　f(a)は、（0個や複数個ではなく）1個の実数となる。
　そのせいか、正確には、f(a)={b}と表すべき事態を、f(a)=b　 とのみ表す。











【文献】瀬山『「無限と連続の数学」−微分積分学の基礎理論案内』4.1.4(p.92):集合の像。
【一般化】　・2変数関数の像･値、n変数関数の像･値、実数値関数一般の像･値、ベクトル値関数の像･値　



定 義：1変数関数の値域range　
　




【はじめに読むべき定義】

　D上で定義された1変数実数値関数fの値域と は、
　定義域Dを実数xが動くときに、
　f (x)が動く範囲のこと。[青本]




　




【集合の像を用いた定義】


　D上で定義された1変数実数値関数fの値域と は、
　f による定義域Dの像
　　 f(D)＝{ f (a)　∈R | a∈D⊂R }
　のこと。








【文献−解析】
　・青本『微分と積分1』§1.4(b)(p.32)：
【文献−論理】
　●本橋『新 しい論理序説』 5.3例3(p.92)
【一般化】
・2 変数関数の値域/n変 数関数の値域/実数値関数 一般の値域/ベクトル値 関数の値域 /写像の値域/対応の値域　
【関連】
　　最大値･最大点･最小値･最小点/極大値･極大点･極小値･極小点/有界
【1変数関数の具体例における値域】
　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x →べき関数
　・定数値関数/比 例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　
　・指数関数/対数関数　
　・絶対値関数/三角関数/ガンマ関数




　





値域がR全体に渡る1変数関数f もあれば、
値域がR全体に渡らない1変数関数fもある。
前者の場合、「1変数関数『f:R⊃D→R』は全射である」といえる。
後者の場合、fを写像『f:R⊃D→R』と定式化すると全射ではないものの、
　　　　　　　fを写像『f:R⊃D→f(D)』 と定式化すると全射となる。





定義：1変数関数の逆像・原像 inverse image　
　




【個々の実数の逆像】

・「D上で定義された1変数実数値関数 f による実数yの逆像」f −1(y)とは、

　　「『fの値』が実数yになる『定 義域Dに属す実数』」
　　　　　つまり、「y＝f(x)」 を満たす「定義域Dに属す実数」

　　をすべて集めた集 合のこと。

・記号で表すと、D上で定義された1変数実 数値関数fにおい て、
　　　　f −1(y)＝{x∈D⊂R|y＝f(x)}




　




【実数の集合の逆像】

・「D上 で定義された1変数実数値関数 f による『R上の点集合B』の逆像」 　f −1 (B)　とは、
　
　　　　f の定義域Dに属す実数のうち、その像がBに属すもの

　を全てあつめた集合のこと。

・記号で表すと、B⊂Rにたいして、　　
　　　　　　f -1 (B)＝{ a∈D⊂R | f (a)∈B⊂R}　












1変数実数値関数の定義により、fが1変数実数値関数であっても、
　f がどんな1変数実数値関数で あるか、yがどんな実数で あるかによって、
　　「f による実 数yの逆像f −1(y)が「1個の実数のみが属す集合」となることも、
　　「f による実 数yの逆像」 f −1(y)に属す実数が存在しない（ f −1(y) ＝φ）ことも（値域がR全体に渡らないことも あるため）、
　　「f による実 数yの逆像」 f −1(y)が「複数個の実数が属す集合」となることも、
　ありえる。[→この点に着目した関数の分類が単射]







【具体例】　　y=xによる逆像/y=x2による逆像/y=x3による逆像　　　　

定義：1変数関数のグラフgraph　

　 ・D上で定義された1変数実数値関数のグラフとは、
　定義域D⊂Rに属す全てのxについて、
　　xとf(x)との順序対 ( x,f(x) ) をつくって集めた集合
 　　　　　Gf={ ( x,f(x) ) | x∈D⊂R }
　のこと。
　「x∈D⊂R かつ y=f(x)」を満たす順序対 (x,y) を全て集めた集合　
　　　　　Gf={ (x,y) | x∈D⊂R かつ y=f(x)}
　と言ってもよい。
・D上で定義された1変数実数値関数のグラフは、
　　R×RすなわちR2の部分集合となる。
　　　　　すなわち、Gf⊂R2　
[文献]
小平『解析入門I』§2.1 (p.80);
[一般化]
2変数関数のグラフ
写像のグラフ/対応のグラフ　

