2変数関数の具体例−2次関数:トピック一覧

 ・定義:回転放物面/楕円放物面/双曲放物面/放物筒
2変数関数に関する諸概念の定義:2変数関数の定義/2変数一次関数/2変数関数の極限/連続性/偏微分/全微分/矩形上の積分/点集合上の積分  
総目次

定義:回転放物面

 2変数関数z=f(x,y)=x2+y2グラフ
  すなわち、z=f(x,y)=x2+y2を満たす(x, y, z) を全て集めた集合{ (x,y, z) | z=x2+y2 }
 は、
 以下のようになる。
 このグラフを、回転放物面と呼ぶ。

  回転放物面z=x^2+y^2
 【文献】
    ・高橋『微分と積分2』§3.1例3.2 (p.64)


トピック一覧:2変数2次関数 
総目次

定義:楕円放物面 

 2変数関数z=f(x,y)=ax2+by2 ( ab>0)のグラフ
  すなわち、z=ax2+by2を満たす(x,y,z) を全て集めた集合 { (x,y,z) | z=ax2+by2 }は、
 以下のようになる。
 このグラフを、楕円放物面と呼ぶ。

  [例:2変数関数z=5x2+y2グラフ]

  z=5x2+ y2

楕円放物面z=5x^2+y^2のグラフ


 
 【文献】
    ・高橋『微分と積分2』§3.1例3.3 (p.65)


トピック一覧:2変数2次関数 
総目次

定義:双曲放物面 

2変数関数z=f (x,y) = ax2by2 ( a,b>0)のグラフ
 すなわち、
   z= ax2by2を満たす(x, y, z) を全て集めた集合 { (x, y, z) | z= ax2by2 }
は、以下のようになる。
このグラフを、双曲放物面と呼ぶ。

 [z=5x2−5y2グラフ]
    双曲放物面(z=5x^2-5y^2)のグラフ
 [z=x2- y2グラフ]
 

双曲放物面z=x^2-y^2のグラフ




【文献】
 ・高橋『微分と積分2』§3.1例3.4 (pp.65-6)

トピック一覧:2変数2次関数 
総目次

定義:放物筒   

2変数関数z=f(x,y)=ax2 ( a>0)のグラフ
   すなわち、z=ax2を満たす(x, y, z) を全て集めた集合 { (x, y, z) | z=ax2}
 は、
 以下のようになる。
  放物筒z=x^2のグラフ
 このグラフを、放物筒と呼ぶ。

【文献】
 ・高橋『微分と積分2』§3.1例3.5 (pp.66-7)


トピック一覧:2変数2次関数 
総目次


定義:2次同次関数 、2次形式

・「2変数x,yについての二次形式」「x,yの2次同次関数」とは、
  2変数x,yについての多項式で、2次の項ばかりからなるもの 
  すなわち、
  Q (x,y) = ax2+2 bxy + c y2   (a,b,cは定数)
 のことをいう。

※詳細→2変数2次形式 

【文献】
 ・高橋『微分と積分2』§3.1定理3.6 (p.67)

定理:2次同次関数の標準形 


【文献】
 ・高橋『微分と積分2』§3.1定理3.6 (p.67)

定理:2次関数の2次同次関数への帰着 

・同次でない2次関数は、平行移動すれば、同次関数に変形できる。
 でも、すべての2次関数かどうかはわからない…・

【文献】
 ・高橋『微分と積分2』§3.1問5 (p.68)


トピック一覧:2変数2次関数 
総目次