距離空間のあいだの写像の極限の定義：トピック一覧　　

　　・定義：距離空間のあいだの写像の収束・極限値/ノルム空間のあいだの写像の収束･極限値　
　　・定理： 写像の収束と点列数列の収束の関連　

　※距離空間の間の写像の諸概念：写像の定義/連続性の定義/
　※写像の極限の具体例：１変数関数の収束・極限値/2変数関数の収束･極限値/ n変数関数の収束･極限値/
　　　　　　　　　　　　　実数値関数の収束･極限値/ベクトル値関数の収束･極限値　　
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定義：距離空間から距離空間への写像の収束convergence・極限値limit　

→具体例：１変数関数の収束･極限値/ 2変数関数の収束･極限値/ n変数関数の収束･極限値/
　　　　　実数値関数の収束･極限値/ベクトル値関数の収束･極限値　
→活用例：連続性の定義

舞台設定

「距離空間から距離空間への写像の収束・極限値」の定義は、
　以下の手順で設定された舞台の上でなされる。
Step1：2つの集合を用意する(集合ならなんでもよい)。
　　　　　　・集合X
　　　　　　・集合Y
Step2：集合Xの部分集合のひとつ(Xの部分集合ならなんでもよい)を、選んで、
　　　　　　集合E　
　　　　と名づける。　
　　　　つまり、「E⊂X」　　
Step3：「集合Xの部分集合E」から「集合Y」への写像 f を用意。
　　　　つまり、「 f：E→Y 」　
Step4：集合Xに距離d_X を定めて、集合X上に、距離空間( X , d_X )を設定。
Step5：集合Yに距離d_Y を定めて、集合Y上に、距離空間( Y , d_Y )を設定。
Step6：「集合Xの部分集合E」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合Xの部分集合E」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈E⊂X」　　

厳密な定義：
ε-δ論法

「距離空間( X , d_X )の点集合E上で点Pを点Aに近づけたとき、
　　　　　　　　　　　f (P) が、距離空間( Y , d_Y )上の点Bに収束する」
「距離空間( X , d_X )の点集合E上で点Pを点Aに近づけたときのf (P) の極限は
　　　　　　　　　　　　　　　　　距離空間( Y , d_Y )上の点Bである」
　　　　f ( P )→B ( P → A )　
　　　　　　　　　　　　　
とは、
任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δをとると、
　　０＜d_X( P, A )＜δ ⇒ d_Y ( f (P), B )＜ε　　　
が成り立つ
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈E）（０＜d_X(P, A)＜δ ⇒ d_Y ( f (P), B )＜ε）
となる。

[文献]
ルディン
『現代解析学』4.1(p.81)。

近傍を
用いた
定義

「距離空間( X , d_X )の点集合E上で点Pを点Aに近づけたとき、
　　　　　　　　　f (P) が、距離空間( Y , d_Y )上の点Bに収束する」
「距離空間( X , d_X )の点集合E上で点Pを点Aに近づけたときの f (P) の極限は
　　　　　　　　　　　　　　　距離空間( Y , d_Y )上の点Bである」
　　　　f ( P )→c ( P → A )　　　
　　　　　　　　　　　
とは、
　距離空間( Y , d_Y )上の点Bの任意の「ε近傍 U_ε(B)」に対して（でも）、
　ある「Xにおける点Aの除外δ近傍U*_δ(A)」が存在して、
　　　　　 f ( U*_δ(A) ) ⊂ U_ε(B)　
　を満たす
ということ。
この定義を別の表現でいうと、
　任意の（どんな）正の実数εに対して（でも）、ある正の実数δが存在して、
　　　　　　　　「　 f ( U*_δ(A) ) ⊂ U_ε(B)　　」
　　　　すなわち「　P∈U*_δ(A) ならば、f (P) ∈U_ε(B)」
　を成り立たせる、
ということ。
この定義を、論理記号で表せば、
（∀U_ε(B)）（∃U*_δ(A)）（ f ( U*_δ(A) ) ⊂ U_ε(B) ）　
（∀ε>０）（∃δ>０）（ f ( U*_δ(A) ) ⊂ U_ε(B) ）　
（∀ε>０）（∃δ>０）（∀P∈E）（ P∈U*_δ(A) ⇒ f (P) ∈U_ε(B)）　
となる。