[1変数関数の具体例におけるグラフ]

　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　
　・指数関数/対数関数　
　・絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

→[トピック一覧：1変数関数とその属性･ 類型]
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1変数関数の属性：有界/上に有界/下に有界

　




「1変数関数 y = f (x) は有界」とは、

　ある幅の範囲内に、yの変動がおさまっていて、

　その変動幅より上にyの値を飛び出させるのは、
　どんな風にxをいじっても無理、

　その変動幅より下にyの値を飛び出させるのも、
　どんな風にxをいじっても無理、

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

　※ 厳密には？→詳細




　




「1変数関数 y = f (x) は Tで有界」とは、

　Tの範囲内でのxの操作に応じたyの変動は、
　ある幅の範囲内に収まっていて、

　Tの範囲内でxを動かす限り、

　その変動幅より上にyの値を飛び出させるのも、
　その変動幅より下にyの値を飛び出させるのも、
　全然無理。

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

　※ 厳密には？→詳細








　




「1 変数関数 y = f (x) は上に有界」とは、
　
　xをいろいろ操作して、
　yの値をできるだけ大きくしようとしても、
　yの値に限度があって、
　どんな風にxをいじったところで　
　あるところから上にyの値をもっていけない…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

　※ 厳密には？→詳細





　




「1変数関数 y = f (x) はTで上に有界」とは、
　
　Tの範囲内でxを操作して、
　yの値をできるだけ大きくしようとしても、
　yの値に限度があって、
　どんな風にxをTの範囲内で、いじったところで　
　あるところから上にyの値をもっていけない…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

　※ 厳密には？→詳 細




　

　




「1 変数関数 y = f (x) は下に有界である」とは、
　
　xをいろいろ操作して、
　yの値をできるだけ小さくしようとしても、
　yの値に限度があって、
　どんな風にxをいじったところで　
　あるところから下にyの値をもっていけない…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

　※ 厳密には？→詳細




　




「1変数関数 y = f (x) はTで下に有界である」とは、
　
　Tの範囲内でxを操作して、
　yの値をできるだけ小さくしようとしても、
　yの値に限度があって、
　どんな風にxをTの範囲内で、いじったところで　
　あるところから下にyの値をもっていけない…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

　※ 厳密には？→詳 細





　

1変数関数の類型：単関数　simple function


単関数simple functionとは、
　右のようなグラフで表される関数のこと。
　　*　どういうこと？　→　ビギナー向け定義 / 厳密な定義　
　　*　たとえば？　　　→　具体例　　

 　

　　*　どういう性質があるの？　→　性質　　
　　*　何に使われているの？　→　活用例　






単関数・階段関数のグラフの例
[単関数・階段関数の例]

1変数関数・対応の類型：1価関数 / 多価関数 / n価関数 single-valued function /　many-valued function , multivalued function 　

　




　1価関数とは、写像ないし一意対応の別名。
 「関数」という用語は、この意味で使われることが普通。

【文献】

　・『岩波数学辞典（第三版）』項目58関数 (p.157);
　・和達『微分積分』2-1(p.17;19).












・多価関数とは、
　一つの「xの値」に対して、二つ以上の「yの値」を定める対応y=f(x) のこと。
・多価関数は、写像でもなければ、一意対応でもないので、厳密には、関数ではない。
・分枝をとって、1価関数として扱うことがある。
　[ex] 実数xに対して、x2+y2=1を満たすyの値を定める対応。

【文献】

　・『岩波数学辞典（第三版）』項目58関数 (p.157);
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3I(p.17);
　・和達『微分積分』2-1(p.17;19). 




　




・n価関数とは、
　一つの「xの値」に対して、n通りの「yの値」を定める対応y=f(x) のこと。
・n価関数は、写像でもなければ、一意対応でもないので、厳密には、関数ではない。
　分枝をとって、1価関数として扱うことがある。
　　[ex] 実数xに対して、x2+y2=1を満たすyの値を定める対応は、2価関数。

【文献】

　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3I(p.17);
　・和達『微分積分』2-1(p.17;19).　











