n変数関数の極限の定義：トピック一覧　　

　　・定義： n変数関数、 n変数関数の収束･極限値/∞への発散/－∞への発散　
　　・定義： n変数関数の収束と点列数列の収束の関連　

※n変数関数の諸概念関連ページ： n変数関数の諸属性/ n変数関数の極限の性質/ n変数関数の連続性/偏微分/全微分/　
※n変数関数の極限の具体例：１変数関数の収束・極限値/2変数関数の収束･極限値/　
※n変数関数の極限の一般化：実数値関数の極限/ベクトル値関数の極限/距離空間のあいだの写像の極限　　
　→総目次

定義：n変数関数　

定義

n変数関数ないし多変数関数とは、
「n個の実数の組(x1,x2,…,xn)に対して、実数yを対応づける規則」
「 n次元空間Rnの点集合（定義域）に属す各点にたいして、実数yを対応づける規則」
「 n次元空間Rnの部分集合から、実数体Rへの、写像」
のこと。

[文献]
西村『経済数学早分かり』3章§1.1関数とは(p.104)
小平
『解析入門Ⅱ』§6.4(p309);
笠原『微分積分学』1.4(pp.22-3)。
杉浦『解析入門I』I§6(p.50);
黒田『微分積分学』8.2.1(p.276);
髙木『解析概論』8.函数(p.19)

ベクトル
表現

n個の実数の組(x1,x2,…,xn)とは、実n次元数ベクトルのことにほかならないから、
n変数関数･多変数関数とは、
「実n次元数ベクトルx=(x1,x2,…,xn)にたいして、実数yを対応づける規則」。
「実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合（「定義域」）の各元に対して、実数体Rの元を対応づける規則」
「実n次元数ベクトル空間Rnの部分集合から、実数体Rへの、写像」
などといっても同じ。

記号

・y=f (x1,x2,…,xn)　
・y=f (x)　　[ただし、xは、実n次元数ベクトルx=(x1,x2,…,xn)を表すとする]
・定義域A⊂Rnとして、　　
　　　f : A→R　　

関連

n変数関数の諸属性/極限/連続性/偏微分/全微分/矩形上の積分/点集合上の積分　

定義：n変数関数の収束convergence・極限値limit　

→はじめに読むべき定義/ε-δ論法による定義/近傍概念による定義　

はじめに
読むべき
定義

「 n次元空間Rn上の点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が実数cに収束する」
「 n次元空間Rn上の点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の極限値は実数cである」
　　　　f ( P )→c ( P → A )　
　　　　f ( x1 , x2 ,…, xn )→c ( x1→a1 , x2→a2 ,… ,xn→an )　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　
　　　　　
とは、
点P(x1,x2,…,xn)を、点A(a1,a2,…,an)と一致させることなく点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
点P(x1,x2,…,xn)の点A(a1,a2,…,an)への接近経路にかかわらず、
関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の値が同じ１つの実数値cに近づくことをいう。
※留意点　　
　　　(1)極限の定義において、点Pと点Aが一致することは除外している。　　
　　　　　点Aが関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の定義域に含まれているとは限らない。　
　　　(2) 点Pの点Aへの接近経路によって、
　　　　　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が近づく値が異なるときには、
　　　　　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　　　　　　　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)がcに収束しない」
　　　　　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　　　　　　　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)に極限値は存在しない」という。　
※この定義は一見わかりやすい。
　ところが、「近づく」とはいかなる事態を指すのか、という点が、
　明らかにされておらず、
　この「収束」「極限」定義は、実のところは不正確で、
　証明での使用に耐えられない。
　そこで、
　「近づく」の意味を明確化するために、
　「収束」「極限」概念は、次のように厳密に定義される。　

[具体例]
・１変数関数の収束･極限値
・2変数関数の収束･極限値

[一般化]
・実数値関数の極限
・ベクトル値関数の極限
・距離空間のあいだの写像の極限

[活用例]
 n変数関数の連続性/偏微分　

[文献]
杉浦
『解析入門I』I§6定義2-3(pp.51-2);
笠原『微分積分学』1.4[2](p.28);
黒田『微分積分学』定義8.6(p.277);
髙木『解析概論』9極限(p.20)

