距離空間(Rn,d)上のコンパクト集合の定義 : トピック一覧 |
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【関連】 |
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定義:距離空間(Rn,d)上でのコンパクト集合Compact Setの定義
【設定】 |
【文献】 |
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・条件2: 距離空間 (Rn,d)の開集合のみからなること。 すなわち、 ∀λ∈Λ ∀a∈Uλ ∃Uε(a) Uε(a)⊂Uλ
手順2: Ц={ Uλ}λ∈Λの有限部分被覆{U1,U2,U3,…,Un}が存在するかどうかチェック。
すなわち、
{ Uλ}λ∈Λから、「A⊂U1∪U2∪U3∪…∪Un」を満たす、「集合の有限列」{U1,U2,U3,…,Un}を
取り出せるかどうかをチェック。
手順3: ・ Ц={ Uλ}λ∈Λの有限部分被覆が存在しないならば、
すなわち、{ Uλ}λ∈Λから、どういう組合せで {U1,U2,U3,…,Un} をひねり出してきても、「A⊂U1∪U2∪U3∪…∪Un」 と出来ないならば、
Aは、コンパクト集合ではない。
・ Ц={ Uλ}λ∈Λの有限部分被覆が存在するならば、
すなわち、{ Uλ}λ∈Λから、{U1,U2,U3,…,Un}をうまく選べば、「A⊂U1∪U2∪U3∪…∪Un」 を満たす {U1,U2,U3,…,Un} をつくれるならば、
手順4へ進む。
手順4: Aの「距離空間 (Rn,d ) における開被覆」を、他のものに変えて、手順1-3をテストしてみる。
Aのあらゆる「距離空間 (Rn,d ) における開被覆」に対して、有限部分被覆が存在するならば、 Aはコンパクト集合である。
→トピック一覧:Rn上のコンパクト集合 |
・距離空間 (Rn,d ) 上のコンパクト集合は、位相空間上のコンパクト集合の定義を満たす。
・具体的にいえば、
距離空間 (Rn,d ) 上のコンパクト集合は、
距離空間 (Rn,d ) の開集合をすべてあつめた集合系を d とした際の、位相空間(Rn,
d)上のコンパクト集合にあたる。
事実: 距離空間 (Rn,d ) の開集合をすべてあつめた集合系 d は、位相空間上の開集合系定義を満たし、Rnの位相となる。(∵)
この事実から、
距離空間 (Rn,d ) におけるコンパクト集合の定義 「《》Aがコンパクト集合であるとは、Aの任意の『 距離空間 (Rn,d ) における開被覆』が、『 距離空間 (Rn,d ) における有限部分被覆』をもつこと。」
は、
位相空間上のコンパクト集合の定義 「位相空間(X, )の部分集合Aがコンパクト集合であるとは、部分集合Aの任意の『Xにおける開被覆』が、『Xにおける有限部分被覆』をもつこと。」
を満たす。
(1)上記の事実より、距離空間 (Rn,d ) には、つねに、位相空間(Rn, d )がついてくる。 したがって、「距離空間 (Rn,d ) 上の部分集合A」という設定は、 「位相空間(Rn ,
d )上の部分集合A」という設定にほかならない。
(2)上記の事実より、距離空間 (Rn,d ) の開集合は、位相空間(Rn, d )の開集合の定義を満たす。ゆえに、『 距離空間 (Rn,d ) における開被覆』とは、『位相空間(Rn,
d ) における開被覆』にほかならない。
→トピック一覧:Rn上のコンパクト集合 |