実数における加法・乗法をからめた性質

　・分配則/0との積/積の逆数/積と符号(1)/積と符号(2)　　
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　※実数の性質関連ページ：加法/乗法/加法･乗法の関係/不等式/不等式と加法･乗法の関係　　
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実数における加法・乗法の分配則　

【設定】


　R:　実数体　
　x＋y ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された加法。　　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】

　どんなふうに、実数x,y,zを選んでも、
　　　 ( x＋y ) z = xz＋yz , z( x＋y )= zx＋zy
　が成り立つ。

　つまり、
　　 ∀x,y,z∈R にたいして、  ( x＋y ) z = xz＋yz 
　　 ∀x,y,z∈R にたいして、  z( x＋y )= zx＋zy

【なぜ？】


　実数体の定義-条件A-4より、
　　・( ∀x,y,z∈X ) (  ( x＋y ) z = xz＋yz , z( x＋y )= zx＋zy )　)
　　　を満たす代数系Xを実数体Rとよび、
　　・実数体Rの元を実数と呼ぶ
　のだから、
　　　( ∀x,y,z∈R ) ( ( x＋y ) z = xz＋yz , z( x＋y )= zx＋zy )　)
　は必ず成り立つ。
　成り立たなければ、それらは実数ではない。。





[文献]
　・黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65)　　　　　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.3　　　　　　　　　　　　　　　　　


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定理：0との積

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】


　　どんな実数でも、0との積は0。

　　つまり、　 ∀x∈R にたいして、 0x=x0=0

【なぜ？】


　step1:
　　0+0=0　∵任意の実数と0との和は0　　
　　だから、 (0+0)x=0x　…(1)　

　step2:
　　分配則より、(0+0)x=0x+0xだから、
　　これで、(1)の左辺を書きかえると、
　　0x+0x=0x　　…(2)　

　step3:
　　(2)の両辺に、‐(0x)を加えて、　
　　0x=0　

　　[→永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12)]
　　[→杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1vi(p.2)]
　　[→神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1(1)(p.63)]




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1vi(p.2)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1(1)(p.63)
　・永田『代数学入門』 定理1.4.2(p.12)
　・松坂『解析入門1』1.3命題3(a)(p.29)　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.3定理 2.3.1(p.43)　　　　　　　　　　　　　　　　　





※常識的には、0x=x0=0は自明だが、

　アカデミックな数学は、　実数定義の段階では、0を加法の単位元として定義するだけ。
　だから、加法の単位元0が乗法でどのように振る舞うかは自明ではない。
　「0x=x0=0」は、加法の単位元と実数との乗法の結果は、常に加法の単位元であると主張しているわけで、
　それはそれで、驚くべきこと。

※これは、実数体のみならず、環一般について成り立つ。[永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12)]





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定理：積の逆数

【設定】


　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】


　　 どんなふうに、実数x,yを選んでも、(xy)-1=y-1x-1。

　　つまり、、∀x,y∈R にたいして、(xy)-1=y-1x-1　
　　　

【なぜ？】

　
　　永田『代数学入門』定理1.3.3(p.9)参照。
　　　




[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1xi(p.2)
　・永田『代数学入門』 定理1.3.3(p.9)　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.3定理2.3.4(p.45)　　　　　　　　　　　　　　　　　





※これは、実数体のみならず、群一般について成り立つ。[永田『代数学入門』定理1.3.3(p.9)]

※実数体では可換則が成り立つので、(xy)-1=y-1x-1=x-1y-1。





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定理：積と符号(1)

【設定】

　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】

　どんなふうに、実数x,yを選んでも、(-x)y=x(-y)=-xy。
　つまり、∀x,y∈R にたいして、 (-x)y=x(-y)=-xy　　
　　　

 　


これは、実数体のみならず、環一般について成り立つ。
　　　　　　　[永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12)]









[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1vii(p.2)
　・永田『代数学入門』 定理1.4.2(p.12)
　・松坂『解析入門1』1.3命題3(c)(p.29)　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.3定理2.3.5(p.45)　　　　　　　　　　　　　　　　　



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定理：積と符号(2)

【設定】

　R:　実数体　
　xy ： 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。　　

【本題】

　どんなふうに、実数x,yを選んでも、(-x)(-y)=xy。
　つまり、∀x,y∈R にたいして、(-x)(-y)=xy　　　
　

 　


これは、実数体のみならず、環一般について成り立つ。
　　　　　　　[永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12)]








[文献]
　・杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1viii(p.2)
　・永田『代数学入門』 定理1.4.2(p.12)
　・松坂『解析入門1』1.3命題3(c)(p.29)　　　　　　

　・赤『実数論講義』§2.3問2(p.45)　　　　　　　　　　　　　　　　　



reference

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp. 417-418), 168.順序 (pp.440-441). 項目183数:E.実数 (p. 475).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§5定義2.5.13 (p.58)
永田雅宜『代数学入門』培風館、1996年、定理1.4.2(p.12)。

【解析学テキストのなかで】

小平邦彦『解析入門I』(軽装版)岩波書店、2003年、§1.5-a上限下限(pp.36-7.)。
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、§3.数の集合・上限・下限(pp.1-5.)
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、§1実数(pp.1-9).
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.1実数(pp.1-7).。
松坂和夫『解析入門1』岩波書店、1997年、1.3節順序体(p.29)。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.3-5.
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)。
赤攝也『実数論講義』SEG出版、1996年。
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。

【数理経済学テキストのなかで】

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64

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