→「n変数関数の収束・極限の定義」先頭

厳密な
定義：
ε-δ
　論法

「 n次元空間Rn上の点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が実数cに収束する」
「 n次元空間Rn上の点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の極限値は実数cである」
　　　　f ( P )→c ( P → A )　　f ( x1 , x2 ,…, xn )→c ( x1→a1 , x2→a2 , xn→an )　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　
　　　　　
とは、
任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δをとると、
　　０＜d( P, A )＜δ ⇒ d ( f (P), c )＜ε　　　
が成り立つ
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rn ）（０＜ d ( P, A )＜δ⇒ d ( f (P), c )＜ε ）　
となる。
＊d ( P, A )は、 n次元空間Rn上での点P(x1,x2,…,xn)と点A(a1,a2,…,an)との距離を、
　d ( f (P), c )は、R上のf (P)とcとの距離| f (P)－c|を表す。　

[文献]
小平『解析入門Ⅱ』p.259;
笠原『微分積分学』1.4[2](p.28);
吹田新保『理工系の微分積分学』pp.158-159.
高橋『経済学とファイナンスのための数学』p. 143;
髙木『解析概論』9極限(p.20)

※ユークリッド距離が定められたユークリッド空間Rnにおける極限概念　　　　　
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)、すなわち、「 n次元空間Rnの部分集合から、実数体Rへの、写像」について、
　収束・極限を扱う際には、
　特別な目的がない限り、
　 n次元空間Rn上の距離をユークリッド距離で定めて、 n次元空間Rnをユークリッド空間Rnとし、　
　実数体Rの距離をユークリッド距離で定めて、Rを1次元ユークリッド空間Rとする、
　設定のもとで考えるのが普通。　
　この設定下では、
　　　　　
　　　　d ( f (P), c )=| f (P)－c|=| f (x1,x2,…,xn)－c|　　
　だから、
　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が実数cに収束する」
　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の極限値は実数cである」
　の定義は、具体的には
　　┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　　「　
　　｜　　　　　　　　　　ならば 　| f (x1,x2,…,xn)－c|＜ε　」　　
　　└を成り立たせる
　(∀ε>０)(∃δ>０)(∀x1,x2,…,xn∈R)(⇒| f (x1,x2,…,xn)－c|＜ε)
　となる。

※n次元数ベクトル空間の上に定義されたユークリッド空間R2における極限概念　　　　　
　 n次元空間Rnにベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム∥∥が定義されており、
　 n次元空間Rnを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　任意の実n次元数ベクトルx, y∈Rnのユークリッド距離は∥x－y∥　と表せる。
　このユークリッド距離を定義したユークリッド空間Rnのもとでは、　
　d( P, A )＝∥P－A∥　　　
　だから、
　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が実数cに収束する」
　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の極限値は実数cである」
　の定義は、具体的には
　　┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　　「　０＜∥P－A∥＜δ　ならば 　| f (P)－c|＜ε　」　
　　｜　　　　　　　　　　
　　└を成り立たせる
　　（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rn ）（０＜∥P－A∥＜δ⇒| f (P)－c|＜ε ）　
　と表せる。　　　
　ただし、上記のPは、「点P(x1,x2,…,xn)」を表す実n次元数ベクトル(x1,x2,…,xn)、
　　　　　上記のAは、「点A(a1,a2,…,an)」を表す実n次元数ベクトル(a1,a2,…,an)
　である。　　　

→「n変数関数の収束・極限の定義」先頭

近傍を
用いた
定義

「 n次元空間Rn上の点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が実数cに収束する」
「 n次元空間Rn上の点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の極限値は実数cである」
　　　　f ( P )→c ( P → A )　　f ( x1 , x2 ,…, xn )→c ( x1→a1 , x2→a2 , xn→an )　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　
　　　　　
とは、
　実数cの任意の（どんな）「R上のε近傍Uε(c)」に対して（でも）、
　ある「Rn上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)」が存在して、
　　　　　f ( U*δ(A) ) ⊂Uε(c)　
　を満たす
ということ。
この定義を別の表現でいうと、
　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δが存在して、
　　　　　　　　「　f ( U*δ(A) ) ⊂Uε(c)　　」
　　　　すなわち「　(x,y)∈ U*δ(A) ならば、　f(x,y) ∈Uε(c)」
　を成り立たせる、
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀Uε(c)）（∃ U*δ(A) ）（ f ( U*δ(A) ) ⊂Uε(c) ）　
（∀ε>０）（∃δ>０）（ f ( U*δ(A) ) ⊂Uε(c) ）　
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈Rn ）（ P∈ U*δ(A) ⇒ f (P) ∈Uε(c)）　
となる。