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定義：ノルム空間からノルム空間への写像の収束convergence・極限値limit　

→具体例：１変数関数の収束･極限値/ 2変数関数の収束･極限値/ n変数関数の収束･極限値/
　　　　　実数値関数の収束･極限値/ベクトル値関数の収束･極限値　
→活用例：連続性の定義

舞台設定

[文献]
ラング
『現代微積分学』7章§1(p.147)。
Serge Lang Undergraduate Analysis, Part Two Chapter7§1(p.133)

厳密な定義：
ε-δ論法

定理：距離空間から距離空間への写像の収束の、点列の収束への言い換え　

要旨

距離空間から距離空間への写像の収束は、収束点列の像の点列の収束に、言いかえられる。　

舞台設定

この定理は、以下の手順で設定された舞台の上で成り立つ。
Step1：2つの集合を用意する(集合ならなんでもよい)。
　　　　　　・集合X
　　　　　　・集合Y
Step2：集合Xの部分集合のひとつ(Xの部分集合ならなんでもよい)を選んで、
　　　　　　集合E　
　　　　と名づける。　
　　　　つまり、「E⊂X」　　
Step3：「集合Xの部分集合E」から「集合Y」への写像 f を用意。
　　　　つまり、「 f：E→Y 」　
Step4：集合Xに距離d_X を定めて、集合X上に、距離空間( X , d_X )を設定。
Step5：集合Yに距離d_Y を定めて、集合Y上に、距離空間( Y , d_Y )を設定。
Step6：「集合Xの部分集合E」上の動点を、Pと名づける。
　　　　「集合Xの部分集合E」上の定点を、Aと名づける。　
　　　　　　　　つまり、「P, A∈E⊂X」　　

[具体例]
→1変数関数の収束の、数列の収束への言い換え
→ 2変数関数の収束の、点列･数列の収束への言い換え
→ n変数関数の収束の、点列･数列の収束への言い換え
→実数値関数の収束の、点列・数列の収束への言い換え
→ベクトル値関数の収束の、点列の収束への言い換え

[文献]
ルディン『現代解析学』4.2(p.82)証明付。

定理1

次の命題P,Qは互いに言い換え可能である。
つまり、命題P⇔命題Q。
命題P：
「距離空間( X , d_X )の点集合E上で点Pを点Aに近づけたとき、
　　　　f (P) が、距離空間( Y , d_Y )上の点Bに収束する」
　これを、記号であらわせば、
　　　　f (P)→B ( P→A )　
　　　　　　　　　

命題Q：
距離空間( X , d_X )の点集合E上のどんな点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}についてであれ、
　1. その点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}が点Aに収束し、
　かつ 　
　2. その点列の各項 P₁ , P₂ , P₃,…がどれも点Aと一致しない　
　限り、　
　その点列の各項 P₁ , P₂ , P₃,…を写像fによりY上に写した像の点列　
　　　　{ f ( P_i ) }={ f ( P₁ ), f ( P₂ ) , f ( P₃ ) ,… }
　は点B∈Yに収束する。
　つまり、
　　距離空間( X , d_X )の点集合E上の任意の点列{ P_i }={ P₁ , P₂ , P₃,…}について、
　　　P_i→A (i→∞) かつ　P₁≠A , P₂≠A , P₃≠A ,…ならば、f ( P_i)→B (i→∞)　　
　論理記号で表すと、
　　　（∀{ P_i }）（（ P_i→A (i→∞)かつ(∀i) ( P_i ≠A) ）⇒ f ( P_i)→B (i→∞) ）

活用例

→[トピック一覧：距離空間のあいだの写像の極限]
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