ベ クトル値関数のことを、多価関数と呼ぶこともある。
ベ クトル値関数は、一つの「n個の実数の組」に対して、一つの「m個の実数の組」を一意対応させ る写像であるから、
この意味での多価関数が関数であることに疑 念の余地はない。[西村『経済数学早分かり』3章§ 1.1関数とは(p.105)]








定義： 分枝 branch　　

　 　多価関数について、とりうる値yに制限をつけて作った１価関数を、
　もとの多価関数の一つの分枝と呼ぶ。
　多価関数は１価関数の集まりと考えられる。
[文献]
・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3I(p.17);
・和達『微分積分』p.17.

※右記分枝に対して、
　独立変数の動く範囲（定義域）の側を制限したものは、
　制限と呼ばれる。

例

 実数xに対して、x2+y2=1を満たすyの値を定める対応について、
y≧０という制限をつけて得た分枝は、
　　　y＝ 

1−x2 
y≦０という制限をつけて得た分枝は、
　　　y＝　− 

1−x2 

定義：陰関数implicit function／陽関数explicit function　　

　 独立変数xと従属変数yの関係式
（たとえば、x2+y2−1=0）から定められる関数を
陰関数という。
これに対して、y=f(x) なる形の方を陽関数という。

[文献]

　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3I(p.17);

※

 陰関数定理 　

定義：合成関数composition　　

　

二つの関数y = f (x), z=g(y)があり、fの値域がgの定義域に含まれているとき、
z= g (f (x))が定義される。
これを、fとgの合成関数といい、g〇fで表す。
詳しく言えば、
二つの関数 f:X→Y’、g:Y→Zが、f (X)⊂Yを みたすとき、
fとgは合成可能であるといい、
　　　　　　　h(x)= g (f (x)), x∈X
　で定義される関数h:X→Zを、fとgの合成関数といい、h＝g〇fと 記す。

[文献]

・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§ 3I(p.17);
・杉浦『解析入門I』p.58;
・高橋『経済学とファイナンスのための数学』p30: 図解つき

※一般化：合成写像/対応の合成　　

※

 合 成関数の連続性、合 成関数の微分公式chain rule 　 　



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1変数関数の類型　：　単射(1対1)　/　全射　/　全単射


【「写像を用いない一般的な定義」で定義した1変数関数の単射/全射/全単射】

　




「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が単 射である」
「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が1対1である」
　とは、

 　┌　どの実数を 一つ選んでも、
　｜　　その実数のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか
　└　　　　∀y∈R （ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合 ）

　となること、

　　　　* どういうこと？
　　　　　→予備知識不要の「単射」定義
　　　　　→「逆像」概念を用いた「単射」定義の表現
　　　　　→「値域」「逆像」概念を用いた「単射」定義の表現　

　　　　* たとえば？
　　　　　→単射となる1変数関数の具体例　　　

　別の言い方をすると、

　┌　どの『定義域Dに属す実数』についてであれ、例外なく、
　｜　　「別の『定義域Dに属す実数』の f による像は、別の実数」
　└　　　　　 　 ∀x,x'∈D⊂R （x≠x'⇒f(x)≠f(x')）

　となること

　あるいは、その対偶

　┌　どの『定義域Dに属す実数』についてであれ、例外なく、
　｜　　「 f による像が一致する『定義域Dに属す実数』は、同一」　
　└　　　　　　　 ∀x,x'∈D⊂R （　f(x)＝f(x')　⇒　x＝x'　） 　　　

　となること。

　　　　* どういうこと？
　　　　　　→「像」概念を用いた「単射」定義の表現

　　　　* たとえば？
　　　　　→単射となる1変数関数の具体例　　　




　




・Dで定義された1変数実数値関数f について、
　ただ
　　「y=f(x)=《xの式》」
　と書いてあるだけだと、
　fが全射なのかどうか把握できない。

・そもそも、
　「全射である/ない」という区別は、
　　　　Dで定義された1変数実数値関数fが、
　　　　自らの終集合に関して、
　　　　どのように振舞うか、
　に関わるものであるから、
　　　『f:D→R』
　　　『f:D→S（D⊂R、S⊂R）』
　などという形で、
　終集合が明示されて始めて、
　fが全射なのかどうか把握できるようになる。


　* どういうこと？　→　詳細




　