[文献]
笠原『微分積分学』1.4[2](p.28);

※ユークリッド距離が定められたユークリッド空間Rnにおける極限概念　　　　　
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)、すなわち、「 n次元空間Rnの部分集合から、実数体Rへの、写像」について、
　収束・極限を扱う際には、
　特別な目的がない限り、
　 n次元空間Rn上の距離をユークリッド距離で定めて、 n次元空間Rnをユークリッド空間Rnとし、　
　実数体Rの距離をユークリッド距離で定めて、Rを1次元ユークリッド空間Rとする、
　設定のもとで考えるのが普通。　
　この設定のもとでは、
　点A(a1,a2,…,an)の「Rn上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)」は、
　　　　　　
　実数cの「R上のε近傍Uε(c)」は、(c－ε,c＋ε)　
　だから、
　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が実数cに収束する」
　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)の極限値は実数cである」
　の定義は、具体的には
　　┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　　　
　　｜　　　　　　　　ならば 　f (P)∈(c－ε,c＋ε)　　　
　　└を成り立たせる
　となる。

※n次元数ベクトル空間の上に定義されたユークリッド空間Rnにおける極限概念　　
　 n次元空間Rnにベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム∥∥が定義され、
　 n次元空間Rnを実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
　任意の実n次元数ベクトルx, y∈Rnのユークリッド距離は∥x－y∥　と表せる。
　このユークリッド距離を定義したユークリッド空間Rnのもとでは、　
　点A(a1,a2,…,an)の「Rn上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)」は、U*δ(A)＝{ Q∈Rn | ０＜∥Q－A∥＜ε }　
　実数cの「R上のε近傍Uε(c)」は、(c－ε,c＋ε)　
　だから、
　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (x,y)が実数cに収束する」
　「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたときの、関数f (x,y)の極限値は実数cである」
　の定義は、
　　┌任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　　P∈U*δ(A)＝{ Q∈Rn | ０＜∥Q－A∥＜ε }　
　　｜　　　ならば 　　
　　｜　　　f (P)∈(c－ε,c＋ε)　　
　　└を成り立たせる
　と表せる。　　　
　ただし、上記のPは、「点P(x1,x2,…,xn)」を表す実n次元数ベクトル(x1,x2,…,xn)、
　　　　　上記のAは、「点A(a1,a2,…,an)」を表す実n次元数ベクトル(a1,a2,…,an)
　である。　　　

→[トピック一覧：n変数関数の極限]
→総目次

定理：n変数関数の収束の、点列・数列の収束への言い換え　
　

具体例：1変数関数の収束の、数列の収束への言い換え/ 2変数関数の収束の、点列･数列の収束への言い換え　
一般化：実数値関数の収束の、点列・数列の収束への言い換え/ベクトル値関数の収束の、点列の収束への言い換え
　　　　　距離空間の間の写像の収束の、点列の収束への言い換え　　　

定理1

次の命題P,Q,Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題P⇔命題Q⇔命題R。
命題P：
点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　　　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が実数cに収束する　
これを記号で表すと、
　　・f ( P )→c ( P → A )　
　　・f (x1,x2,…,xn)→c ( x1→a1 , x2→a2 ,…,xn→an )
　　　　
　など。　

　

　

[文献]
吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 159.
杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53):証明付;
髙木『解析概論』9極限(p.22):証明付.

