リーマン・スチルチェス積分　Riemann-Stieltjes integral

　前：有界変動、スチルチェス積分の定義・性質（1）、可積分条件　
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V. リーマン・スチルチェス積分の性質(その2)

 

定理：スチルチェス積分のリーマン積分への帰着

　[杉浦『解析入門I』357.; ルディン『現代解析学』6-1;高橋『経済学とファイナンスのための数学』95.]
　f(x)が閉区間[a,b]上有界でリーマン積分可能、t(x)が[a,b]上C1級ならば、
　f(x)はt(x)に関し、リーマン・スチルチェス積分可能となって、
　　

※なぜこうなるの？直感的なだいたいの説明: 　[高橋『経済学とファイナンスのための数学』95.]

分割⊿の分点を、a=x0<x1<x2<…<xn=b、で表すとする。
　（つまり、分割⊿は、閉区間[a,b]をI1=[a, x1], I2=[x1, x2],…,In=[xn‐1, b]に分けるものとする）
分割を⊿、Ikの代表点をζkとした際の、関数fの関数tに関するスチルチェス和は、
　　
　　　　　
　　　　　
ここで、|⊿|→0とすると、xk －xk‐1→0で、ζk∈[xk‐1 , xk]も考慮にいれると、
　　　
(tは微分可能, t'も連続なので) 。
すると、|⊿|→0で、関数fの関数tに関するスチルチェス和は
　　
となって、関数f t'のリーマン和に近づく。
この仮定下では、関数f t'もリーマン可積となるから、よって
　　

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厳密な証明:　　[杉浦『解析入門I』357.]　

