無限級数　: トピック一覧

定義：無限級数 infinite　series　ないし　級数 series

定義

・無限級数infinite series　ないし　級数series　とは、 　無限数列　a1,a2,a3,… の全項を足し合せた無限和 　　　a1+a2+a3+… 　のこと。 　記号 ∞  ai i=1 　で表す。

[文献] 　・『岩波数学辞典』項目80A (p.211). 　・『岩波入門数学辞典』「級数series」(p.138);「無限級数infinite series」(p.592) 　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質　d)無限級数(p.41); 　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列IV級数(p.14); 　・笠原皓司『微分積分学』3.6(p.100) 　・赤攝也『実数論講義』§8.1級数(p.227)　 　・加藤十吉『微分積分学原論』定義2.9(p.20) 　・和達『微分積分』7章1節(p.170) 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.4級数(pp.84-85)  ※下位概念：正項級数/交代級数/等比級数/ベキ級数(整級数)　※活用例：実数の十進小数展開

定 義：正項級数 positive term series

定義：交代級数・交項級数　alternating series　　

定義：第n部分和　the n-th partial sum　

定義

・無限数列 a1,a2,a3,… の(ないしその級数の)第n部分和とは、 　無限数列　a1,a2,a3,… の第1項から第n項までを足し合せるが、 　　第(n＋1)項以降を無視した有限和 　　　　　a1+a2+a3+…+an  　 n すなわち、  ai i=1 　を指す。

[文献] 　・『岩波数学辞典』項目80A 級数 (p.211). 　・『岩波入門数学辞典』無限級数infinite series」(p.592) 　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質d)無限級数(p. 41) 　・赤攝也『実数論講義』§8.1級数(pp.227-8) 　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列IV級数(p.14) 　・笠原皓司『微分積分学』3.6定義3.11(p.100) 　・和達『微分積分』7章1節(p.170) 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.4級数(pp.84-85)

定義：部分和列

定義

・無限数列　a1,a2,a3,…　の(ないしその級数の)部分和列とは、 　無限数列　a1,a2,a3,…　の第n部分和を、 　　　　第1部分和, 第2部分和, 第3部分和,…,第n部分和,… 　というふうに並べた数列のこと。 ・部分和の定義に遡って書き下すと、 　無限数列　a1,a2,a3,…　の(ないしその級数の)部分和列とは、 　　無限数列  a1, a1+a2, a1+a2+a3, a1+a2+a3+a4, … , a1+a2+a3+…+an, … 　　　　　記号Σを用いると、 1 2 3 n 無限数列 　  ai　,  ai　,  ai　, … ,  ai  , … i=1 i=1 i=1 i=1 　のことを指す。

[文献] 　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列IV級数(p.14) 　・和達『微分積分』7章1節(p.170) 　・『岩波入門数学辞典』無限級数infinite series」(p.592) 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.4級数(pp.84-85)

定義：級数の収束　converge,convergent, convergence　と和 sum

定義	∞ ・「　無限級数　 ai 　がSに収束する　」　とは、 i=1 　　　その部分和列がSに収束するということ。 ・部分和列の定義に遡って書き下すと、 ∞ 　「　無限級数　 ai 　がSに収束する　」　とは、 i=1 　　　（a1+…+an）→ S　　（n→∞） n 記号Σを用いると、 ai → S　（n→∞）  i=1 　　となることを表す。	[文献] 　・『岩波数学辞典』項目80A (p.211). 　・『岩波入門数学辞典』「級数series」(p.138);「無限級数infinite series」(p.592) 　・赤攝也『実数論講義』§8.1級数(p.229) 　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質　d)無限級数(p.41); 　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列IV級数(p.14); 　・笠原皓司『微分積分学』3.6 定義3.11(p.100) 　・和達『微分積分』7章1節(p.170) 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.4級数(pp.84-85) 　・加藤十吉『微分積分学原論』定義2.9(p.20) 　※活用例：実数の十進小数展開
記号	∞ ・「　無限級数　 ai 　がSに収束する　」　ことを、 i=1 　　 ∞ 　　記号　　 ai ＝S　　　ないし、　a1,a2,a3,…＝S　　 i=1 　　で表す。

定義：級数の発散　diverge , divergent,divergence

定義	∞ ・「　無限級数　 ai 　が発散する　」　とは、 i=1 　　　その部分和列がSに発散するということ。 ・部分和列の定義に遡って書き下すと、 ∞ 　「　無限級数　 ai 　が発散する　」　とは、 i=1 　　　n→∞としたときに、（a1+…+an）が発散する　　 　　　　 記号Σを用いると、 n n→∞としたときに、 ai が発散する  i=1 　　ことを表す。	[文献] 　・『岩波数学辞典』項目80A (p.211). 　・『岩波入門数学辞典』「級数series」(p.138);「無限級数infinite series」(p.592) 　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列IV級数(p.14); 　・和達『微分積分』7章1節(p.170) 　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質　d)無限級数(p.41); 　・笠原皓司『微分積分学』3.6 定義3.11(p.101)
記号	∞ ・「　無限級数　 ai 　が＋∞に発散する　」　ことを、 i=1 　　 ∞ 　　記号　　 ai ＝＋∞　ないし　a1,a2,a3,…＝＋∞　 i=1 　　で表す。 ∞ ・「　無限級数　 ai 　が−∞に発散する　」　ことを、 i=1 ∞ 　　記号　　 ai ＝−∞　ないし　a1,a2,a3,…＝−∞　 i=1

定義：絶対収束する　converge absolutely　

定義

∞ ・「　無限級数　 ai 　が絶対収束する　」　とは、 i=1 ∞ 　　　無限級数　 |ai| 　が収束することをいう。 i=1 ∞ ・無限級数　 ai 　が絶対収束するならば、 i=1 ∞ 　　　無限級数　 ai 　は、収束する。 i=1

[文献] 　・『岩波数学辞典』項目80C (p.211). 　・吹田新保『理工系の微分積分学』5章§2絶対収束と条件収束(p.134); 　・和達『微分積分』7章4節(p.182) 　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質d)無限級数(p.43;45) 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定理2.4.3の直前(p.86) 　・笠原皓司『微分積分学』定義3.26(p.108)

定義：条件収束する converge conditonally

定義

∞ ・「　無限級数　 ai 　が条件収束する　」　とは、 i=1 ∞ 　　　　　無限級数　 |ai| 　は、発散するが、　 i=1 ∞ 　　　　　無限級数　 ai 　は、収束する　ことをいう。 i=1

[文献] 　・『岩波数学辞典』項目80C (p.211). 　・吹田新保『理工系の微分積分学』5章§2絶対収束と条件収束(p.134); 　・和達『微分積分』7章4節(p.182) 　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質d)無限級数(p.43;45) 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定理2.4.4の直前(p.87) 　・笠原皓司『微分積分学』3.6 定義3.28(p.108)

無限級数の基本的性質

定理：コーシーCauchyの判定条件

定理：級数の収束と数列の収束 　　　

定理：正項級数の収束のための十分条件

　　　　[吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列IV定理8(p.15); 笠原皓司『微分積分学』3.7正項級数(pp.102-7)
　　　　　『岩波数学辞典（第三版）』項目80B(p.211).]
・正項級数a₁+a₂+a₃+…の部分和列が有界⇒正項級数a₁+a₂+a₃+…が収束する

定義：等比級数 geometric series

定理：等比級数の収束と発散

定義：ベキ級数・冪級数power series整級数

	∞	aixi	すなわち　a0+a1x +a2x2+a3x3+…
	i=1

（reference）