命題Q：
どんなRn上の点列{ Pi }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}についてであれ、
　1. その点列{ Pi }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}が点A(a1,a2,…,an)に収束し、
　かつ 　
　2. その点列の各項 P1 , P2 , P3 , … がどれも点Aと一致しない　
　限り、　
　その点列の各項 P1 , P2 , P3 , …を n変数関数f によりR上に写した像の数列　
　　　　{ f ( Pi ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… }
　は実数cに収束する。
　つまり、
　　任意のRn上の点列{ PI }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}について、
　　　Pi→A (i→∞) かつ　P1≠A , P2≠A , P3≠A ,…ならば、f (Pi)→c (i→∞)　　
　論理記号で表すと、
　　　（∀{ Pi }）（（ Pi→A (i→∞)かつ(∀i) ( Pi ≠A) ）⇒ f (Pi)→c (i→∞)）

命題R：
いかなる
　　　　「実数a1に収束する数列{ x11 , x21 , x31 ,…}」（ただし、x11≠a1 , x21≠a1 , x31≠a1 ,… ）
　　　　「実数a2に収束する数列{ x12 , x22 , x32 ,…}」（ただし、x12≠a2 , x22≠a2 , x32≠a2 ,… ）
　　　　　　　：　
　　　　「実数anに収束する数列{ x1n , x2n , x3n ,…}」（ただし、x1n ≠an , x2n ≠an , x3n ≠an ,… ）　　　
に対しても、
数列
　{ f ( Pi ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… }
が実数cに収束する。
つまり、
（∀ { xi1 } ,{ xi2 }, …, { xin } ）
　（（(∀i) (xi1≠a1かつxi2≠a2かつ…かつxin≠an)かつxi1→a1 (i→∞)かつxi2→a2 (i→∞)かつ…かつxin→an (i→∞)）
　　　　　⇒ f ( xi1,xi2,…,xin )→c (i→∞)）
※なぜ？
　・「命題P⇒命題Q」となるわけ→証明　[杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53)]　
　・「命題Q⇒命題P」となるわけ→証明　[杉浦『解析入門I』定理6.2(p.53);髙木『解析概論』p.22;]　　
　・「命題Q⇔命題R」となるのは、点列の収束と数列の収束の関係による。　

定理2

次の命題P,Q,Rは互いに言い換え可能である。
つまり、命題P⇔命題Q⇔命題R。
命題P：
点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が収束する。　
すなわち、
　　　　
が存在する
　　※極限値の値をだしていないことに注意。

　

[文献]
小平『解析入門Ⅱ』p.259:証明略;
杉浦『解析入門I』定理6.2系(p.54):証明付

命題Q：
どんなRn上の点列{ Pi }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}についてであれ、
　1. その点列{ Pi }={ P1 , P2 , P3,…}={ (x11,x12,…,x1n) , (x21,x22,…,x2n) , (x31,x32,…,x3n) ,…}が点A(a1,a2,…,an)に収束し、
　かつ 　
　2. その点列の各項 P1 , P2 , P3 , … がどれも点Aと一致しない　
　限り、　
　その点列の各項 P1 , P2 , P3 , …を n変数関数f によりR上に写した像の数列　
　　　　{ f ( Pi ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… }
　が収束する。
　論理記号で表すと、
　　　（∀{ Pi }）（（ Pi→A (i→∞)かつ(∀i) ( Pi ≠A) ）⇒ ）
　　※極限値の値をだしていないことに注意。

命題R：
いかなる
　　　　「収束数列{ x11 , x21 , x31 ,…}」（ただし、x11≠a1 , x21≠a1 , x31≠a1 ,… ）
　　　　「収束数列{ x12 , x22 , x32 ,…}」（ただし、x12≠a2 , x22≠a2 , x32≠a2 ,… ）
　　　　　　　：　
　　　　「収束数列{ x1n , x2n , x3n ,…}」（ただし、x1n ≠an , x2n ≠an , x3n ≠an ,… ）　　　
に対しても、
数列
　{ f ( Pi ) }={ f ( P1 ), f ( P2 ) , f ( P3 ) ,… }={ f ( x11,x12,…,x1n ) , f (x21,x22,…,x2n ), f (x31,x32,…,x3n ),… }
が収束する。