仮定：f(x)は閉区間[a,b]上有界
　　　　すなわち、任意のx∈[a,b]に対して、f(x)≦MとなるMが存在する…＊0
　　　f(x)は閉区間[a,b]上リーマン可積分…＊1
　　　t(x)は閉区間[a,b]上C1級、
　　　　　すなわち、t(x)は閉区間[a,b]で微分可能で、
　　　　　　　　　その導関数t'(x)は閉区間[a,b]で連続　　…＊2　
　　　分割⊿の分点を、a=x0<x1<x2<…<xn=b、で表すとする。
　　　　　　　つまり、分割⊿は、閉区間[a,b]をI1=[a, x1], I2=[x1, x2],…,In=[xn‐1, b]に分けるものとする。　
準備0：＊2より、t'(x)は閉区間[a,b]で一様連続（∵）　…＊3
　　　　＊2より、t'(x)は閉区間[a,b]でリーマン積分可能（∵）…＊4
　　　　＊1 ＊4より、f(x) t'(x)もリーマン積分可能（∵）…＊5　
準備1:　＊5は、
　　　　分割⊿の分点x1<x2<…<xn－1の取り方、
　　　　それによってできた小区間Ik (k=1,2,…,n)の代表点ζkの取り方によらず、
　　　　|⊿|さえ小さくしてゆけば、　
　　　　⊿、{ζk }に関するf(x) t'(x)のリーマン和 R[ ft' ;⊿;{ζk } ]が収束することを意味する。　
　　　　すなわち、　　
　　　　　　…＊6　
　　　　　※正確を期して書けば、
　　　　　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば　
　　　　　　　　任意の(分点の取りかたで作れる)分割⊿、任意の代表点の取り方{ζk }に対して、
　　　　　　　　| R [ f t' ;⊿;{ζk}]－J|＜ε　
　　　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する」
　　
準備2:　＊2より、t(x)は閉区間[a,b]で微分可能（定理から[a,b]で連続にもなる）だから、
　　　[a,b]内部の任意の区間について、t(x)に対して平均値定理を適用可能。
　　　ゆえに、[a,b]の分割⊿によって生じた小区間I1=[a, x1], I2=[x1, x2],…,In=[xn‐1, b]でも、
　　　t(x)に対して平均値定理を適用可能。
　　　よって、k = 1,2,…,nについて、
　　　　　t ( xk )－t ( xk－1 )=t ' (ζ'k ) ( xk－xk－1 ) 　　　　
　　　を満たすζ'kがIk =[ xk－1, xk ]内に存在する　　　…＊7　
準備3:　＊3は、
　　　任意の正数εに対して、
　　　　　　| x－y| ＜ δ （x,y∈[a,b] ）ならば、| t' (x)－t' (y) |＜ε
　　　を成り立たせるある正数δが存在　　　　…＊8　
　　することを意味する。　
本題1:　関数fの関数tに関する(分割を⊿、Ikの代表点をζkとした際の)スチルチェス和は、　
　
　　　　　 (ζ'kは＊7で存在が保証されたζ'k∈ Ik=[ xk－1, xk ]　)　…＊9
本題2: 分割を⊿、Ikの代表点をζkとした際の、
　　　　f(x)のt(x)に関するスチルチェス和と、f(x) t'(x)のリーマン和の差の絶対値をとると、
　| S[ f ;t ;⊿;{ζk } ]－R[ f t' ;⊿;{ζk } ]|　　
　　　　(＊9より)
　=| {f (ζ1 ) t' (ζ'1 )( x1－a )+ f (ζ2 ) t' (ζ'2 )( x2－ x1 ) +…+ f (ζn ) t' (ζ'n )( b－ xn-1 ) }
　　　－{ f (ζ1 ) t' (ζ1 )( x1－a )+ f (ζ2 ) t' (ζ2 )( x2－ x1 ) +…+ f (ζn ) t' (ζn )( b－ xn-1 ) } |　
　=| {f (ζ1 ) t' (ζ'1 )( x1－a )－f (ζ1 ) t' (ζ1 )( x1－a ) }
　　　+ { f (ζ2 ) t' (ζ'2 )( x2－ x1 ) －f (ζ2 ) t' (ζ2 )( x2－ x1 ) }
　　…+ { f (ζn ) t' (ζ'n )( b－ xn-1 )－f (ζn ) t' (ζn )( b－ xn-1 ) } |
　=| f (ζ1 ) ( x1－a ) { t' (ζ'1 )－t' (ζ1 ) }+ f (ζ2 ) ( x2－ x1 ) { t' (ζ'2 )－t' (ζ2 ) }+
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…+ f (ζn ) ( b－ xn-1 ) { t' (ζ'n ) －t' (ζn )} |　
　　…＊10
本題3: 任意の正数εにたいして、＊8よりある正数δが存在し、
　　　このδよりも小区間Ik =[ xk－1, xk ]の幅(xk－xk－1)を小さくするような(つまり0＜|⊿|＜δとなる)
　　　任意の分割⊿にたいして、
　| S[ f ;t ;⊿;{ζk } ]－R[ f t' ;⊿;{ζk } ]|　
　　（＊10より）　　　
　　
　　　　　　　　　（ζ'k ,ζk∈ Ik=[ xk－1, xk ]かつxk－xk－1＜δだから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|ζ'k－ζk | ＜ δとなって、
　　　　　　　　　　　　　　＊8より、　　| t' (ζ'k)－t' (ζk) |＜ε　）
　　　
　　　　(＊0より、)　
　　　
　＝ε|M(b－a) |　＝ε(b－a)|M |　
以上をまとめると、
　　　任意の正数εにたいして、＊8よりある正数δが存在し、
　　　　　0＜|⊿|＜δとなる限りで任意の分割⊿にたいして、
　　　| S[ f ;t ;⊿;{ζk } ]－R[ f t' ;⊿;{ζk } ]|　＜ε(b－a)|M|…＊11
正数εが任意なら、ε(b－a)|M|も任意だから、
＊11は、　　
　　　　　任意の（どんな）正の実数ε(b－a)|M|に対して（でも）、
　　　　「　0＜|⊿|＜δ　ならば、
　　　　　　分割⊿の取り方、それによってできた小区間Ik (k=1,2,…,n)の代表点ζkの取り方によらず、
　　　　　　|S [ f ; t ;⊿;{ζk}]－R[ f t' ;⊿;{ζk } ]|＜ε(b－a)|M|　」
　　　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在する、　　
ことを意味している。
これは、f(x)はt(x)に関しリーマン・スチルチェス積分可能であることの定義にほかならない。
また、|⊿|→0で、S [ f ; t ;⊿;{ζk}] 　が＊６に収束することを意味する。
　　　　　　　　　（←この最後のところ、緩いのでは？）

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定理：スチルチェス積分の第2平均値定理I

　　　[杉浦『解析入門I』358:証明付;]
関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、関数t(x)が閉区間[a,b]で単調増加ならば、
　
を成立させる、あるc∈[a,b]が存在する。

定理：スチルチェス積分の第2平均値定理II

　　[杉浦『解析入門I』358.証明付;]

　関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、関数t(x)が閉区間[a,b]で単調増加ならば、
　　
　を成立させる、あるc∈[a,b]が存在する。

定理：スチルチェス積分の第2平均値定理III

[杉浦『解析入門I』359証明付; Lang, Real and Functional Analysis 286;]

　関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、関数t(x)が閉区間[a,b]で単調増加かつt(x)≧0ならば、
　　
　を成立させる、あるc∈[a,b]が存在する。
　関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、関数t(x)が閉区間[a,b]で単調減少かつt(x)≧0ならば、
　　
　を成立させる、あるc∈[a,b]が存在する。


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(reference)

高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.93-99;104-106.
高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、pp. 129-132;443-445.
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、p.345;pp.349-361.
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ－ルタ－・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第6章。
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,pp.224-5:Exercisesとして。
Lang,Serge.Real and Functional Analysis(Graduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1993,pp.278-287.
Ross,Kenneth A.Elementary Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1980,pp.203-221.