一般の有界集合上の2重積分　double integral　　　　　
　　　　　VIII. 一般の有界集合上の一般リーマン和とリーマン可積分

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定義：一般分割

【文献】

　・杉浦『解析入門I』IV章§9定義4(pp.275-6.)
　・吹田新保『理工系の微分積分学』195;
　・笠原『微分積分学』7.2節 (pp.259-260)
　・高木『解析概論』8章92節定理77-5(pp.332-334)

【関連】
　　・(通常の矩形)分割

・R2上の有界な面積確定点集合Aの一般分割⊿とは、
　R2上の有界な面積確定点集合Aを
　　以下の条件を満たす有限個の点集合A1,A2,…Anに分割すること。　
　　条件1: A1,A2,…Anは、各々、面積確定であること。　　
　　条件2: A1,A2,…Anは、各々、空集合ではないこと。つまり、Ak≠φ　( k=1,2,…,n )　
　　条件3: A1,A2,…Anは、互いに重複してもよいが、重複部分の面積はゼロであること。
　　　　　　　　つまり、(Ak∩Al )の面積＝0　( k≠l )　
・分割の細かさを示す指標として、
　　{A1の直径,A2の直径,…,Anの直径}のなかの最大値
　がとりあげられ、
　これらは、記号|⊿|、δ、d(⊿)などで表される。
※A1,A2,…Anが矩形でなくてもよいというのがポイント。
　A1,A2,…Anが矩形ならば、普通の分割になる。　

定義：一般リーマン和

　[杉浦『解析入門I』IV章§9定義4(pp.275-6.);吹田新保『理工系の微分積分学』195;
　　笠原『微分積分学』7.2節 (pp.259-260);高木『解析概論』8章92節定理77-5(pp.332-334);]
（舞台設定）
　A:　R2上の有界な面積確定点集合を表すとする。
　A1,A2,…An：　Aの一般分割⊿によってできたn個の点集合で、以下の条件を満たしているとする。
　　　　　(条件1) Ak( k=1,2,…,n )は、面積確定
　　　　　(条件2) Ak≠φ　( k=1,2,…,n )　
　　　　　(条件3) (Ak∩Al )の面積＝0　( k≠l )　
　f(x ,y ):　ここでは、関数f(x ,y )として、Aの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
　まず、Ak( k=1,2,…,n )の各々から、
　代表点Pk =(ζk ,ηk )∈Akを一つ、勝手に選ぶ。
以下のように、積：f (Pk )・(Akの面積)＝f (ζk ,ηk) (Akの面積)
を、n個全てのAk ( k=1,2,…,n )について足し合せる。
　　
これを、
関数fの 、(一般分割⊿・代表点{ Pk }とした際の)一般リーマン和
という。
　※一般分割⊿・代表点{ Pk }のとりかたは、いろいろであるから、
　　関数fの一般リーマン和は、
　　一般分割⊿・代表点{ Pk }のとりかたに応じて、値を変えうる。
　　つまり、関数fの一般リーマン和は、一般分割⊿、代表点{ Pk }のある種の関数となっている。
　　分割を細かくしていったときに、この関数が収束するかどうかという問題が、
　　下記の積分可能の有無の問題に他ならない。


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定理：リーマン積分可能になるなら、一般リーマン和も積分値へ収束

　　[杉浦『解析入門I』IV章§9定理9.10-11(pp.275-9.)詳細な証明付;
　　　高木『解析概論』8章92節定理77-5(pp.332-334);吹田新保『理工系の微分積分学』195詳細な証明付;
　　　笠原『微分積分学』7.2節 (pp.259-260)]
（舞台設定）
　A:　R2上の有界な面積確定点集合を表すとする。
　R[f;⊿;{Pk}]:　関数fの 、一般分割⊿・代表点{ Pk }とした際の、一般リーマン和
　d(⊿):　一般分割⊿の分割の細かさ。　
　f(x ,y ):　ここでは、関数f(x ,y )として、Aの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
〇1　f(x ,y )が（矩形分割によるという意味で）A上リーマン積分可能ならば、　
　　(いろいろな一般分割⊿の採り方に対して、いろいろな一般リーマン和をつくれるが)
　　任意の(すべての)一般リーマン和R[f;⊿;{Pk}]に、d(⊿)→0の極限が存在し、
　　その極限値は（矩形分割した際の）A上のリーマン積分値に等しい。
　　すなわち、　　　
　　　　　f(x ,y )がA上可積分ならば、　　
　　　　
〇2　逆に、(いろいろな一般分割⊿の採り方に対して、いろいろな一般リーマン和をつくれるがそのなかの)
　　少なくとも一つの一般リーマン和R[f;⊿;{Pk}]に、d(⊿)→0の極限が存在するならば、
　　f(x ,y )はA上可積分で、　
　　　
(証明)
〇1　　杉浦『解析入門I』IV章§9定理9.10 (pp.276-8.)を見よ。
〇2　　杉浦『解析入門I』IV章§9定理9.11 (pp.278-9.)を見よ。

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