2変数関数の最大値最小値定理･中間値定理：トピック一覧　　

　・有界閉集合上の性質：連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/最大値・最小値定理
　　　　　　　　　　　　関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続　
　・連結な集合上の性質：中間値定理/連続関数による領域の像は区間/連続関数による閉領域の像は閉区間　　　

　※2変数関数に関する諸概念の定義：2変数関数/極限/極限の性質/連続性/偏微分/全微分/　
　※1変数関数のケースでの最大値最小値定理･中間値定理･一様連続　
　※一般化： n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/実数値関数一般/距離空間のあいだの写像のケース　　　
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定理：2変数連続関数による有界閉集合の像は、有界閉集合

要旨

「R²上の有界な閉集合」Dで連続な2変数関数によるDの像は「R上の有界閉集合」。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1：平面R²を用意する。
　　　　*R²とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。
　　　　　実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2：平面R²にユークリッド距離dを定めて、
　　　　　　　　　ユークリッド平面(R²,d)を設定。
Step3：平面R²上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂R²」　
　　　　*Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。　
Step4：平面R²上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。
　　　　つまり、f : D→R　（D⊂R² ）　
　　　　　　　　z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R² ) ,　
　　　　　　　　z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R² )　
　　　　*fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」
　　　　　だとも言える。
Step5：「平面R²上の点集合D」に属す2点を、P=(x, y),Q=(x', y')と名づける。
　　　　つまり、「P, Q∈D⊂R²」　　
　　　　*P, Qは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。

[活用例]
・「有界閉集合で連続な2変数関数は有界」の証明
・最大値最小値定理の証明
[類例]1変数関数のケース
[一般化] n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース
[文献]
��木『解析概論』定理13(p.26);
小平『解析入門�U』定理6.3(p.263):証明付;
吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160.
杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付;
ルディン『現代解析学』4.14(p.87)距離空間一般上。

定理

命題P
　「2変数関数f (P)＝f (x,y)が、R²上の点集合Dで連続である」
が成り立ち、
かつ
命題Q
　「R²上の点集合Dが有界な閉集合である」
が成り立つ
ならば、
命題R
　「2変数関数f による点集合Dの像f (D)が
　　　　R上の点集合として有界な閉集合である」
が成り立つ。

※なぜ？→証明　

[予備情報]
・命題Q「R²上の点集合Dが有界な閉集合である」
　⇔命題Q'「R²上の点集合Dが点列コンパクト」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　
・命題R「2変数関数f による点集合Dの像f (D)が
　　　　　　　R上の点集合として有界な閉集合」
　⇔命題R'「2変数関数f による点集合Dの像f (D)が
　　　　　　　　　　　　　　　R上点列コンパクト」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　　

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定理：有界閉集合で連続な2変数関数は有界

要旨

R²上の有界な閉集合Dで連続な2変数関数はDで有界。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1：平面R²を用意する。
　　　　*R²とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。
　　　　　実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2：平面R²にユークリッド距離dを定めて、
　　　　　　　　　ユークリッド平面(R²,d)を設定。
Step3：平面R²上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂R²」　
　　　　*Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。　
Step4：平面R²上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。
　　　　つまり、f : D→R　（D⊂R² ）　
　　　　　　　　z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R² ) ,　
　　　　　　　　z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R² )　
　　　　*fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」
　　　　　だとも言える。
Step5：「平面R²上の点集合D」に属す2点を、P=(x, y),Q=(x', y')と名づける。
　　　　つまり、「P, Q∈D⊂R²」　　
　　　　*P, Qは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。

[類例]　
　1変数関数のケース
[一般化] n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース　

[文献]
��木『解析概論』定理13(p.26);
小平『解析入門�U』定理6.3(p.263):証明付;
吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160.
杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付;
ルディン『現代解析学』4.15(p.87)距離空間一般上。

定理

命題P
　「2変数関数f (P)＝f (x,y)が、R²上の点集合Dで連続」
が成り立ち、
かつ
命題Q
　「R²上の点集合Dが有界な閉集合である」
が成り立つ
ならば、
命題R「2変数関数f (P)＝f (x,y)は、点集合Dで有界」
が成り立つ。

[予備情報]
・命題Q「R²上の点集合Dが有界な閉集合である」
　⇔命題Q'「R²上の点集合Dが点列コンパクトである」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　
・命題R「2変数関数f (P)は、点集合Dで有界」
　⇔命題R'「『2変数関数f による点集合Dの像』f (D)が
　　　　　　　　　　　　R上の点集合として有界」
　　　（∵有界関数の定義）　

証明

・定理より、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』f (D)は、R上の点集合として有界な閉集合」。
　つまり、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』f (D)は、R上の有界な点集合」。
・有界関数の定義より、
　「2変数関数f (P)＝f (x,y)は、点集合Dで有界」とは、
　「『f による点集合Dの像』f (D)が、R上の有界な点集合である」の意。
・以上2点から、命題Pかつ命題Qならば、命題R「2変数関数f (P)＝f (x,y)は、点集合Dで有界」が成り立つといえる。