・Dで定義された1変数実数値関数f について、
　ただ
　　「y=f(x)=《xの式》」
　と書いてあるだけだと、
　fが全単射なのかどうか把握できない。

・そもそも、
　「全単射である/ない」という区別は、
　　Dで定義された1変数実数値関数fが、
　　　　　自らの終集合に関して、
　　　　　どのように振舞うか、
　に関わるものであるから、
　　　『f:D→R』
　　　『f:D→S（D⊂R、S⊂R）』
　などという形で、
　終集合が明示されて始めて、
　fが全単射なのかどうか把握できるようになる。

　* どういうこと？　→　詳細　





【「写像を用いた厳密な定義―タイプA」で定義した1変数関数の単射/全射/全単射】


　




「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が単射である」
「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が1対1である」とは、

 　┌　どの実数を 一つ選んでも、
　｜　　その実数のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか
　└　　　　∀y∈R （ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合 ）

　となること。

* どういうこと？　→　詳細　　

* 他の表現は？　
　　　→一覧　　　
　　　→予備知識不要の「単射」定義の表現
　　　→「逆像」概念を用いた「単射」定義の表現
　　　→「値域」「逆像」概念を用いた「単射」定義の表現　
　　　→「　像」概念を用いた「単射」定義の表現

　* たとえば？
　　　→単射となる1変数関数の具体例　　　




　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が全射である」
「Dで定義された1変数実数値関数 f がRの上への写像である」
　とは、

　┌　どの実数を一つ選んでも、
　｜　　その実数のfによる逆像は空集合にならない
　└　　∀y∈R (f−1(y)≠φ)　　　
　
　ということ。

* どういうこと？→　詳細/解説

* 他の表現は？　
　　　→「　像」概念を用いた「全射」定義の表現
　　　→「逆像」概念を用いた「全射」定義の表現
　　　→「値域」概念を用いた「全射」定義の表現　

* たとえば？→全射である1変数関数の具体例　　　　






　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が全単射（双射）である」
　とは、

　┌　どの実数を一つ選んでも、
　｜ 　　その実数のfによる逆像は、一元集合になる
　└　　　　　∀y∈R （ f−1(y)＝一元集合）

　ということ。

* どういうこと？　→　詳細 /　解説　

* 他の表現は？　
　　→「単射」「全射」概念を用いた「全単射」の表現　　
　　→「像」概念を用いた「全単射である/ない」の表現
　　→「逆像」概念を用いた「全単射である/ない」の表現

* たとえば？　→　全単射である1変数関数の具体例　　　　







【「写像を用いた厳密な定義―タイプB」で定義した1変数関数の単射/全射/全単射】


　




「Dで定義された1変数実数値関 数『f:D→S（D,S⊂R）』 が単射である」
「Dで定義された1変数実 数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』 が1対1である」とは、

 　┌　どの実数を 一つ選んでも、
　｜　　その実数のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか
　└　　　　∀y∈R （ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合 ）

　となること。

* どういうこと？　→ 詳細

* 他の表現は？　
　　　→予備知識不要の「単射」定義の表現
　　　→「逆像」概念を用いた「単射」定義の表現　
　　　→「値域」概念を用いた「単射」定義の表現　
　　　→「　像」概念を用いた「単射」定義の表現　

* たとえば？
　　　→単射となる1変数関数の具体例　　　




　




「Rの部分集合」S に対して、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S』が全射である」
　「Dで定義された1変数実数値関数 f がSの上への写像である」
とは、

　┌　「Rの部分集合」S から、どの実数を一つ選んでも、
　｜　　　その実数のfによる逆像に、少なくとも一つ以上の実数が属す
　└　　  　　　∀y∈S⊂R　( f−1(y)≠φ)　

ということ。

* どういうこと？→　詳細 / 解説  　

* 他の表現は？　
　　　→「　像」概念を用いた「全射」定義の表現 
　　　→「逆像」概念を用いた「全射」定義の表現　　
　　　→「値域」概念を用いた「全射」定義の表現

* たとえば？→全射である1変数関数の具体例　　　　






　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が全単射（双射）である」
　とは、

　┌　どの「Sに属す実数」を一つ選んでも、
　｜ 　　その「Sに属す実数」のfによる逆像は、一元集合になる
　└ 　　　　∀y∈S⊂R　（ f−1(y)＝一元集合）

