2変数関数とその属性：トピック一覧　　

　・定義：2変数関数/2変数関数のグラフ　
　・定義：2変数関数の定義域/像･値/値域/逆像･原像　
　・定義：有界な2変数関数/2変数関数の最大値･最大点･最小値･最小点　　

　※関数定義関連ページ：1変数関数/ n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般　
　※2変数関数に関する諸概念の定義：2変数関数の極限/連続性/偏微分/全微分/矩形上の積分/点集合上の積分/　　
　※2変数関数の具体例：2変数一次関数/2変数二次同次関数　　
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定義：2変数関数　

定義

2変数関数とは、
「2個の実数の組(x,y)に対して、実数zを対応づける規則」
「2次元平面R²上の点集合Dに属す各点Pにたいして、
　　　　　　　　　　　　　　　　実数zを対応づける規則」
「2次元平面R²の部分集合Dから、実数体Rへの、写像」
のこと。
　　　z=f (x,y)　、z=f (P)　、f : D→R　、f :R²⊃D→R　
などと表す。

[文献]
西村『経済数学早分かり』3章§1.1関数とは(p.104)
小平『解析入門�U』§6.1(p253);§6.4(p309);
笠原『微分積分学』1.4(pp.22-3)。
杉浦『解析入門I』I§6(p.50);
黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);8.2.1(p.276);
��木『解析概論』8.函数(p.19)

定義の
ベクトル
表現

2個の実数の組(x,y)とは、実2次元数ベクトルのことにほかならないから、
2変数関数とは、
「実2次元数ベクトルx=(x,y)にたいして、実数zを対応づける規則」。
「実2次元数ベクトル空間R²の部分集合（定義域）Dの各元xに対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　実数体Rの元zを対応づける規則」
「実2次元数ベクトル空間R²の部分集合から、実数体Rへの、写像」
などといっても同じ。
z=f (x)　、f: D→R　、f :R²⊃D→R　　などと表す。

類概念

1変数関数/ n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般　

具体例

2変数一次関数/2変数二次同次関数/

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定義：2変数関数の定義域domain　

定義

2変数関数「f :R²⊃D→R」の定義域とは、
点集合Dのこと。

[文献]
黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276);
笠原『微分積分学』1.4(p.22)

類概念

1変数関数の定義域/ n変数関数の定義域/実数関数一般の定義域/ベクトル値関数の定義域　

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定義：2変数関数の像・値　

点の像

「2変数関数f による点P=(x,y)の像」
「点P=(x,y)におけるf の値」
　　 f (x,y)、f (P)
とは、
f によって点P=(x,y)に対応付けられた実数のこと。

[類概念]
1変数関数の像･値/ n変数関数の像･値/実数値関数一般の像･値/ベクトル値関数の像･値/写像の「像」
[文献]黒田『微分積分学』3.1.2(p.86；87);8.2.1(p.276);

集合の像

「2変数関数f による『定義域の部分集合A』の像」f (A)とは、
『定義域の部分集合A』に属す点のfによる像を、全部集めて出来る集合のこと。
　つまり、f :R²⊃D→R　、A⊂D⊂R²にたいして、　f (A)={ f (a)∈R | a∈A }　と定義される。

定義：2変数関数の値域range　

定義

2変数関数「f :R²⊃D→R」の値域とは、
f による定義域の像 f (D)={ f (a)∈R | a∈D }のこと。

[文献]
黒田『微分積分学』3.1.1(p.84);3.1.2(p.86);8.2.1(p.276);
笠原『微分積分学』1.4(p.22);

類概念

1変数関数の値域/ n変数関数の値域/実数値関数一般の値域/ベクトル値関数の値域　

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定義：2変数関数の逆像・原像inverse image　

点の逆像

「点P=(x,y)が、
　　2変数関数『f :R²⊃D→R』 による実数bの逆像である」
　　P=f ⁻¹ (b)
とは、
点P=(x,y)のf による像が実数bであるということ
　　　　f (P)=b
をいう。
※実数bのf による逆像は、複数存在しうる。

[類概念]
1変数関数の逆像、 n変数関数の逆像
実数値関数一般の逆像
ベクトル値関数の逆像　
写像の「逆像」

[文献]
黒田『微分積分学』3.1.2(p.86；87)

集合の
逆像

「2変数関数『f :R²⊃D→R』 による『R上の点集合B』の逆像」
　　f ⁻¹ (B)　
とは、
定義域Dに属す点のうち、その像がBに入るもの全体の集合のこと。
つまり、f :R²⊃D→R　、B⊂Rにたいして、　　
　　　　　　f ^-1 (B)＝{ a∈D⊂R² | f (a)∈B⊂R}　
と定義される。