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2変数関数の最大値・最小値定理

要旨

有界な閉集合Dで連続な2変数関数には、Dにおける最大値･最小値が存在する。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1：平面R²を用意する。
　　　　*R²とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。
　　　　　実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2：平面R²にユークリッド距離dを定めて、
　　　　　　　　　ユークリッド平面(R²,d)を設定。
Step3：平面R²上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂R²」　
　　　　*Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。　
Step4：平面R²上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。
　　　　つまり、f : D→R　（D⊂R² ）　
　　　　　　　　z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R² ) ,　
　　　　　　　　z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R² )　
　　　　*fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」
　　　　　だとも言える。
Step5：「平面R²上の点集合D」に属す2点を、P=(x, y),Q=(x', y')と名づける。
　　　　つまり、「P, Q∈D⊂R²」　　
　　　　*P, Qは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。

[類例]1変数関数の最大値最小値定理　
[一般化] n変数関数の最大値最小値定理/距離空間のあいだの写像のケース　

[文献]
��木『解析概論』定理13(p.26);
小平『解析入門�U』§6.1定理6.3(p.263):証明付
吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160.
杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付;
ルディン『現代解析学』4.16(p.87)距離空間一般上。

定理

命題P
　「2変数関数f (P)＝f (x,y)が、R²上の点集合Dで連続である」
が成り立ち、
かつ
命題Q
　「R²上の点集合Dが有界な閉集合である」
が成り立つ
ならば、
命題R
　「2変数関数f (P)＝f (x,y)の、点集合Dにおける最大値･最小値が存在する」
が成り立つ。

証明

・定理より、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』f (D)は、R上の点集合として有界な閉集合」。
・定理より、R上の点集合として有界な閉集合には、その最大元・最小元が存在する。
・上記２点より、
　命題Pかつ命題Qならば、
　　『f による点集合Dの像』f (D)には、その最大元 max f (D)・最小元 min f (D)が存在する。
・「f の点集合Dにおける最大値･最小値」の定義は、max f (D)・min f (D)であったから、
　上記は、
　　命題Pかつ命題Qならば、命題R「f の点集合Dにおける最大値･最小値が存在する」
　と言換えてよい。　

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ハイネの定理：有界閉集合上連続な関数はそこで一様連続

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1：平面R²を用意する。
　　　　*R²とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。
　　　　　実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2：平面R²にユークリッド距離dを定めて、
　　　　　　　　　ユークリッド平面(R²,d)を設定。
Step3：平面R²上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂R²」　
　　　　*Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。　
Step4：平面R²上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。
　　　　つまり、f : D→R　（D⊂R² ）　
　　　　　　　　z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R² ) ,　
　　　　　　　　z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R² )　
　　　　*fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」
　　　　　だとも言える。
Step5：「平面R²上の点集合D」に属す点を、P=(x, y)と名づける。
　　　　つまり、「P∈D⊂R²」　　
　　　　*Pは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。

[予備知識]点での連続性/Dで連続:δが各A∈D毎にちがっていてもよい/Dで一様連続:すべてのA∈Dに共通なδ
[類例]1変数関数のケース
[一般化] n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース

[文献]
小平『解析入門�U』定理6.2(p.262):証明付
吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160.
��木『解析概論』定理14(p.27)
杉浦『解析入門I』�W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226):ベクトル値関数一般･証明付;
ルディン『現代解析学』4.19(p.88):距離空間一般上:証明付。

定理

命題P「2変数関数f (P)＝f (x,y)が、R²上の点集合Dで連続」
　が成り立ち、
かつ
命題Q「R²上の点集合Dが有界な閉集合（コンパクト）である」
　が成り立つ
ならば、
命題R「2変数関数f (P)＝f (x,y)は、点集合Dで一様連続」

[予備情報]
　命題Q「R²上の点集合Dが有界な閉集合である」
　⇔命題Q'「R²上の点集合Dが点列コンパクトである」
　　　(∵ハイネ･ボレル･ルベークの被覆定理)　

証明

2変数関数に限定：小平『解析入門�U』定理6.2(p.262)
n変数関数一般：
ベクトル値関数一般：杉浦『解析入門I』�W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226)
距離空間から距離空間への関数一般：ルディン『現代解析学』4.19(p.88)

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中間値定理 intermediate value theorem

要旨

Dで連続な2変数関数fは、f (P)≠f (Q)とすると、D上でf (P)とf (Q)の間の全ての値をとる。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1：平面R²を用意する。
　　　　*R²とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。
　　　　　実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2：平面R²に距離dを定めて、距離空間(R²,d)を設定。
　　　　*普通は、平面R²にユークリッド距離を与えて
　　　　　　　　　　　　　　ユークリッド平面を考える。　
Step3：平面R²上の弧状連結な点集合を選んで、集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂R²」
　　　　　　　　かつ、
　　　　　　　　点集合Ｄに属す任意の2点を結ぶ曲線を点集合Sが含む。
　　　　*Dは、弧状連結な「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。　
Step4：平面R²上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。
　　　　つまり、f : D→R　（D⊂R² ）　
　　　　　　　　z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R² ) ,　
　　　　　　　　z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R² )　
　　　　*fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」
　　　　　だとも言える。
Step5：「平面R²上の弧状連結な点集合D」に属す点を、
　　　　P=(x, y) , Q=(x_q, y_q) , R=(x_r, y_r) , S=(x_s, y_s) と名づける。
　　　　つまり、「P,Q,R,S∈D⊂R²」　　
　　　　*Pは、「Dに属す実2次元数ベクトル」といってもよい。