活用例

コーシーの判定条件

→[トピック一覧：n変数関数の極限]
→総目次

定義：∞に発散する　
　

cf.1変数関数の発散/ 2変数関数の発散　

はじめに
読むべき
定義

「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が∞に発散する」
　　　f ( x1,x2,…,xn )→＋∞ ( x1→a1 , x2→a2 , xn→an )　f ( P )→＋∞ ( P → A )　
　　　　
　　　
とは、
点P(x1,x2,…,xn)を、
点A(a1,a2,…,an)に一致させることなく点A(a1,a2,…,an)に近づけるとき、　
関数f (P) = f (x1,x2,…,xn) が限りなく大きくなることをいう。
※この定義は一見わかりやすい。
　ところが、
　「近づく」「限りなく大きくなる」とはいかなる事態を指すのかという点が、
　明らかにされておらず、
　この「発散」定義は不正確で、証明のなかでは使いものにならない。
　そこで、
　「近づく」「限りなく大きくなる」の意味を明確化するために、
　「発散」概念は、次のように厳密化される。　

　

[文献]
高木･押切
『解析Ｉ・微分』p.25.
杉浦
『解析入門I』I§6定義8(p.60);

厳密な
定義

「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が∞に発散する」
　　　f ( x1,x2,…,xn )→＋∞ ( x1→a1 , x2→a2 , xn→an )　f ( P )→＋∞ ( P → A )　
　　　　
　　　
とは、
任意の（どんな大きな）実数Kに対して(でも)、ある正の実数δをとると、
　　　「０＜d( P, A )＜δ ならば f (P) = f (x1,x2,…,xn)＞K　」　　　　
が成りたつ
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀K∈R）（∃δ>０）（０＜d( P, A )＜δ⇒f (P) = f (x1,x2,…,xn)＞K ）　
となる。
　　＊　 d( P, A )は、 n次元空間Rn上での点P(x1,x2,…,xn)と点A(a1,a2,…,an)との距離を表す。　

Euclid平面
において

関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)、すなわち、「 n次元空間Rnの部分集合から、実数体Rへの、写像」について、
収束・極限・発散等を扱う際には、
特別な目的がない限り、
 n次元空間Rn上の距離をユークリッド距離で定めて、 n次元空間Rnをユークリッド空間Rnとする
設定のもとで考えるのが普通。　
この設定下では、
　　　　　
だから、
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が∞に発散する」　
の定義は、具体的には
　　┌任意の（どんな大きな）実数Kに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δをとると、
　　｜　　「　
　　｜　　　　　ならば　 f (x1,x2,…,xn) >K　」　　
　　└を成り立たせる
　　（∀K∈R）（∃δ>０）（⇒ f (x1,x2,…,xn) > K ）　
となる。

数ベクトル空間
の上に
定義された
Euclid平面
において

Rn にベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム∥∥が定義されており、
Rn を実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
任意の実n次元数ベクトルx, y∈Rn のユークリッド距離は∥x－y∥　と表せる。
このユークリッド距離を定義したユークリッド平面Rnのもとでは、　
　d( P, A )＝∥P－A∥　
だから、
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が∞に発散する」の定義は、
　　┌任意の（どんな大きな）実数Kに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　　「　０＜∥P－A∥＜δ　ならば 　f (x1,x2,…,xn) >K　　」　
　　└を成り立たせる
　　（∀K∈R）（∃δ>０）（０＜∥P－A∥＜δ⇒f (x1,x2,…,xn) >K ）　
　と表せる。　　　
　ただし、上記のPは、「点P(x1,x2,…,xn)」を表す実n次元数ベクトル(x1,x2,…,xn)、
　　　　　上記のAは、「点A(a1,a2,…,an)」を表す実n次元数ベクトル(a1,a2,…,an)
　である。　　　

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定義：－∞に発散する　
　

cf.1変数関数の発散/ 2変数関数の発散　

 　

