関数列の極限関数の連続性：トピック一覧　　

　・極限関数が連続となるための十分条件/関数項級数の和が連続となるための十分条件　　

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※一般化：実数値関数一般の関数列の連続性　
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定理：関数列が一様収束すれば、極限関数は連続

定理

(条件1)　関数列{ fn(x)}の各項f1(x), f2(x), f3(x),…がすべて区間I上で連続
かつ
(条件2)　関数列{ fn(x)}が区間I上で極限関数f (x)に一様収束
が成り立つ
ならば、
極限関数f (x)も、区間I上で連続となる。
(関数列がI上一様収束しないならば、極限関数は必ずしもI上連続ではない。)

[文献]
小平『解析入門I』
　第5章3節b (pp.218-9.);
吹田新保『理工系の微分積分学』
　第5章3節(p.141);
黒田『微分積分』
　第3章5節(pp.116-117.);
ルディン『現代解析学』7.12(p.151)。

活用例

パラメータ付積分の連続性についての定理 　

証明

右にあげた文献を参照のこと。
　 　

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定理：関数項級数が一様収束すれば、和にあたる関数も連続

定理

(条件1)　関数列{ fn(x)}の各項f1(x), f2(x), f3(x),…がすべて区間I上で連続
かつ
(条件2)　関数列{ fn(x)}の関数項級数　
　　　　　
　　　　　が区間I上で一様収束
が成り立つ
ならば、
関数項級数の和
　
も、区間I上で連続となる。
(関数列がI上一様収束しないならば、
　　　s (x) は必ずしもI上連続ではない。)

[文献]
小平『解析入門I』
　第5章3節b (pp.218-9.);
吹田新保『理工系の微分積分学』
　第5章3節(p.141);
黒田『微分積分』
　第3章5節(pp.116-117.);

活用例

　

証明

右に揚げた文献を参照のこと。
　 　

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(reference)

吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、第5章3節(pp.137-9).
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年、第5章3節b (pp.218-9.)。
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分』共立出版、2002年、第3章5節(pp.116-117.)。
Walter Rudin, ,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第7章7.1-:。ただ定義と定理を説明するのではなく、関数列で扱う主要問題と狙いを深いところから説明していて助かる。特に、連続関数列の極限が連続であるかどうかという問題が、極限の順序交換可能性の問題にほかならないなどとあらかじめ説明している点。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、第2章2.1節I(p.43):10行だけの説明。

Fischer,Emanuel.Intermediate Real Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin,1983,ChapterXI-II.

　

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