　ということ。

* どういうこと？→　詳細 / 解説 

* 他の表現は？　
　　→「単射」「全射」概念を用いた「全単射」の表現　　
　　→「像」概念を用いた「全単射である/ない」の表現　　
　　→「逆像」概念を用いた「全単射である/ない」の表現　　

* たとえば？　→　全単射である1変数関数の具体例　　　　






　【具体例】

　　→　単射となる1変数関数の具体例　　　
　　→　全射である1変数関数の具体例　
　　→　全単射である1変数関数の具体例　

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定義：1変数関数の逆対応　inverse correspondence　

定義

 　1変数関数の厳密な定義には、二つのタイプがあった。
　それぞれの1変数関数の厳密な定義に応じて、逆対応の定義を書き下しておく。
　
[1変数関数の厳密な定義−タイプAを採用した場合]
  f:D→R　（D⊂R）のみをD上で定義された1変数(実数値)関数と定義した場合
　・D上で定義された1変数(実数値)関数「f:D→R」の逆対応inverse correspondenceとは、
　　実数yに対し、その実数のfによる逆像 f−1(y)を定める「Rから『実数の集合』Dへの対応」のこと。
　・「D上で定義された1変数(実数値)関数fの逆対応を、記号「f−1」で表す。

[1変数関数の厳密な定義−タイプBを採用した場合]
　f:D→S　（D⊂R、S⊂R）をD上で定義された1変数(実数値)関数と定義した場合、
　・D上で定義された1変数(実数値)関数「f:D→S　（D⊂R、S⊂R）」の逆対応inverse correspondenceとは、
　　『Sに属す実数』yに対し、その実数のfによる逆像 f−1(y)を定める
　　　　　「『実数の集合』Sから『実数の集合』Dへの対応」
　　のこと。
　・「D上で定義された1変数(実数値)関数fの逆対応を、記号「f−1」で表す。

*
[f:D→R　（D⊂R）の対応規則から、その逆対応f−1の対応規則を導く手順]
step1: y = f (x)をxについて解いて、
　　　　　　　x ＝ f -1 (y)　
　　　という形にする。
step2: x ＝ f -1 (y)　の記号x,yを入れ替える。

具体的には、以下を見よ。
　・一次関数の逆関数　
 

fの値域f(D)を始集合とする対応
　　f':f(D)→D
を逆対応と考えたほうが、スムーズかもしれない。→逆関数についての一部テキストでの説明。

※一般化：集合間の対応・写像の逆対応　

注意

 ・どんなD上で定義された1変数(実数値)関数「f:D→R」「f:D→S　（D⊂R、S⊂R）」であれ、
　　「D上で定義された1変数(実数値)関数fの逆対応」は存在し、
　　なおかつ、「D上で定義された1変数(実数値)関数fの逆対応」は、対応の定義を満たす。
　・ただし、ここで問題となってくるのは、
　　「D上で定義された1変数(実数値)関数fの逆対応」が、関数の定義を満たすかどうか
　　である。
　　結論から先に言えば、
　　「D上で定義された1変数(実数値)関数fの逆対応」が関数となるかどうかは、一概にはいえない。
　　　D上で定義された1変数(実数値)関数fがどのタイプであるかによって決まる。
　　たとえば、
　　　D上で定義された1変数(実数値)関数「f:D→R」において、
　　　ある実数をyに選ぶと、その実数のfによる逆像が、空集合となる　(∃y∈R) (f−1(y)＝φ)　場合、
　　　「D上で定義された1変数(実数値)関数fの逆対応f−1は関数の定義を満たさない。
　　また、
　　　D上で定義された1変数(実数値)関数「f:D→R」において、
　　　ある実数をyに選ぶと、その実数のfによる逆像が、「複数元が属す集合」となる場合も、　　
　　　「D上で定義された1変数(実数値)関数fの逆対応f−1は関数の定義を満たさない。　
　　詳細は、1変数関数の逆関数を参照。



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1変数関数の「逆関数の存在」「逆関数」の定義と、逆関数の存在条件


【はじめに読むべき定義　〜　写像・逆写像をつかわずに】　

　




「Dで定義された1変数関数y=f(x)に逆関数が存在する」とは、
　　　　「∀y∈f(D)　∃x∈R　　( f-1(y)＝{x} )」となること。

*　どういうこと？　→　詳しい説明　　




　