はじめに
読むべき
定義

「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、
　関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が－∞に発散する」　
　　f ( x1,x2,…,xn )→－∞ ( x1→a1 , x2→a2 , xn→an )　f ( P )→－∞ ( P → A )　
　　　
　　
とは、
点P(x1,x2,…,xn)を、
点A(a1,a2,…,an)に一致させることなく点A(a1,a2,…,an)に近づけるとき、　
関数f (P) = f (x1,x2,…,xn) が限りなく小さくなることをいう。
※この定義は一見わかりやすい。
　ところが、
　「近づく」「限りなく小さくなる」とはいかなる事態を指すのかという点が、
　明らかにされておらず、
　この「発散」定義は不正確で、証明のなかでは使いものにならない。
　そこで、
　「近づく」「限りなく小さくなる」の意味を明確化するために、
　「発散」概念は、次のように厳密化される。　

　

[文献]

杉浦
『解析入門I』I§6定義8(p.60);高木・押切
『解析Ｉ・微分』p.25.

厳密な
定義

「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が－∞に発散する」　
　　f ( x1,x2,…,xn )→－∞ ( x1→a1 , x2→a2 , xn→an )　f ( P )→－∞ ( P → A )　
　　　
　　
とは、
任意の（どんな小さな）実数Kに対して(でも)、ある正の実数δをとると、　　
　　　「０＜d( P, A )＜δ ならば f (x1,x2,…,xn)<K　」　　　　
が成りたつ
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀K∈R）（∃δ>０）（０＜d( P, A )＜δ⇒f (x1,x2,…,xn)<K ）　
となる。
　　＊　 d( P, A )は、 n次元空間Rn上での点P(x1,x2,…,xn)と点A(a1,a2,…,an)との距離を表す。　

Euclid平面
において

関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)、すなわち、「 n次元空間Rnの部分集合から、実数体Rへの、写像」について、
収束・極限・発散等を扱う際には、
特別な目的がない限り、
 n次元空間Rn上の距離をユークリッド距離で定めて、 n次元空間Rnをユークリッド空間Rnとする
設定のもとで考えるのが普通。　
この設定下では、
　　　　　
だから、
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が∞に発散する」　
の定義は、具体的には
　　┌任意の（どんな小さな）実数Kに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δをとると、
　　｜　　　「　
　　｜　　　　　　　　ならば　f (x1,x2,…,xn) <K　」　　
　　└を成り立たせる
　　（∀K∈R）（∃δ>０）（⇒ f (x1,x2,…,xn) < K ）　
となる。

数ベクトル空間
の上に
定義された
Euclid平面
において

Rn にベクトルの加法･スカラー乗法･自然な内積(標準内積)･ユークリッドノルム∥∥が定義されており、
Rn を実n次元数ベクトル空間・計量実ベクトル空間・ノルム空間として扱える場合、
任意の実n次元数ベクトルx, y∈Rn のユークリッド距離は∥x－y∥　と表せる。
このユークリッド距離を定義したユークリッド平面Rnのもとでは、　
　d( P, A )＝∥P－A∥　
だから、
「点P(x1,x2,…,xn)を点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、関数f (P) = f (x1,x2,…,xn)が－∞に発散する」の定義は、
　　┌任意の（どんな小さな）実数Kに対して（でも）、
　　｜ある正の実数δが存在して、
　　｜　　　「　０＜∥P－A∥＜δ　ならば 　f (x1,x2,…,xn) <K　　」　
　　└を成り立たせる
　　（∀K∈R）（∃δ>０）（０＜∥P－A∥＜δ⇒f (x1,x2,…,xn) <K ）　
　と表せる。　　　
　ただし、上記のPは、「点P(x1,x2,…,xn)」を表す実n次元数ベクトル(x1,x2,…,xn)、
　　　　　上記のAは、「点A(a1,a2,…,an)」を表す実n次元数ベクトル(a1,a2,…,an)
　である。　　　

→[トピック一覧：n変数関数の極限]
→総目次

　

　

　

（reference）

和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.112-114.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.158-159.
矢野・田代『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、1993年, p. 91.
『岩波数学辞典（第三版）』項目58関数D族・列(p.158)、項目166収束(pp.436).
高木貞治『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、p. 20.
小平邦彦『解析入門II』(軽装版)岩波書店、2003年、pp.259-260.
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、pp.50-54, p.60. 　極限の定義が特殊なので注意。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.141-143.
高木斉・押切源一『解析Ｉ・微分』共立出版株式会社、1995年。