[類例]1変数関数の中間値定理　
[一般化] n変数関数の中間値定理/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース


[文献]
��木『解析概論』定理12(pp.26-7):証明付
吹田・新保『理工系の微分積分学』6章�U-7(p. 161):��木と同じ証明付.
杉浦『解析入門I』I-8-問題13(p.80);解答.(p.405):��木と同じ.
高橋『経済学とファイナンスのための数学』p.145;

定理

2変数関数f (P)＝f (x,y)が、R²上の弧状連結な点集合Dで連続ならば、
「弧状連結な点集合Dに属し、かつ、f (Q)＝f (x_q, y_q)<f (R)＝f (x_r, y_r)」を満たす限りで任意の点Q=(x_q, y_q),R=(x_r, y_r)にたいして、
「『f (Q)＝f (x_q, y_q) < c < f (R)＝f (x_r, y_r)』を満たす限りで任意の実数cにたいして、
　　『弧状連結な点集合Dに属し、かつ、f (S)＝f (x_s, y_s)=c』を満たす点S=(x_s, y_s)が存在する。」
が成立する。
論理記号で表すと、
「f (P)＝f (x,y)が、R²上の弧状連結な点集合Dで連続」
　　⇒ ( ∀ Q,R ∈D ) ( f (Q)<f (R) ⇒ ( ∀c∈R ) ( f (Q) < c < f (R) ⇒ (∃S∈D ) ( f (S)＝c ) ) )
※なぜ？→証明

※

関連事項：1変数関数についての中間値定理、

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定理：2変数連続関数による領域の像は、区間

要旨

「R²上の領域」Dで連続な2変数関数によるDの像は「R上の区間」。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1：平面R²を用意する。
　　　　*R²とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。
　　　　　実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2：平面R²に距離dを定めて、距離空間(R²,d)を設定。
　　　　*普通は、平面R²にユークリッド距離を与えて
　　　　　　　　　　　　　　ユークリッド平面を考える。　
Step3：平面R²上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂R²」　
　　　　*Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。　
Step4：平面R²上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。
　　　　つまり、f : D→R　（D⊂R² ）　
　　　　　　　　z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R² ) ,　
　　　　　　　　z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R² )　
　　　　*fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」
　　　　　だとも言える。　

[一般化] n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース

[文献]
小平『解析入門�U』定理6.4(p.263):証明付;
ルディン『現代解析学』4.22(p.91)距離空間一般上。

定理

命題P「2変数関数f : D→R　（D⊂R² ）が、R²上の点集合Dで連続である」が成り立ち、
かつ
命題Q「R²上の点集合Dが領域である」が成り立つ
ならば、
命題R「2変数関数f による点集合Dの像f (D)は、R上の区間である」が成り立つ。

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定理：2変数連続関数による有界な閉領域の像は、閉区間

要旨

「R²上の閉領域」Dで連続な2変数関数によるDの像は「R上の閉区間」。

設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。　
Step1：平面R²を用意する。
　　　　*R²とは、実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合。
　　　　　実2次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。
Step2：平面R²に距離dを定めて、距離空間(R²,d)を設定。
　　　　*普通は、平面R²にユークリッド距離を与えて
　　　　　　　　　　　　　　ユークリッド平面を考える。　
Step3：平面R²上の点集合のひとつを選んで、集合Dと名づける。
　　　　つまり、「D⊂R²」　
　　　　*Dは、「実2次元数ベクトルの集合」とも呼べる。　
Step4：平面R²上の点集合Dで定義された2変数関数 f を用意。
　　　　つまり、f : D→R　（D⊂R² ）　
　　　　　　　　z=f(P) ( z∈R, P∈D⊂R² ) ,　
　　　　　　　　z=f(x,y) ( z∈R, (x, y)∈D⊂R² )　
　　　　*fは「Dに属す各実2次元数ベクトルから実数への対応付け」
　　　　　だとも言える。

[一般化] n変数関数のケース/ベクトル値関数のケース/距離空間のあいだの写像のケース


[文献]
小平『解析入門�U』定理6.5(p.264):証明付;

定理

命題P「2変数関数f : D→R（D⊂R² ）が、R²上の点集合Dで連続である」が成り立ち、
かつ
命題Q「R²上の点集合Dが有界な閉領域である」が成り立つ
ならば、
命題R「2変数関数f による点集合Dの像f (D)は、R上の閉区間である」が成り立つ。

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