「Dで定義された1変数関数y=f(x)に逆関数が存在しない」とは、
　　　　「∃y∈f(D)　f-1(y)＝《複数個の実数が属す集合》」となること。

*　どういうこと？　→　詳しい説明　　




　




「Dで定義された1変数関数y=f(x)の逆関数」とは、
　　　「y=f(x)の値域f(D)」に属す実数yに対して、その「fによる逆像f-1(y)」を返す、f(D)で定義された関数のこと。

*　どういうこと？　→　詳しい説明　/ 「逆関数」のつくりかた　　





【厳密な定義　〜　写像・逆写像を用いて】


　写像を用いて1変数関数を厳密に定義するやり方には、二つのタイプがあった。
　この写像で1変数関数を厳密に定義するやり方のどちらを選ぶかに応じて、写像を用いた逆関数の定義も異なってくる。

　




【「1変数関数の厳密な定義―タイプA」を採用した場合】

「　f:D→R　（D⊂R）」のみをD上で定義された1変数(実数値)関数と定義した場合
　「D上で定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』に逆関数が存在する」とは、
　任意の実数x∈Dに対してg(x)=f(x)を満たす写像『g:D→f(D) 』に逆写像が存在すること。

*　どういうこと？　→　詳しい説明　　




　




【「1変数関数の厳密な定義―タイプB」を採用した場合】

　「f:D→S （D,S⊂R）」をD上で定義された1変数(実数値)関数と定義した場合
　　「D上で定義された1変数(実数値)関数『f:D→S』(D,S⊂R)に逆関数が存在する」とは、　
　　「f:D→S」に逆写像が存在すること。

*　どういうこと？　→　詳しい説明　　






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1変数関数の類型：単調関数　　


・「1変数関数 y = f (x) は、(広義)単調増加関数である」「1変数関数 y = f (x) は、(広義)単調増加する」とは、

　　xに代入する実数を大きくすると、どこから、どれだけ大きくしようとも、
　　yのほうは、大きくなるか、変わらずそのままであるかのいずれかで、減ることは決してない

　という関係にx,yがあるということ。

　※厳密には？→厳密な定義　


・ 「1変数関数 y = f (x) は、狭義単調増加関数である」「1変数関数 y = f (x) は、狭義単調増加する」とは、

　　xに代入する実数を大きくすると、どこから、どれだけ大きくしようとも、
　　yのほうも、必ず大きくなる

　という関係にx,yがあるということ。

　※厳密には？→厳密な定義　
　※性質：狭義単調増加関数は単射/狭義単調増加連続関数の性質　　

・1変数関数 y = f (x) (広義)単調減少関数である」「1変数関数 y = f (x) は、(広義)単調減少する」とは、

　　xに代入する実数を大きくすると、どこから、どれだけ大きくしようとも、
　　yのほうは、小さくなるか、変わらず一定であるかのいずれかで、大きくなることは決してない

　という関係にx,yがあるということ。

　※厳密には？→厳密な定義　

・「1変数関数 y = f (x) は狭義単調減少関数」「1変数関数 y = f (x) は狭義単調減少する」とは、

　　xに代入する実数を大きくすると、どこから、どれだけ大きくしようとも、
　　yのほうは、あべこべに小さくなる

　という関係にx,yがあるということ。

　※厳密には？→厳密な定義　
　※性質：狭義単調減少関数は単射/狭義単調減少連続関数の性質　　

・単調関数とは、(広義)単調増加関数・狭義単調増加関数・(広義)単調減少関数・狭義単調減少関数の総称。

・狭義単調関数とは、狭義単調増加関数・狭義単調減少関数の総称。

　※性質：狭義単調関数は単射/狭義単調連続関数の性質　　
　

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定義：偶関数　even function　　
　
f (t )=f (−t ) である関数f
つまり、y軸に関して対称な関数のこと

[文献]

『岩波数学辞典（第三版）』項目58関数 (p.157).
『岩波入門数学辞典』p.167

例

cos x
　 　
定義：奇関数odd function　
　 f (t )=−f (−t ) である関数f
つまり、
原点に関して対称な関数のこと

[文献]

『岩波数学辞典（第三版）』項目58関数 (p.157).
『岩波入門数学辞典』p.167

例

 sin x, tan x
　 　



　
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