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定義：2変数関数のグラフ　

[抽象的な定義]
2変数関数「f :R²⊃D→R」のグラフとは、
定義域D⊂R²に属すすべての点Pにたいして、
　Pとf (P)との順序対 (P, f (P) ) をつくって集めた集合
　　　　G_f={ (P, f (P) ) | P∈D⊂R² }
のこと。

[実用的な定義]
2変数関数「f :R²⊃D→R」のグラフとは、
　・定義域D⊂R²に属すすべての点(x, y ) にたいして、
　　　　(x, y, f (x,y) ) をつくって、集めた集合　
　　　　　　G_f={ (x, y, f (x,y) ) | (x, y )∈D⊂R }
　ないし
　・「(x, y )∈D⊂R かつ z=f (x,y)」を満たす(x, y, z ) を全て集めた集合
　　　　G_f={ (x, y, z ) | (x, y )∈D⊂R かつ z=f (x,y) }
のこと。　
[性質]
2変数関数「f :R²⊃D→R」のグラフは、
　R²×RすなわちR³の部分集合となる。
　　　　　すなわち、G_f⊂R³　
　　

[文献]小平『解析入門�U』§6.1 (p.264);笠原『微分積分学』1.4(p.24);
[一般化] 1変数関数のグラフ/写像のグラフ/対応のグラフ　
[例] 2変数1次関数のグラフ/２変数2次関数のグラフ

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定義：2変数関数が有界　

有界

「2変数関数『f :R²⊃D→R』が有界である」とは、
　 f の値域がR上の点集合として有界であるということ、
　つまり、
　「定義域Dに属すあらゆる点P=(x,y)に対して、| f (P)|≦M」を満たす実数M>０が存在する
　　　　　論理記号では、（∃M>０）（∀P∈D⊂R²）（| f (P)|≦M）　ということ
をいう。

[文献]
Rudin『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。
杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55);

点集合
で
有界

「2変数関数『f :R²⊃D→R』が点集合Aで有界である」とは、
　「f による『定義域の部分集合A』の像」f (A)がR上の点集合として有界であるということ。
　つまり、f :R²⊃D→R　、A⊂D⊂R²という設定のもと、
　「点集合Aに属すあらゆる点P=(x,y)に対して、| f (P)|≦M」を満たす実数M>０が存在するということ
　　　論理記号では、（∃M>０）（∀P∈A⊂D⊂R²）（| f (P)|≦M）　　

定義：2変数関数の最大値・最大点・最小値・最小点　

最大値

「2変数関数f の点集合Aにおける最大値」とは、
　　「f による『定義域の部分集合A』の像」の(実数の集合としての)最大元のこと。
つまり、　　　
f :R²⊃D→R　、A⊂D⊂R²という設定のもとで、「2変数関数f の点集合Aにおける最大値」といえば、max f (A)を指す。
※「2変数関数f の点集合Aにおける最大値」は存在する場合もあれば、存在しない場合もある。
　　→最大値・最小値定理　　

[文献]
杉浦『解析入門I』I§7(p.68);

最大点

「点P=(x,y)が、2変数関数f の点集合Aにおける最大点である」とは、
「点Pのf による像」f (P)が「f の点集合Aにおける最大値である」ということ。
つまり、f :R²⊃D→R, P∈A⊂D⊂R²との設定下で「点Pが2変数関数f の点集合Aにおける最大点である」といえば、
　　　　　f (P)=max f (A)　となることを指す。　

最小値

「2変数関数f の点集合Aにおける最小値」とは、
　　「f による『定義域の部分集合A』の像」の(実数の集合としての)最小元のこと。
つまり、f :R²⊃D→R　、A⊂D⊂R²という設定のもとで、「2変数関数f の点集合Aにおける最小値」といえば、
　　　　　min f (A)を指す。
※「2変数関数f の点集合Aにおける最小値」は存在する場合もあれば、存在しない場合もある。
　　→最大値・最小値定理　　

最小点

「点P=(x,y)が、2変数関数f の点集合Aにおける最小点である」とは、
「点Pのf による像」f (P)が、「f の点集合Aにおける最小値である」ということ。
つまり、f :R²⊃D→R, P∈A⊂D⊂R²との設定下で「点Pが2変数関数f の点集合Aにおける最小点である」といえば
　　　　　f (P)=min f (A)となることを指す。　

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