ベクトル値連続関数の性質：トピック一覧　　

　・連続関数一般の性質：ベクトル値関数のベクトル和の連続性/ベクトル値関数のスカラー倍の連続性/合成関数の連続性
　・有界閉集合上の性質：連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/
　　　　　　　　　　　　関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続
　・連結な集合上の性質：連続関数の連結不変性　　

　※ベクトル値関数の諸概念：ベクトル値関数の定義と諸属性/極限の性質/連続性の定義/　
　※ベクトル値関数の連続性の具体例：1変数関数の連続性/ 2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性/　
　※ベクトル値関数の連続性の一般化：距離空間上の写像/位相空間上の写像　
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定理：ベクトル値関数のベクトル和の連続性

要旨

連続なベクトル値関数のベクトル和として定義されるベクトル値関数も連続。

 　

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1： n次元空間Rn 、m次元空間Rmを用意する。
　　　　* n次元空間Rnとは、
　　　　　　実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間Rmとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2： n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実n次元数ベクトル空間Rnとする。　
　　　 m次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実m次元数ベクトル空間Rmとする。　　
Step3：実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）を設定する。
　　　実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）を設定する。
Step4：ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n
　　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。
　　　　ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m
　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。
Step5： n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rn」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。


[文献]
杉浦『解析入門I』定理6.6-3(pp.58)：Rn→Rmの関数一般について。
Rudin『現代解析学』4.10-b(p.85)距離空間からRmへの写像一般について。
　

Step6： n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数f,g
　　　　を用意。
　　　　つまり、
　　　　　f : D→Rm （D⊂Rn ）　ないし　( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) 　
　　　　　g : D→Rm （D⊂Rn ）　ないし　( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn))= g (x1,x2,…,xn)
　　　　*f,gはそれぞれ「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step7：「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。
　　　　　つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn
　　　　　*Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。

定理

ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) )=f ( x1 , x2 , … , xn ) が、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点A( a1 , a2 , … , an )で連続　
かつ
ベクトル値関数 ( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn) )=g ( x1 , x2 , … , xn ) が、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点A( a1 , a2 , … , an )で連続　
ならば　
ベクトル値関数f ,gのベクトル和として定義されるベクトル値関数　
　( f1 (x1,x2,…,xn)＋g1 (x1,x2,…,xn) , f2 (x1,x2,…,xn)＋g2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn)＋gm (x1,x2,…,xn) )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = f ( x1 , x2 , … , xn )＋g ( x1 , x2 , … , xn )
は、点A( a1 , a2 , … , an )で連続。　
　 　 　
　 　 　

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定理：ベクトル値関数のスカラー倍の連続性

要旨

連続なベクトル値関数のベクトル和として定義されるベクトル値関数も連続。

 　

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1： n次元空間Rn 、m次元空間Rmを用意する。
　　　　* n次元空間Rnとは、
　　　　　　実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間Rmとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2： n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実n次元数ベクトル空間Rnとする。　
　　　 m次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、
　　　　　実m次元数ベクトル空間Rmとする。　　
Step3：実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）を設定する。
　　　実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、
　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」
　　　　を定義して、ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）を設定する。
Step4：ノルム空間（ Rn, ‖‖n ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n
　　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。
　　　　ノルム空間（ Rm, ‖‖m ）にたいして、
　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m
　　　　を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。
Step5： n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂Rn」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。


[文献]
杉浦『解析入門I』定理6.6-3(pp.58)：Rn→Rmの関数一般について。
Rudin『現代解析学』4.10-b(p.85)距離空間からRmへの写像一般について。
　

Step6： n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数f
　　　　を用意。
　　　　つまり、
　　　　　f : D→Rm （D⊂Rn ）　ないし　( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) 　
　　　　*fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。
Step7：「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。
　　　　　つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn
　　　　　*Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。

定理

ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) ) =f ( x1 , x2 , … , xn ) が、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点A( a1 , a2 , … , an )で連続　
ならば　
「ベクトル値関数f と『任意の実数c』とのスカラー積」として定義されるベクトル値関数　
　( cf1 (x1,x2,…,xn), cf2 (x1,x2,…,xn) ,…, cfm (x1,x2,…,xn) ) =c f ( x1 , x2 , … , xn )　
は、点A( a1 , a2 , … , an )で連続。　
　 　 　

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定理：ベクトル値関数の合成関数compositionの連続性

要旨

二つの連続なベクトル値関数の合成写像は連続。

 　

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台の上で成立する。
Step1： n次元空間Rn、 m次元空間Rm、 l次元空間Rlを用意する。
　　　　* n次元空間Rnとは、
　　　　　　実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* m次元空間Rmとは、
　　　　　　実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
　　　　* l次元空間Rlとは、
　　　　　　実数をl個並べた組 (z1,z2,…,zl ) をすべてあつめた集合。
　　　　　　実l次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2： n次元空間Rn上の点集合のひとつを、選んで、
　　　　　　集合D　
　　　　と名づける。　
　　　　つまり、「D⊂Rn」
　　　　*Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。
Step3： n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして
　　　　 m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数fを用意。
　　　　つまり、
　　　　f : D→Rm （D⊂Rn ）　　
　　　　ないし
　　　　( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn)
Step4：「 m次元空間Rm上の点集合 f (D)」上の各点にたいして
　　　　　 l次元空間Rl 上の点を対応づけるベクトル値関数 g を用意。
　　　　つまり、
　　　　g : f (D)→Rl （f (D)⊂Rm ）　　
　　　　ないし
　　　　( g1 (y1,y2,…,ym), g2 (y1,y2,…,ym) ,…, gl (y1,y2,…,ym))= g (y1,y2,…,ym)


[具体例]1変数関数の合成関数の連続性

[一般化]距離空間のあいだの合成写像の連続性　

[文献]
杉浦『解析入門I』定理6.7-3(p.59):ベクトル値関数のケース;
高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.146:ベクトル値関数のケース;
　

Step5： n次元空間Rnに距離dnを定めて、距離空間(Rn,dn)を設定。
　　　　*普通は、　　　　 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えたユークリッド空間を考える。
Step6： m次元空間Rmに距離dmを定めて、距離空間(Rm,dm)を設定。
　　　　*普通は、　　　　 m次元空間Rmにユークリッド距離を与えたユークリッド空間を考える。
Step7： l次元空間Rlに距離dlを定めて、距離空間(Rl,dl)を設定。
　　　　*普通は、　　　　 l次元空間Rlにユークリッド距離を与えたユークリッド空間を考える。
Step8：「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。
　　　　　つまり、「P∈D⊂Rn」　　
　　　　　*Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。
Step9：「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。
　　　　　つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn
　　　　　*Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。

定理

ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) )=f ( x1 , x2 , … , xn ) が、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点A( a1 , a2 , … , an )で連続　
かつ
ベクトル値関数( g1 (y1,y2,…,ym), g2 (y1,y2,…,ym) ,…, gl (y1,y2,…,ym))= g (y1,y2,…,ym) が、
　　　点f (A)=f ( a1 , a2 , … , an ) = ( f1 ( a1 , a2 , … , an ), f2 ( a1 , a2 , … , an ) ,…, fm ( a1 , a2 , … , an ) )
　で連続　
ならば、　
合成関数 g ( f ( x1 , x2 , … , xn ) ) は、点A( a1 , a2 , … , an )で連続。　
　 　

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